等腰三角形练习.docx

13.3　等腰三角形

1．等腰三角形
(1)概念：有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等．②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点也是研究它的重要方法．
1. 等腰三角形两边长分别是5 cm和11 cm，则它的周长是(　　)．
2．等腰三角形性质
1(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．
(2)应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
【例2－1】 已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为(　　)．
【例2－2】 如图，AD、BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求证：∠C＝∠D.

3.等腰三角形性质2
(1)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质．
(2)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛．
(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，交BC于D，BD＝5 cm，求底边BC的长．

4．等腰三角形的判定
(1)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．
(2)与性质的关系：判定定理与性质定理是互逆的，性质：→；
判定：→.
(3)理解：性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷．
如图，BE平分∠ABC，交AC于E，过E作DE∥BC，交AB于D.试证明△BDE是等腰三角形．

5．等边三角形的概念和性质
(1)等边三角形
①概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
②认识：它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质．
(2)性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
(3)拓展：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它三边相等，三个内角相等，各边上的高、中线，对应的角平分线重合，且长度相等．
如图，点M、N分别在等边△ABC的边BC、AC上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q.求证：∠BQM＝60°.

6．等边三角形的判定
(1)判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
(2)判定方法：等边三角形的判定方法有三种：一是定义，另运用两个定理．
(3)拓展理解：对于判定定理①，有时候在一个三角形中只要有两个角是60°也可判定是等边三角形．
如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

7．含30°角的直角三角形的性质
(1)性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
(2)应用模式：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB.
(3)理解：①该性质是含有30°角的特殊的直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用；②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍数关系；③该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
如图，∠C＝90°，D是CA的延长线上一点，∠D＝15°，且AD＝AB，则BC＝__________AD.
8．等腰三角形性质和判定的综合应用
类似于全等三角形的性质和判定的关系，等腰三角形的性质和判定很多时候也是综合运用的．
一方面等腰三角形是特殊的三角形，由等腰三角形性质，可以知道许多相等的线段，相等的角，还能知道垂直关系，成倍数关系的线段或角，所以有时通过判定是等腰三角形来证明角相等、线段相等或垂直关系等；另一方面通过等腰三角形性质和判定的运用，直接由线段相等得到角相等，由角相等到线段相等，省去了全等的证明，简化了过程，因此很多时候，等腰三角形性质和判定的应用更广泛．注意：等腰三角形性质和判定的应用前提是在同一个三角形中．
如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC边上的高，求证：CD＝AB＋BD.

图1 　　　图2

9.巧用“三线合一”性质解题
(1)性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”性质；
(2)应用：它是等腰三角形特有的性质，这条线段是中线、高，也是角平分线，它包含有线段相等、角相等、垂直等关系，涉及量多，应用广泛，是证明线段相等、线段的倍数关系、角相等、角的倍数关系、垂直等常用的方法．
10.等边三角形的应用
等边三角形也称正三角形，它是最特殊的三角形，它除了三边相等，三个内角相等，且每个角都是60°外，还具有很多特殊的性质：如，证明两个等边三角形全等只要有一边相等即可；同一个等边三角形的高、中线、角平分线都相等，并且任何一条高(或中线、顶角的平分线)将等边三角形都分成全等的两个含有30°角的直角三角形；它的高和边长也存在着特殊的比例关系，因此已知是等边三角形，就可以知道其中的许多等量关系．
等边三角形的判定也具有自己独特的特点，可以由普通三角形满足条件直接判定，也可以在等腰三角形的基础上进行判定．
【例9】 (学科内综合题)如下图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线分别交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE＝EF＝FC的道理．

11．面积法证明等腰三角形的性质
面积法是解决几何问题常用的一种的方法，它巧妙地运用面积之间的关系，通过计算的方式，求线段的长度，或用来证明线段之间的数量关系，有时它比运用线段之间的等量关系证明、计算更简捷，更巧妙，因而在特定条件下能出奇制胜，是一种很好的方法．
面积法的运用，一般以同一个三角形的面积是相等的为基础，运用不同求法，即底不同、高不同、但面积都等于底×高的一半，或将一个图形分解成不同的图形来求面积，但面积之和相等．通过面积相等联系起各量之间的关系，再运用等式的性质，通过化简求出某些线段的长，或计算出某些线段之间的数量(如比例)关系．
12．等腰三角形中的“二推一”模式应用．
(1)基本图形：等腰三角形中的“二推一”一般有两种情况，一种是角平分线在外，要用到一个外角等于和它不相邻的两内角和；另一种是角平分线在内，基本图形如图①和图②所示，

演变图形类型较多，主要有以下几种：

如图，在△ABC中，∠CAE是△ABC的外角，在下列三项中：①AB＝AC；②AD平分∠CAE；③AD∥BC，选择其中两项为题设，另一项为结论，组成一个真命题，并证明．

【例11－2】 如图，已知△ABC中，AC＋BC＝24，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，MN过O点，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为___．

例11－3】 如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BO、CO相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，△OEF的周长＝10，求BC的长．