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“一元二次方程”章头导学课
符永平（江苏省南通第一中学）
这节“一元二次方程”章头导学课，是2008年5月南通市一中特级教师符永平老师应第十届“五四杯”中学青年教师教育教学论文大赛颁奖大会暨“五四杯”二十周年庆典活动之邀在江苏省无锡市洛社中学上的一节课改汇报课（有光盘）。其后，符老师又应邀在多此会议上汇演，受到广泛好评。下面的课堂实录已经发表于《中学数学教学参考（初中版）》2008年11期，特选编于此，供老师们赏析。
师：同学们，我们今天开始学习“一元二次方程”，这堂课的课型大家可能很少上过，这是因为只结合“章头图”就想去解决：全章学什么？怎么学？并努力培养我们学习这一章的兴趣、信心！现在请大家看“章头图”（三幅可建模方程的图：可滑动梯子、海面上腾起的海豚、崖岩上掉向大海的石块。苏科版，图略）。这三幅图，让我们倍感“一元二次方程”不是枯燥、冰冷的，而是充满灵性[多媒体切换成大屏幕1（下简称“屏x”），梯子两端在墙和地面上滑动着]变化和动感，并激发着我们探求这万变不离其宗的规律。下面我们就结合“章头图”中“可滑动梯子”这个情境研究问题，请看屏2。
生：由α=135o可知，△AOB为等腰直角三角形，设上端距地面的垂直距离为x米，根据题意可得方程x2+x2=25，整理得2x2-25=0
师：对，α大小在变，顶点也在变，但AO=BO不变。再请看屏3。
生：由勾3、股4、弦5可直接口算得1。
师：很好！能通过方程来解？
生：设梯子的底端滑动x米，则根据题意可得（4-1）2+（3+x）2=52，整理得x2+6x-7=0
屏2
屏1
梯子AB在如图所示的位置开始下滑，在下滑过程中当a=135o时，梯子的顶端与地面的垂直距离为多少？
4米
问题情境1：
O

屏4
问题情境3：
O
如图所示，如果梯子上端下滑的距离等于下端平移的距离，那么梯子的底端滑动了多少米？
4米
问题情境2：
O
一梯子的上端在距离地面4米高处，梯子长5米，下端在水平的地面上，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动了多少米？
屏3

师：不错，不管怎么变，△AOB是直角三角形不会变。请大家看屏4。
生：设梯子下滑了x米，则根据题意可得（4-1）2+（3+x）2=25，整理得x2-x=0。
师：对，不论怎么滑动，用勾股定理来构建方程是解决这类问题的关键。同学们，我们由同一个问题的3个不同情境发现了三个形式不同的方程（屏5），这些方程和以前学过的方程一样？能给它命名？
生：不一样，应命名为“一元二次方程”。
师：这命名很贴切！你能尝试给它一个定义？
众生：……（定义中有整式方程、一个未知数、二次三个要素，通过学生之间的多次互相争论、完善，最后形成了定义）上述整式方程中都含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫一元二次方程。
师：……同学们，我们不是在学教材，而是编写着教材，因为我们和编书老师想到一块去了，和教材上的定义一字不差，学会学习可从自己尝试定义开始。另外，一次函数有一般式，能尝试给一元二次方程一个一般式？
生：……（有ax2+bx+c，有ax2+bx=c等，同学们互相完善着）
师：又和教材上一样！同学们，你们的探索和发现让老师倍感成功！下面请同学们看屏6。
屏5 问题情境4：2x2-25=0，
x2-x=0，
x2+6x-7=0
……
屏6 问题情境5：判断对错并说明理由：
一元二次方程x2-x3-2=0，xy-x-2=0它们的常数项都是2
屏7 问题情境6：m为何值时，方程是一元二次方程？
屏8 问题情境7：能发现2x2-25=0的解法吗？请尝试.

众生：……（有学生首先发现常数不是2，后来逐步发现方程都不是一元二次方程，并结合定义说出了理由）
师：你知道这道题是怎么设计出来的？
生：是根据定义设计的。
师：能看清题目的本质，并知道其形成，这是我们学会学习的重要内容，很好！下面请大家看屏7。
生：m=±2
师：抓住定义中的次数求出m，能结合这题设计一道 “陷井”题？
生：m为何值时，方程（m+2）x|m|+x-3=0是一元二次方程?
师：这题设计得漂亮，你怎么想到的？
生：因为一般式中a≠0可能常让我们顾此失彼或忽视。
生：一次函数中类似这样的问题常让我失分。
师：同学们，我们总不能永远做别人给的题目，否则我们永远不易发现问题（题目），因为发现问题比解决问题重要！本章研究了定义，我们还要研究什么？
生：和一元一次方程一样，还要研究解法。
师：对！学习一元二次方程的解法是本章的重要内容，今天我想尝试让同学们来发现解法，请看屏8。
生：方程可化为x2= ，两边开平方可得x=±
师：这是我们用自己的方法解出的第一个一元二次方程，很好！还能联系问题情景发现问题？
生：梯子滑动的距离不能为负值，所以x=。
师：对，实际问题还要用方程的解去检验，能根据解法特征给解法命名？
生：开平方法。
师：抓住了解法主要特征命名，很好！刚才我们之所以成功是因为我们把二次方程转化为一次方程，即降次。接着请大家看屏9.
生：本题不可用直接开平方法，但方程左边可因式分解，x(x-1)=0，于是降次得到两个一元一次方程x=0或x-1=0（不少同学发现了此法后很兴奋）。
师：我们又成功发现了另一种方法，能结合解法特征给它取名？
生：因式分解法。
师：同学们，太棒了！因为这方法不是我们从书上学来的而是我们发现的，有自豪感吗？（大声齐说：有！）再请大家珍惜发现的机会，看屏10。
屏9

