回归教材阿波罗尼斯圆.doc

回归教材——阿波罗尼斯圆
原题：
已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
解：设点是曲线上任意一点，则，整理即得到该曲线的方程为：
。
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”。
这是一个很有趣的圆，下面我们先来解决它的“逆向”问题：
引申1：
在轴正半轴上是否存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数？如果存在，求出点、坐标；如果不存在，请说明理由。
解：假设在轴正半轴上是否存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数，设、、，其中。
即对满足的任何实数对恒成立，
整理得：，将代入得：
，这个式子对任意恒成立，所以一定有：
，因为，所以解得：、。
所以，在轴正半轴上是否存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数。
引申2：
再来介绍一个看似与阿波罗尼斯圆“风马牛不相及”的问题：
如图，铁路线上线段km，工厂到铁路的距离km。现要在、之间某一点处，向修一条公路。已知每吨货物运输km的铁路费用与公路费用之比为，为了使原料从供应站运到工厂的费用最少，点应选在何处？
此问题可以用阿波罗尼斯圆迅速得到解答，你相信吗？

解：建立如图所示直角坐标系，
先求到定点、的距离之比为的动点的轨迹方程，
即：
，整理即得动点的轨迹方程：
，
令，得（舍去正值）即得点，。下面证明此点即为所求点：
自点作延长线的垂线，垂足为，在线段上任取点，连接，再作于。
设每吨货物运输km的铁路费用为，则每吨货物运输km的公路费用为，如果选址在处，那么总运输费用为，
而∽∽，∴，∴，
那么总费用，
当且仅当点、、共线时取等号。总上所述，点即为所求点。

作者：马力仲
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