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第八章第九节课时限时检测.doc
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(时间60分钟,满分80分) 一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分) 1.已知椭圆+=1的长轴的左、右端点分别为A、B,在椭圆上有一个异于点A、B的动点P,若直线PA的斜率kPA=,则直线PB的斜率kPB为( ) A. B. C.- D.- 解析:设点P(x1,y1)(x1≠±2), 则kPA=,kPB=, ∵kPA·kPB=·===-, ∴kPB=-=-×2=-. 答案:D 2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( ) A.y2=x B.y2=9x C.y2=x D.y2=3x 解析:分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l,且垂足分别为A1、B1,由已知条件|BC|=2|BF|得|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,又|AA1|=|AF|=3,∴|AC|=2|AA1|=6,∴|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3,∴F为线段AC的中点.故点F到准线的距离为p=|AA1|=,故抛物线的方程为y2=3x. 答案:D 3.(2010·烟台二模)已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,若l为双曲线的一条渐近线,则l的倾斜角所在的区间可能是( ) A.(0,) B.(,) C.(,) D.(,) 解析:由抛物线与双曲线有相同的焦点可得=c=,再由AF⊥x轴可得,在双曲线中|AF|=,在抛物线中|AF|=p,故又有=p=2c=2,即b4=4a2(a2+b2)⇒b4-4a2b2-4a4=0,解得=2+2>3=tan2(或=2-2<0舍去),故l的倾斜角所在的区间可能是(,). 答案:D 4.(2010·东北三校)已知曲线C1的方程为x2-=1(x≥0,y≥0),圆C2的方程为(x-3)2+y2=1,斜率为k(k>0)的直线l与圆C2相切,切点为A,直线l与曲线C1相交于点B,|AB|=,则直线AB的斜率为( ) A. B. C.1 D. 解析:设B(a,b),则由题意可得 解得则直线AB的方程为y=k(x-1),故=1,∴k=,或k=-(舍去). 答案:A 5.已知椭圆+=1,若在此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是( ) A.(-,) B.(-,) C.(-,) D.(-,) 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),kAB==-,x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x+4y=12 ①,3x+4y=12 ②,①②两式相减得3(x-x)+4(y-y)=0,即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则+<1,即-<m<. 答案:B 6.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为( ) A.2 B. C. D. 解析:设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即t2<5.弦长|AB|=4×≤. 答案:C 二、填空题(共3个小题,每小题5分,满分15分) 7.(2010·龙岩模拟)已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P、Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为________. 解析:设P(x1,y1)、Q(x2,y2), 由题意得,则(b-a)x2+2ax-a-ab=0. 所以x1+x2=-,x1x2=, y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2, 根据·=0,得x1x2+y1y2=0, 即1-(x1+x2)+2x1x2=0, 因此1++2×=0, 化简得=2,即-=2. 答案:2 8.已知以坐标原点为顶点的抛物线C,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A、B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为________. 解析:由题意知,抛物线的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,所以可设抛物线的方程为y2=ax(a≠0). 将直线方程和抛物线方程联立,得:x2-ax=0,解得x1=0,x2=a,故AB中点的横坐标为x0=(x1+x2)=a,由题意得a=2,解得a=4.所以该抛物线的方程为y2=4x. 答案:y2=4x 9.当x>1时,直线y=ax-a恒在抛物线y=x2的下方,则a的取值范围是________. 解析:由题可知,联立,整理可得x2-ax+a=0,当Δ=a2-4a=0,解得a=0或a=4,此时直线与抛物线相切,因为直线横过定点(1,0),结合图形可知当a∈(-∞,4),x>1时直线y=ax-a恒在抛物线y=x2的下方. 答案:(-∞,4) 三、解答题(共3个小题,满分35分) 10.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点在直线l:x=1上,离心率e=.设P、Q为椭圆上不同的两点,且弦PQ的中点T在直线l上,点R(,0). (1)求椭圆的方程; (2)试证:对于所有满足条件的P、Q,恒有|RP|=|RQ|. 解:(1)椭圆的一个焦点在直线l:x=1上,所以c=1. 又因为离心率e=,即=,所以a=2,从而b2=3, 所以椭圆的方程为+=1. (2)证明:设T(1,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 则=(,y0),=(x2-x1,y2-y1), ·=(x2-x1)+y0(y2-y1). 又因为P、Q都在椭圆+=1上, 所以+=1,+=1,两式相减得 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0, 因为点T是PQ的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2y0, 于是(x1-x2)+y0(y1-y2)=0, 所以(x1-x2)+y0(y1-y2)=0, 即·=0,所以RT⊥PQ,即RT是线段PQ的垂直平分线,所以恒有|RP|=|RQ|. 11.(2011·宜春三校联考)已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4,l1,l2是过点P(0,2)且互相垂直的两条直线,l1交E于A,B两点,l2交E于C,D两点,AB,CD的中点分别为M,N. (1)求椭圆E的方程; (2)求l1的斜率k的取值范围; (3)求·的取值范围. 解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0), 由得, ∴椭圆方程为+=1 (2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为零 ∵l1∶y=kx+2,∴l2∶y=-x+2. 由消去y并化简整理, 得(3+4k2)x2+16kx+4=0 根据题意,Δ=(16k)2-16(3+4k2)>0,解得k2>. 同理得(-)2>,k2<4, ∴<k2<4,k∈(-2,-)∪(,2) (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0) 那么x1+x2=-,∴x0==- y0=kx0+2=,∴M(-,), 同理得N(,), 即N(,) ∴·=-·+·= - ∵<k2<4,∴2≤k2+< ∴-≤-<- 即·的取值范围是[-,-). 12.(2010·江南十校)如图,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B,作圆的切线AC、BD,再过圆上任意一点H作圆的切线,交AC、BD于C、D两点,设AD、BC的交点为R. (1)求动点R的轨迹E的方程; (2)过曲线E的右焦点F作直线l交曲线E于M、N两点,交y轴于P点,且记=λ1,=λ2,求证:λ1+λ2为定值. 解:(1)设点H的坐标为(x0,y0),则x+y=4. 由题意可知y0≠0,且以H为切点的圆的切线的斜率为:-, 故切线方程为:y-y0=-(x-x0), 展开得x0x+y0y=x+y=4. 即以H为切点的圆的切线方程为:x0x+y0y=4, ∵A(-2,0),B(2,0),将x=±2代入上述方程可得点C,D的坐标分别为C(-2,),D(2,), 则lAD:= ①,及lBC:= ②. 将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为: x2+4y2=4,即+y2=1. (2)由(1)知轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F(,0). (ⅰ)当直线l的斜率为0时,M、N、P三点在x轴上,不妨设M(2,0),N(-2,0),且P(0,0).此时有|PM|=2,|MF|=2-,|PN|=2,|NF|=2+, 所以λ1+λ2=--=--=-8. (ⅱ)当直线l的斜率不为0时,设直线MN的方程是: x=my+(m≠0), 则点P的坐标为(0,-).且设点M(x1,y1),N(x2,y2), 联立消去x可得: (m2+4)y2+2my-1=0. 则y1+y2=,y1y2=, λ1+λ2=+=-2-(+)=-2-·=-2-·=-8(定值).- 配套讲稿:
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