屏10
问题情境10：能发现
的解法吗？请尝试
4米
1
x

问题情境9：能发现一元二次方程的解法吗？请尝试。
你会解吗？

屏11
屏12

问题情境10：能发现一元二次方程的解法吗？
请尝试。
(a≠0)你会解吗？

因为a≠0， ……

生：这个方程可降次，（x+7）（x-1）=0，即x+7=0,x-1=0……
师：你成功进行了降次、转化，能发现新的解法吗？（学生积极思考、困惑、开始讨论……但没能发现）。同学们，你知道“x2+6x”喜欢谁？
生：喜欢9！
师：为什么？
生：因为x2+6x+9=（x+3）2.
众生：我发现了……（教室里一片沸腾）
师：配成完全平方式，转化成用开平方的方法，实现了降次……学会把新的问题转化成我们熟悉的，把不会的转化成会的，这是我们学会学习的重要武器！怎样命名这方法？
生：配完全平方法。
师：简捷点，就是配方法。用配方法注意什么条件呢？（引导学生发现：二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方）下面请同学们看屏11，如果这个问题能解决，那么我们就能解所有一元二次方程，因为这是一个一般式，就可发现解所有解一元二次方程的一般规律，即公式。这公式，可以说是中学数学最有数学“味”、应用最普遍，也是最美的一个公式，如果能发现这个公式，你将再次体验数学的美妙和感受数学发现的快乐。这是我以前学生发表的小论文《老师说，这叫“沈雯公式”》（图、文省略），下面来看这篇文章中的一段话（屏12）如此美好的体验，大家能在课后或平时学习中不畏艰难大胆去发现？
生：一定能！
师：其实，感受美妙还不太重要，重要的是我们从此可以走向数学发现，发现更美妙的世界，丰富智慧人生，这正如编辑老师对我们三位同学发表的小论文的鼓励，请看屏幕13（教者读）。同学们，我是昨天下午从南通来到你们的校园，十分羡慕你们在这美丽的江南古镇读书，请看屏幕14（教师读），再请看屏幕15。
屏14
屏13

走进洛社高级中学倍感深厚文化底蕴和浓浓的人文气息，希望同学们常从数学的视角去欣赏，更期待你们以方程的智慧去点燃这久远的灿烂文化。洗砚池旁的书圣王羲之（公元355年），这雕塑与方程x2+x-1=0有关系吗？

生：长等于3米，宽等于2米，长宽都知道了，面积等于6，哪有方程可找？
师：就是利用长、宽、面积来设计，且要求未知数是二次。
生：如果设长x，长×宽，宽又知道了，哪有二次？
生：宽比长小1，就是x-1
众生：对，用面积得等量关系！（学生再一次兴奋）
师：下面，我们一起来把这题设计出来。
众生：一石碑宽比长小2m，面积为6m2，求石碑的长。
师：是一元二次方程的应用题？
生：一定是，因为设长xm，则宽为（x-1）m，方程为x（x-1）=6，即x2-x-6=0。
生：用因式分解法解方程最快，(x-3)(x+2)=0，x=-2不符题意舍去，x=3，得到验证，真巧！
师：同学们，这应用题是我们设计的，其实应用题并不可怕，这是身边的一元二次方程，大家设计得太完美了，只要我们做有心人，身边很多的数学一定让你陶醉，我为大家的成功而自豪！限于时间，现在请同学们看黑板（板书附后），本章学什么？怎么学？这两个问题解决了吗？（学生齐答解决了）自己探究的信心有吗？（学生大声回答，有！）。为了表达同学们对我这堂课的帮助，感谢大家让我享受这智慧的课堂，我送给大家一段话，请齐读大屏幕16（读完，学生和听者以鼓掌对我鼓励）。
屏15：
这块滋养我们精神生命的石碑，也许同学们天天从它人旁边也走过，你能看到一个一元二次方程吗？请结合以上图示设计一个一元二次方程的应用问题，请尝试。

