第二章圆锥曲线与方程导学案.doc

山西盂县第一中学校 高二数学 班级： 姓名：

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

学习目标
1．理解并掌握双曲线的几何性质．

学习过程
一、 课前准备：
（预习教材理P56~ P58，找出疑惑之处）
复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①，焦点在轴上；
②焦点在轴上，焦距为8，．

复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？这些性质是如何确定的？

二、新课导学：
※ 学习探究
问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线的几何性质?

范围：： ：

对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．

顶点：（ ），（ ）．
实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．
离心率：．
渐近线：
①双曲线的渐近线方程为： ．
②为什么要叫做渐近线呢？

问题2：双曲线的几何性质?
图形：

范围：： ：

对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．

顶点：（ ），（ ）
实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．

离心率：．
渐近线：
双曲线的渐近线方程为： ．
你能得出求双曲线渐近线的一般方法吗？
新知：你知道什么叫实轴和虚轴吗？

实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．

※ 典型例题
例1求双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．

变式：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

例2求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
⑵离心率，经过点；
⑶渐近线方程为，经过点．

※ 动手试试
练1．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．

练2．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求它的标准方程和渐近线方程．

三、总结提升：
※ 学习小结
双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．
※ 知识拓展
与双曲线有相同的渐近线的双曲线系方程式为 ，为什么呢？
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1． 双曲线实轴和虚轴长分别是（ ）．
A．、 B．、
C．4、 D．4、
2．双曲线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．（）
3． 双曲线的离心率为（ ）．
A．1 B． C． D．2
4．双曲线的渐近线方程是 ．
5．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．

课后作业
1．求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．

2．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．

§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P58~ P60，文P51~ P53找出疑惑之处）
复习1：说出双曲线的几何性质?

复习2：双曲线的方程为，
其顶点坐标是( )，( )；

渐近线方程 ．

二、新课导学
※ 学习探究
探究1：椭圆的焦点是？

探究2：双曲线的一条渐近线方程是，则可设双曲线方程为？

问题：若双曲线与有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则双曲线的方程是？

※ 典型例题
例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．

例2点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．

（理）例3过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求两点的坐标．

变式：求 ？

思考：的周长？

※ 动手试试
练1．若椭圆与双曲线的焦点相同，则=____.

练2 ．若双曲线的渐近线方程为，求双曲线的焦点坐标．

三、总结提升
※ 学习小结
1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；

2．双曲线的另一定义；

3．（理）直线与双曲线的位置关系．

※ 知识拓展

双曲线的第二定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
2．以椭圆的焦点为顶点，离心率为的双曲线的方程（ ）．
A. B.
C. 或 D. 以上都不对
3．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于、，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）．
A. B. C. D.
4．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________.
5．方程表示焦点在x轴上的双曲线，则的取值范围 ．

课后作业
1．已知双曲线的焦点在轴上，方程为，两顶点的距离为，一渐近线上有点，试求此双曲线的方程．

§2.4.1抛物线及其标准方程

学习目标
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P64~ P67，文P56~ P59找出疑惑之处）
复习1：函数 的图象是 ，它的顶点坐标是（ ），对称轴是 ．

复习2：点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则点的轨迹是什么图形？

二、新课导学
※ 学习探究
探究1：若一个动点到一个定点和一条定直线的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？

新知1：抛物线
平面内与一个定点和一条定直线的
距离 的点的轨迹叫做抛物线．

点叫做抛物线的 ；
直线叫做抛物线的 ．

新知2：抛物线的标准方程
定点到定直线的距离为 （）．

建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：

图形
标准方程
焦点坐标
准线方程

试试：
抛物线的焦点坐标是（ ），
准线方程是 ；
抛物线的焦点坐标是（ ），
准线方程是 ．

※ 典型例题
例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．

变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程：
⑴焦点坐标是(0,4)；
⑵准线方程是；
⑶焦点到准线的距离是．

例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为，深度为，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

※ 动手试试
练1．求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1) 焦点坐标是；
(2) 焦点在直线上．

