第六章-实数-全章导学案.doc

第六章：平方根（一）
班级： 姓名： 时间：

【重点难点】：重点：算术平方根的概念.
难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根.
一．【自主学习】:
请同学们看课本40页第一段内容，欣赏本节导图，并回答问题.
1.你用什么方法可以求出这个正方形画框的边长？
2.你能用学过的知识填表吗？
正方形的面积
1

9

16

36

边长

上面的问题实际上是已知一个 ，求这个 的问题.
二．【合作探究】：
1.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做 ．
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式=a (x≥0)中，规定x =. ≥0即为非负数.
2．试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．

3.想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？
= = = =

温馨提示：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如表示25的算术平方根.
三．【巩固运用】：
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100； (2) ； (3))0.0001

练习：1求下列各数的算术平方根：
（1）0．0025 （2） 81 （3）32

4.判断：
（1）5是25的算术平方根；（ ） （2）－6是 36 的算术平方根；（ ）
（3）0的算术平方根是0； （ ） （4）0.01是0.1的算术平方根；（ ）
（5）－5是－25的算术平方根.（ ）
4.填空：

四．【当堂测试】：
1.若|a+3|=0 则a= ，
2.若,则m= ，
3.若 则 a＝ .
4.若｜a－3|+,则代数式的值为 .
5.已知：｜1+y|+,求x－3y+4z的值.

6.已知：

五．【我的感悟】：
1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有：

课题：6.1平方根（二）
【学习目标】：1.会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.
2.能用逼近法求一个数的算术平方根的近似值.
3.体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数.
【重点难点】：重点：夹值法及估计一个（无理）数的大小.
难点：夹值法估计一个（无理）数的大小.
一．【自主学习】:
1.什么叫算术平方根？

2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们的算术平方根.
100； 1； 36/121; 0; －0.0025; (－3)2 －25；

3．我们已经知道：正数x满足=a,则称x是a的算术平方根．当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如，=4；但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎样求呢？
二．【合作探究】：
课本第41页的探究: 怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？

试问这个大正方形的边长应该是多少呢？

大正方形的边长是，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？
观察图形感受的大小．小正方形的对角线的长是多少呢？（用刻度尺测量它与大正方形的边长的大小）它的近似值我们可用逼近法去探究．
1. 问题：究竟有多大？（读读42页内容吧）

2.问题：你对正数的算术平方根的结果有怎样的认识呢？
的结果有两种情况：当a 时，是一个有限数；当 时，
是一个无限不循环小数.我们可以用逼近法求它的近似值 ，也可用计算器求近似值.
三．【巩固运用】：
例2 用计算器求下列各式的值：
（1） （2）（精确到0.001）

练习.1.利用计算器探究算术根的变化规律（P43完成填表你一定会发现的）

2.填空
被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样呢？

3.若 ， ，
，若，则a= .

例3（课本P43－－44）．请仔细阅读，理解解题思路.

练习：课本P44的练习 1、2

四．【达标测试】：
1. 和 之间 ，它的整数部分是 它的小数部分是
2.

五．【我的感悟】：
1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有：

课题：6.1平方根（三）

班级： 姓名： 时间：

一．【重点难点】：重点：平方根的概念和求数的平方根.
难点：平方根和算术平方根的联系与区别.

二．【合作探究】：
1.平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．
即：如果=a，那么x叫做a的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算．
2.观察：课本P45的图6.1－2.
图6.1－2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．并根据这个关系填出1开平方得 ,4开平方得 ,9开平方得；填出1的平方根是 ,4的平方根是 ,9的平方根是 ．
三．【巩固运用】：
例4 求下列各数的平方根.（注意书写格式）
（1） 100 （2） （3） 0.25

按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用－表示．
例5 求下列各式的值。
（1）， （2）－， （3）

课堂完成：课本P46 练习1、2、3
你会求下列各数的值吗？（1）， （2）

四．【反思总结】：
1.什么叫做一个数的平方根？
2.正数、0、负数的平方根有什么规律？
3.怎样求出一个数的平方根？数a的平方根怎样表示？

五．【达标测试】：
1．计算：（1） = （2） （3）
（4） －=______ （5）  （6）= .
2.的算术平方根是_______，平方根是_______
3.若x2＝16，则5－x的算术平方根是　　　　
4.如果—b是a的平方根，那么
A. B. C. D.

