三角形全等的典型题型及变化规律.doc

七年级下数学导学稿
课题：《全章回顾与思考》 课型：新授课 授课时间：
复习重点：三角形的基本性质和三角形全等的条件。
复习难点：三角形全等的条件及应用。
■自主学习：
一、知识梳理：请你仔细阅读教材，并填空：
1． 叫三角形；
2．三角形两边之和 ，三角形两边之差
3．三角形内角和为 ，直角三角形的两锐角
4．三角形按角分类为 三角形、 三角形、 三角形；
5． 叫做三角形的角平分线， 叫做三角形的中线， 叫做三角形的高，三角形的三条角平分线交于 、三条中线 、三条高所在的直线
6． 称为全等图形，全等图形的 相同， 相等；
7．全等三角形的对应边 、 相等；
8．如果△ABC与△DEF全等，把它们记作 ，记两个三角形全等时，一般把 写在对应的位置上；
9．判定三角形全等的方法有：（1） ，（2） （3） （4） ；直角三角形全等的判定方法除了这四种外，还有“斜边、直角边”或“HL”。
10．在几何里，把只用 和 画图的方法称为尺规作图；尺规作图时，用 画直线、射线和线段，用 画弧和圆；
11．测量距离的常用方法有： 、
二、三角形全等的条件的选择问题：
已知条件
可选择的方法
一边一角对应相等

两角对应相等

两边对应相等

对于直角三角形除了上述条件还有：
三、探索两个三角形全等时，要注意两个特例：AAA、SSA
1、三边对应相等的两三角形全等，但三角对应相等的两个三角形不一定全等；
2、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；如图（1）中的△ABC和△ABD中，虽然有AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但它们显然不全等。
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
图（1）
四、在判定三角形全等时，还要注意的问题：
1、根据已知条件与结论认真分析图形；
2、准确无误的确定每个三角形的六个元素；
3、根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边；
4、对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等；
■合作探究：
一、选择题
1．如图，已知：△ABC≌△DEF，AC∥DF，BC∥EF；则下面不正确的是（ ）
A、AC=DF B、AD=BE C、DF=EF D、BC=EF

第1题的图 第2题的图 第3题的图 第4题的图
2．如图，已知∠A=∠D，OA=OD，∠DOC=50°，则∠DBC的度数为( )
A、50° B、30° C、45° D、25°
3．如图，∠ABC=∠DCB=70°，∠ABD=40°，AB=DC，则∠BAC= ( )
A、70° B、80° C、100° D、90°
4．如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，∠B=90°，AD与DC的关系为( )
A、相等 B、互相垂直 C、互相垂直平分 D、平行
5．下列判断中正确的是( )
A、全等三角形是等积三角形 B、面积相等的两个三角形是全等三角形
C、等边三角形都是等积三角形 D、等积的直角三角形都是全等直角三角形
6．下列给出的四组条件中，能使△ABC、 △A'B'C'全等的条件是( )
A、∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'；
B．∠B=95°，AC=a，∠C=65°，∠B'=95°，B'C'=a，∠A'=20°；
C．AB=4cm，∠A=60°，BC=3.5cm，A'B'=4cm，∠A'=60°，A'C'=3.5cm；
D．∠A=58°，AB=3cm，∠B=70°，∠A'=58°，A'B'=3cm，∠C'=52°；
7．下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的（ ）
A、4cm B、5cm C、9cm D、13cm
二、填空题
1．如图，若△ABC≌△ADE，∠EAC=30°，则∠BAD=_________
2．如图，已知：AB=DE，AC=DF，要证△ABC≌△DEF，所缺一个条件是__________或__________。
3．如图，已知△ABC≌△FED，且BC=DE，则∠A=_______，A D=______。
4. 如图，已知△ABE≌△ACD，∠B=∠C，则∠AEB=_______，AE=__

第1题的图 第2题的图 第3题的图 第4题的图
三、说理题：在括号里加注理由。
1．如图，已知BC=DF，∠B=∠F，AC∥DE；求证：△ABC≌△EFD。
证明：∵AC∥DE( )∴∠ACB=∠EDF( )
在△ABC和△EFD中，
∵∠B=∠F（ ），BC=DF（ ），∠ACB=∠EDF( )
∴△ABC≌EFD( )
2. 如图，已知：∠1=∠2，∠3=∠4；求证：AC=AB
证明：∵ ∠3=∠4，( ) ∴______=_______( )
又∵AD=AD( )，∠1=∠2（ ）∴△ABD≌△ACD( )
3. 如图，已知AB=CD，BE=CF，AF=DE；
求证：△ABE≌△DCF。
证明：∵AF=DE( )∴AF-EF=DE-EF( )即AE=DF；
在△ABE和 △DCF中，∵AB=CD，BE=CF，( )，AE=DF ( )
∴△ABE≌△DCF( )
■展示提升
例1、如图，已知DN=EM，且DN⊥AB于D，EM⊥AC于E， BM=CN；
求证：∠B=∠C。

