《点和圆的位置关系》导学案.doc

24.2　点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1　点和圆的位置关系

　　1.知道点和圆的三种位置关系,会用圆的半径r和点到圆心的距离d之间的关系判断点和圆的位置关系.
2.知道不在同一直线上的三个点确定一个圆,会作经过不在同一直线上的三个点的圆.
3.初步认清反证法与直接证明法的区别,能够运用反证法证明简单的问题.
4.重点:点和圆的位置关系、圆的确定及反证法.

知识梳理一　点与圆的位置关系

阅读教材本课时开始至“探究”前面一段,解决下列问题.
1.如图,☉O的半径为r,点A在圆内,点B在圆上,点C在圆外,很显然,有OA　<　r,OB　=　r,OC　>　r.反之,也成立. 
2.设☉O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
点P在圆外⇔d　>　r;点P在圆上⇔d　=　r;点P在圆内⇔d　<　r. 
3.符号“⇔”读作　等价于　,它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端,也可以从右端推出左端. 
【预习自测】若☉O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离为4 cm,则点A与☉O的位置关系是 (C)
A.点A在圆外 B.点A在圆上
C.点A在圆内　 D.不能确定
知识点　圆的确定
阅读教材本课时“探究”与第二个“思考”之间的内容,解决下列问题.
1.通过画图,确定经过已知点可作圆的情况,填写下表:

一个点
两个点
不在同一直线上的三个点
圆的个数
　无数　个 
　无数　个 
　一　个 
圆心位置
不固定
以两点为端点的
　线段的垂直平分线　上 
三条线段　垂直　 
　平分线　的交点 

　　2.经过不在同一直线上的三点作圆,常连接其中两条线段,作它们的　垂直平分线　得交点,从而找到圆心. 
【归纳总结】　不在同一直线上的三个点　确定一个圆.这个圆叫做三角形的　外接圆　,外接圆的圆心是三角形三条边　垂直平分线　的交点,叫做三角形的　外心　. 
【预习自测】在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2 cm,△ABC的外接圆的半径为　2　cm. 

　　知识梳理二　反证法
阅读教材本课时第二个“思考”至结束,解决下列问题.
1.在证明时,先假设命题的结论　不成立　,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设　不正确　,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法. 
2.反证法的步骤:(1)反设:假设命题的结论　不成立　;(2)推理:从(1)中的“反设”出发,逐步推理直至出现与已知条件、　定义　、　定理　等相矛盾的结果;(3)结论:由矛盾的结果判定(1)中的“反设”不成立,从而原命题成立. 
【预习自测】用反证法证明“若|a|>2,则a2>4”时,应假设　a2≤4　. 

互动探究1:如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(1,4),(5,4),(1,-2),则△ABC外接圆的圆心坐标是 (D)
A.(2,3)　 B.(3,2)
C.(1,3) D.(3,1)
互动探究2:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2 cm,BC=4 cm,CD是中线,以C点为圆心, cm长为半径画圆,则点A、B、D与☉C的位置关系怎样?

解:因为在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2 cm,BC=4 cm,所以AB=2 cm.因为CD是中线,所以CD=AB= cm,
所以AC=2 cm< cm,BC=4 cm> cm,CD= cm,
所以点A在☉C内,点B在☉C外,点D在☉C上.
互动探究3:用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角.
证明:假设一个三角形中有两个角是直角.设该三角形的三个角分别为∠A、∠B、∠C,∠A=∠B=90°,∠A+∠B=180°,∠A+∠B+∠C>180°.这与“三角形的内角和为180°”相矛盾,所以假设不成立,即一个三角形中不能有两个角是直角.
互动探究4:小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A、B、C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).

解:如图,用尺规作出三角形两边的垂直平分线,以O为圆心,OA的长为半径作☉O.☉O即为所求作的花坛的位置.

[变式训练]在上题中,若△ABC中AB=8米,AC=6米,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.
解:∵∠BAC=90°,AB=8米,AC=6米,∴BC=10米,
∴△ABC外接圆的半径为5米,
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.
【方法归纳交流】画三角形的外接圆要先作两边的　垂直平分线　确定圆心,直角三角形外接圆的半径等于　斜边的一半　.