六．【达标测试】：
1. 和 之间 ，它的整数部分是 它的小数部分是
2.

六．【我的感悟】：
1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有：

课题：6.2立方根
班级： 姓名： 时间：
【学习目标】：1.了解立方根的概念，学会用根号表示一个数的立方根.
2.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.
3.让学生体会一个数的立方根的惟一性，会分清一个数的立方根与平方根的区别.
【重点难点】： 重点：立方根的概念和求法. 难点：立方根与平方根的区别.
一．【自主学习】:
问题：要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

二．【合作探究】：
1.归纳 ：如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根
2．探究1：根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为，所以8的立方根是（ ）
因为，所以0.064的立方根是（ ）
因为，所以8的立方根是（ ）
因为，所以－8的立方根是（ ）
因为，所以的立方根是（ ）
一个正数有一个正的立方根
0有一个立方根，是它本身
一个负数有一个负的立方根
任何数都有唯一的立方根
归纳：

一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，.
3．探究2： 因为所以 =
因为，所以 =
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即.
4.探究3.
(1)求的值,你认为?
(2)求的值,你认为?
三．【巩固运用】：
例.求下列各式的值：
(1) (2) (3)

四．【反思总结】：
1.立方根和开立方的定义．
2.正数、0、负数的立方根的特征．
3.立方根与平方根的异同．
五．【达标测试】：
1．求下列各式的值：（1） （2） （3） （4） (5)

2． 求下列各式的值：
（1）；（2）；（3） （4）； （5）； （6）

3．比较3，4，的大小.

六．【我的感悟】：
1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有：

课题：6.3实数（一）
【学习目标】：1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。
2. 理解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数
3. 会求实数的相反数、倒数、绝对值.
【重点难点】：重点：理解实数的概念。
难点：正确理解实数的概念。
一．【自主学习】:
（一）学前准备
1.填空：（有理数的两种分类）

有理数 有理数

2.使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， ， ，， ，

二．【合作探究】：
1.归纳： 任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来，任何 小数或____________小数也都是有理数
观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_____根和______根都是____________小数， ____________小数又叫无理数，也是无理数
结论： ____ ___和___ ____统称为实数
你能举出一些无理数吗？

2.试一试 把实数分类

像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是____无理数，，，是____无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：

实数

3、我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？

从图中可以看出OO′的长时这个圆的周长______，点O′的坐标是_______
这样，无理数可以用数轴上的点表示出来
（2）课本P41页中,边长为1的正方形的对角线长为,在数轴上以原点O为圆心,以为半径画弧, 弧与数轴的两个交点,与正半轴交点为,与负半轴的交点为－.

总结 ①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数
② 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______
③ 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
总结 数的相反数是______，这里表示任意____________.
一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______

三．【巩固运用】：
例1.把下列各数分别填入相应的集合里：

正有理数{ }
负有理数{ }
正无理数{ }
负无理数{ }
2.下列实数中是无理数的为（ ）
A. 0 B. C. D.
3. 的相反数是 ，绝对值

4.绝对值等于的数是 的相反数是

5.比较大小： 1.4 π 3.14

6.求值:= ; ; ||= ;
; |π－3.14|= .

7.已知|x|=，则x= ;已知|x|=π,则x= .

8._________

四．【反思总结】：

无理数的特征:
1．圆周率π及一些含有π的数
2．开不尽方的数
3．无限不循环小数
注意:带根号的数不一定是无理数

五．【达标测试】：
1.把下列各数填入相应的集合内：

有理数集合{ } 无理数集合{ }

整数集合{ } 分数集合{ }

实数集合{ }
2.下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
3.若实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.下列说法正确的有（ ）
⑴不存在绝对值最小的无理数 ⑵不存在绝对值最小的实数
⑶不存在与本身的算术平方根相等的数 ⑷比正实数小的数都是负实数
⑸非负实数中最小的数是0
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
5.⑴的相反数是_________ ，绝对值是_________