例2、如图，已知点B、F在EC上，∠A=∠D=90°，BE=FC，AB=DF；
求证：∠E=∠C。

例3、如图，已知AE⊥BD于E，FC⊥BD于F，AD=BC，BE=DF；求证：OA=OC。

例4、某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要大通一座小山，如下图，设计时要测量隧道的长度，恰好在山的前面是一片空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖隧道的长度？请设计出测量方法，画出图形并说明理由。
A
B

例5、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，过点A的任一直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：CE+DE=BD。

例6、如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，点E在DC上；求证：AD+BC=AB。

《三角形》单元练习
一、填空题：
1、等腰三角形中，一条边长为3，一条边长为8，则底边长为 。
2、等腰三角形的一个角为50°，则其余两个角为 。
3、在△ABC中，∠A=30°,∠C=90°，则∠B=__ __。
4、在△ABC中，∠A=50°,∠B=∠C，则∠B=____ ___。
5、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A=__ ____
6、三角形有两条边的长度分别是5和7，则第三条边x的取值范围是__________。
7、如图：△ABC≌△ADE，则（1）AB= ；BC= ；∠BAC= 。
DB
F
A
B
C
E
（2）若∠1=25°，∠DAC=75°，则∠DAE= °
8、如图，已知∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 。
（2）若以“AAS”为依据，还缺条件 。
（3）若以“SAS”为依据，还缺条件 。
9、如图：已知∠C=∠D=90°，请你再添加一个条件，使△ABC≌△BAD，并在添加的每一个条件后的括号内写出这样添加条件后判定三角形全等的理由：
（1） （ ）；（2） （ ）
（3） （ ）；（4） （ ）
二、选择题：
1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ）
（A）3 4 2 （B）12 5 6 （C）1 5 9 （D）5 2 7
2. 一个三角形的三个内角中，至少有（ ）
（A）一个锐角 （B）两个锐角 （C）一个钝角 （D）一个直角
3. 具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是( )
(A)有两边一角对应相等 (B)三边对应相等
(C)两角一边对应相等 （D）有两直角边对应相等的两个直角三角形
4．满足条件2∠A=2∠B=∠C的三角形是（ ）
（A）直角三角形 （B）锐角三角形 （C）钝角三角形 （D）不能确定
5．满足条件∠A-∠B=∠C的三角形是（ ）
（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）不能确定
6．一个三角形的两边分别是4和9，而第三边的长为奇数，则第三边的长是（ ）
（A）3或5或7 （B）9或11或13 （C）5或7或9 （D）7或9或11
7．能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
（A）两直角边对应相等 （B）有两边相等（C）两锐角对应相等（D）斜边相等
8．已知△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠E=30°，则∠F的度数为（ ）
（A） 80° （B） 70° （C） 30° （D） 100°
9．对于下列各组条件，不能判定△ABC≌△A'B'C'的一组是（ ）
（A）∠A=∠A'，∠B=∠B'，AB=A'B' ； （B）∠A=∠A'，AB=A'B'，AC=A'C'；
（C）∠A=∠A'，AB=A'B'，BC=B'C'； （D）AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'
10．如图，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，那么下列结论错误的是（ ）
（A）∠DAC=∠BCA （B）AC=CA （C）∠D=∠B （D）AC=BC
11．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
（A）AD=AE （B）AB=AC （C）BE=CD （D）∠AEB=∠ADC
C
B
A
D

12．判定两个三角形全等，给出如下四组条件： ①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等； ③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等； 其中能判定这两个三角形全等的条件是（ ）
（A）①和② （B）①和④ （C）②和③ （D）③和④
B
C
A
三、作图题：
1．如图，画出△ABC的三条高。（用铅笔、三角板画）

2、巳知：线段a、b，∠α。求作：△ABC，使BC=a，AB=b，∠ABC=∠α。（保留作图痕迹，不用写作法）
a
b

四、解答题：
1．如图，已知AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，问：BC=DC吗？说明理由。

2．如图，已知AD∥BC，AD=CB，AE=CF，请问∠B=∠D吗？为什么？

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在高AD上，找出图中全等的三角形，并证明它们为什么全等？

4．如图，AB、CD、EF交于O点，AC=BD，AC∥DB；求证：O是EF的中点。

5．如图，已知△ABC和△ADC有公共边AC，E是AC上一点，AB=AD， BE=DE。求证：∠ABC=∠ADC。

6．如图，已知AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，M是AB的中点，连结CM并延长交BD于点F；求证：AC=BF。

7．如图，已知AB=CD，AD=BC，O为BD中点，过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F；求证：OE=OF。

8．如图，在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任意一点；
求证：PA=PD。

9．如图(1)所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。
求证：（1）BD=DE＋CE。
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其他条件不变，判断BD与DE，CE的关系并说明理由。
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其他条件不变，则BD与DE，CE的关系又怎样？请写出结果，不必证明。

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