学而不厌
3米
2米
屏16：

从一元到二元，从一次到二次，消元、降次让我们倍感思想的伟大和魅力的无限。方程，存在于我们美好的生活之中，人生也如方程，发现和构建人生美好理想的方程这是现代人的责任，我们只有用勤劳去解、用汗水去解、用勇敢去解，那么人生方程的根才是发现和创造，才是大智与大慧，才是快乐和幸福！聪明的洛社同学，老师谢谢你们！

附录：“章头导学课”板书
22章 一元二次方程

7

学什么？
1、一元二次方程定义
2、实际问题
↓
3、一元二次方程
↓
4、一元二次方程解法
（1）直接开平方法
（2）因式分解法
（3）配方法
（4）公式法
↓
5、一元二次方程的解
检验

怎么学？
1、学会转化
2、学会降次
3、学会发现
（1）发现定义
（2）发现解法
（3）发现联系
4、学会设计问题
（1）设计“陷井”题
（2）设计应用题
5、学会欣赏
（1）方程充满灵性
（2）发现的美妙

培养学习信心！
·定义是我们的
·解法是我们发现的

·我们编写着教材

·我们设计着问题

·万变不离宗的是转化、降次……

·我们充满自信带走课上的问题去研究……

“章头导学课，这是什么课型，先前从没有见过”，看完这节课的实录，也许你会发出如此感慨。怀着了解这一新课型的迫切愿望，笔者和符老师有了下面的交流。
章：符老师，你是怎么想到上这样一种类型的课的？
符：新课程实施之后，数学教材每一章都设计了一个版面的章前图、章前文字等，力图通过短短的图文，揭示本章的学习内容、知识结构、思想方法等，同时图文并茂，具有强烈的激发力和感召力，可以点燃学生的学习兴趣，激发学生自主探索的欲望。可是，教学实践中，很多老师一带而过，甚至于视而不见，直接讲授第一课时的内容，因而没能将章头图的作用发挥出来。正是基于这样的想法，我尝试上了这样一节课，不想取得了很好的效果，受到了广泛的关注。
章：是的，在教材变革的现阶段，作为教师，都应该像你一样，善于发现教材中的变化，善于反思教材变化的内在原因和特色所在，从而更好地凸显教材的特色，只有这样才能成为一个研究型的教师，才能实现真正的创新使用教材。但，你这节课，给我印象最深刻的，不是利用了章前图，而是学习方式的变革。你让学生尝试命名、下定义、尝试求解、尝试编题等，也就是这些知识完全是学生自己得到的，不是教师灌输的。
符：是的，这也是这节课的一个大胆尝试。教学的本质和最终目标应该是培养学生学会自己学习，即通过老师的教法与训练，学生离开老师后也能独立学习。因此，本节课上，我更多的是，提供了学生了一些素材、创设了一个氛围，引导学生逐步探索出整章的知识框架，让学生真正学会学习。
章：是的，长期这样训练后，面对一个新的学习内容，学生完全可能自主构建出相关知识的框架结构。不由想起十余年前，在高中立体几何教学中，也我做个一个类似的设计马复，章飞．初中数学教学法[M]．长春：东北师范大学出版社，2004．106-108．
：安排了一个课时，首先通过具体生活实例提出体积的概念，引起研究的必要；然后与学生一起回忆有关度量的学习过程，分析并绘制有关面积的学习顺序框图（如下左图），揭示其中的化归思想；再后让学生分组讨论，思考体积的学习顺序；最后，在交流、评析的基础上师生共同总结出体积单元的学习顺序框图（如下右图）．要求学生课后思考其中哪些环节是问题的难点，以后在每一堂课将该图挂出并逐步解决．

符：是的，长期熏陶后，脱离老师的指导，学生都可能构建出相关知识的框架。建构框架的过程，实际上就是一个研究的过程。
章：你这节课，还给我一个很深的触动，处处洋溢着对学生的鼓励，处处感受到数学的美和应用。
符：是的，这种课不仅力图让学生在整体感知全章学什么、怎么学，还有一个重要的目标：激发学生学习新知的信心和发展学生的数学！起名、下定义、求解、编题，都是学生自己完成的，相当于自己编写了教材，学生能不自信！
旁白：大家可以好好体会符老师的板书设计哟！
章：但可能也有一些老师担心，这样教学能应对考试吗？
符：这不应该成为问题。瞧，学生都能自己编题了，也知道教师设计题目的陷阱了，还会出现那样的错误了!
章：可也有老师认为，这节课过于求全了，希望一节课完成整章的一个缩略，你如何看待这个观点？
符：为了让学生感受结构，我们还真应该求全呢！当然，学生水平有差异，可能第一次尝试，可以整出框架全貌，但个别细节不展开，反正后面还得有专门的课吗！
章：也就是说，基于学生的学力，章头导学课应该还有很多变化的形式；我们可能应该探究不同阶段学生章前导学课的组织结构，也许通过长期的训练，学生可以自己上一节章头导学课呢！
符：这是我们实践的目标和方向，我想不久就会看到这样的课堂实践的。我愿与全国的同行们一起探索、实践！