⑵ =
⑶若，则 _________

⑷_______
6.是实数，则_________

六．【我的感悟】：
1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有：

课题：6.3实数（二）
【学习目标】：1会求实数范围内，相反数、倒数、绝对值.
2.会对简单的根式加减进行计算.
【重点难点】：重点：在实数内会求一个数的相反数、倒数、绝对值和简单的根式的加减运算.
难点：简单的无理数计算.
一．【自主学习】:
㈠ 学前准备
1.用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
2.用字母表示有理数的加法交换律和结合律
3.有理数的混合运算顺序
㈡自主学习: 独立阅读教材后完成
1.数a的相反数是 ；
2.一个正实数的绝对值是它 ；一个负实数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 .
3.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，正数及0可以进行开平方运算，而且任意一个实数都可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
二．【合作探究】：
讨论:下列各式错在哪里？并进行正确运算.
1. 2.

3. 4.当时，

三．【巩固运用】：
例1.计算下列各式的值：
(1)解：

⑵解:

⑴ ⑵

总结 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的
练习 （精确到0.01） · （结果保留3个有效数字）

总结 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算
计算
⑴ 2—3 ⑵

例2
⑴求5的算术平方根于的平方根之和

⑵

⑶ （）

O

例3 已知实数在数轴上的位置如下，化简

四．【反思总结】：
1.实数的运算法则及运算律. 2.实数的相反数和绝对值
五．【达标测试】：
1.的相反数是 ， 的相反数是
2.当时， ，

3.已知、、在数轴上如图，化简

O

4.在两个连续整数和之间，即，那么、的值是
5.已知四个命题，正确的有（ ）
⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数
⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
6.计算下列各题

仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律吗？
根据这个规律先写出接下来的第五个式子写出结果，并说明理由

六．【我的感悟】：
1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有：

课题：第六章复习 平方根、立方根、实数
一．自主学习：（知识点）
1.算术平方根:如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的 ，
即:如果x2=a(x>0)，则x叫做a的算术平方根，记作x= ，其中a 0, 0.
规定：0的算术平方根是0.
2.平方根: 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 ，
即:如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作x= ，其中a 0, 0.
规定：0的平方根是0.
3.平方根性质：⑴任何一个正数 ⑵零的平方根 ⑶负数
4.如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 ，
即:如果x3=a，则 x= .
5.立方根的性质：
⑴任何一个正数有 个立方根，是 数 ⑵零有 个立方根，是
⑶任何一个负数有 个立方根，是 数.
6.无限不循环小数叫做 数.
7. 和 统称为实数.
8.实数的两种分类方式.

实数 实数

9. 和数轴上的点一一对应.

10.绝对值： (|a|0)

二.基础训练:
1.如果x2=9，则x= ，的平方根是 ，算术平方根是 .
2.的立方根是 ，= ；
3.算术平方根等于它本身的数是 ；平方根等于本身的数有________；立方根等于它本身的数是 ．
4.在下列各数中：－3，，0，，，0.31，，2，2.161 161 161…，
无理数的有___________________________．
5.比较大小：－ ， 3.14；
6.当m 时，有意义，当m 时，有意义，
7.大于小于的整数是 ；写出两个3到4之间的无理数 .
8.若，则的值为 ．
9.则x= ;则x= ;,则x= .
10.= .
三.典型例题
例1.下列说法中正确的是（ ）。
（A）无理数是无限小数； （B）无限小数是无理数；
（C）数轴上的点与无理数一一对应；（D）无理数可分为正无理数、0和负无理数。
例2.小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( )
A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)
例3.全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到6月3日止各地共捐款约423.64亿元，用科学记数法表示捐款数约为__________元．（保留两个有效数字）
例4. 某实数的平方根为3a+1和2a－6，则该数是 .
例5.下列计算中正确的有 个。
（1） （2） （3） （4）
例6.x为任意实数时下列式子均有意义的有 个.

例7.若 ，则 ; ② =____ _

例8.在数轴上作出表示和的点。

例9.阅读下列材料：设…①，则…②，则由②－①得：，即.所以….根据上述提供的方法把下列两个数化成分数。 ，= .
四.巩固运用：
1.若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3的正数的平方根是（　　）
A． B． C． D．
2.已知：=5，=7，，且，则的值为（ ）
A．2或12 B.2或－12 C.－2或12 D.－2或－12
3.如图： ，那么 的结果是（ ）
A.－2b B.2b C.－2a D.2a
4.将下列各数填入相应的集合内。
－7，0.32, ，0，，，，，0.1010010001…
① 有理数集合｛ … ｝
② 无理数集合｛ … ｝
③ 负实数集合｛ … ｝
6.计算：（1） （2）

五.达标检测
1.下列式子中无意义的是（ ）
A. B. C. D.
2.有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0。其中错误的是（　　　）
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
3. 下列说法正确的是（      ）
A．实数分为正实数和负实数；B．实数都有平方根; C.无理数加无理数其和也是无理数 ；
D. 实数分为有理数和无理数.
4.点A在数轴上表示，从A点沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的实数是（ ）
A．3+ B．－1 C．5 D．－3
5.下列各数中:0,（—3）2,—（—9）,—︱—4︱,3. 14－π,x2－1,有平方根的数有 （ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6.如图,若数轴上的点A，B，C，D表示数－2，1，2，3，则表示的点P应在线段
-3
4
3
2
1
0
-1
-2
D
C
B
O
A
A．线段AB上 B．线段BC上
C．线段CD上 D．线段OB上
7.若，则= ；
8.若x＝9，则x＝ ；若，则y＝ ．
9.化简： ;
10.如果，则= ；
11.计算：
(1) （2）－ （3）

12.求下列各式中的的值。
（1） （2） （3）

13 一个正数的平方根是与，求这个正数.

14.已知a、b满足，解关于的方程.

15.先填写下表，通过观察后再回答问题．

…
0.000001
0.0001
0.01
1

…

100
10000
1000000

…

问：（1）被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．

（2）已知：=1800，=，你能求出a的值吗？

第六章 实数检测题
(满分100分,时间60分钟)
班级________姓名_________成绩__________
一.判断题（1分×10=10分）
1、3是9的算术平方根 （ ）
2、0的平方根是0，0的算术平方根也是0 （ ）
3、（－2）2的平方根是 （ ）
4、－0.5是0.25的一个平方根 （ ）
5、是a的算术平方根 ( )
6、64的立方根是 （ ）
7、－10是1000的一个立方根 （ ）
8、－7是－343的立方根 （ ）
9、无理数也可以用数轴上的点表示出来 （ ）
10.有理数和无理数统称实数 （ ）
二.选择题（3分×6=18分）
11、列说法正确的是（ ）
A .是的一个平方根 B. 正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0
C. 72的平方根是7 D.负数有一个平方根
12、如果，那么y的值是（ ）
A. B. C. D.
13、如果x是a的立方根，则下列说法正确的是（ ）
A.也是的立方根 B.是的立方根
C.是的立方根 D.x=
14、,,,,,可，无理数的个数是（ ）
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
15、与数轴上的点建立一一对应的是（ ）
A.全体有理数 B.全体无理数 C. 全体实数 D.全体整数
16、如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）
A.0 B.正实数 C.0和1 D.1
三．填空题（1分×30=30分）
17.100的平方根是_______-，10的算术平方根是 _________.
18．是 的平方根，是 的一个平方根；的算术平方根是 .
19．正数有 个平方根，它们互为 数；0的平方根是 ；负数 平方根.
20．的立方根是 ，的立方根是 ，0的立方根是 .
21．正数的立方根是 数；负数的立方根是 数；0的立方根是 .
22．的相反数是 ，= ，= .
23．比较下列各组数大小：
⑴ 12 ⑵ ⑶ ⑷ － －
四.解答题（共42分）
24．求下列各数的算术平方根与平方根（3分×4=12分）
(1) ⑵ ⑶ ⑷

25．求下列各式值（3分×6=18分）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹

26.求下列各式中的：（3分×4=12分）
（1） ⑵ ⑶ ⑷

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