练2 ．抛物线 上一点到焦点距离是，则点到准线的距离是 ，点的横坐标是 ．

三、总结提升
※ 学习小结
1．抛物线的定义；
2．抛物线的标准方程、几何图形．
※ 知识拓展
焦半径公式：
设是抛物线上一点，焦点为，则线段叫做抛物线的焦半径．
若在抛物线上，则
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．对抛物线，下列描述正确的是（ ）．
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为
D．开口向右，焦点为
2．抛物线的准线方程式是（ ）．
A． B．
C． D．
3．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）．
A. B. C. D.
4．抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标是 ．
5．抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为 ．

课后作业
1．点到的距离比它到直线的距离大1，求点的轨迹方程．

2．抛物线 上一点到焦点的距离，求点的坐标．

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）

学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P68~ P70，文P60~ P61找出疑惑之处）
复习1：
准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ．

复习2：双曲线有哪些几何性质？

二、新课导学
※ 学习探究
探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？

新知：抛物线的几何性质

图形

标准方程

焦点

准线

顶点

对称轴

x轴

离心率

试试：画出抛物线的图形，
顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、
准线方程 、对称轴 、
离心率 ．

※ 典型例题
例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．

变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程．

小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．

例2斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长 ．

变式：过点作斜率为的直线，交抛物线于，两点，求 ．

小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．

※ 动手试试
练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
⑴顶点在原点，关于轴对称，并且经过点
，；
⑵顶点在原点，焦点是；
⑶焦点是，准线是．

三、总结提升
※ 学习小结
1．抛物线的几何性质 ；
2．求过一点的抛物线方程；
3．求抛物线的弦长．

※ 知识拓展
抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．
其长为．

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．顶点在原点，焦点是的抛物线方程（ ） ．
A． B．
C． D．
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（ ）．
A． B． C． D．
4．抛物线的准线方程是 ．
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则= ．

课后作业
1． 根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出
图形：
⑴顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等到于；
⑵顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点．

2 是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，求．

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）

学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P70~ P72，文P61~ P63找出疑惑之处）
复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程为（ ）．
A． B. 或
C. D. 或

复习2：已知抛物线的焦点恰好是椭圆的左焦点，则= ．

二、新课导学
※ 学习探究
探究1：抛物线上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：

① 这点到准线的距离为 ；

② 焦点到准线的距离为 ；

③ 抛物线方程 ；

④ 这点的坐标是 ；

⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为 ．

※ 典型例题
例1过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．

（理）例2已知抛物线的方程，直线过定点，斜率为 为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

小结：
① 直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切 ；

②直线与抛物线只有一个公共点时，
它们可能相切，也可能相交．
※ 动手试试
练1. 直线与抛物线相交于，两点，求证：．

2．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程．

三、总结提升
※ 学习小结
1．抛物线的几何性质 ；

2．抛物线与直线的关系．

※ 知识拓展
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则为定值，其值为．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D. 无法确定
2．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）．
A. B. C. D.
3．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）．
A．条 B．条 C．条 D．条
4．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______．
5．抛物线上一点到焦点的距离是，则抛物线的标准方程是 ．

课后作业
1．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线与直线交于，两点，=，求抛物线的方程．

2． 从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

第二章 圆锥曲线与方程（复习）

学习目标
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题．

学习过程
一、课前准备
（预习教材理P78~ P81，文P66~ P69找出疑惑之处）
复习1：完成下列表格：

椭圆
双曲线
抛物线
定义

图形

标准方程

顶点坐标

对称轴

焦点坐标

离心率

（以上每类选取一种情形填写）

复习2：
① 若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为__________；

②双曲线的渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为 ；

③以椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程为 ．

二、新课导学
※ 典型例题
例1 当从到变化时，方程
表示的曲线的形状怎样变化？

变式：若曲线表示椭圆，则的取值范围是 ．

小结：掌握好每类标准方程的形式．

例2设，分别为椭圆C： =1
的左、右两个焦点．
⑴若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
⑵设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．

变式：双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程．

※ 动手试试
练1．已知的两个顶点，坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于 ，试探求顶点的轨迹．

练2．斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程．

三、总结提升
※ 学习小结
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．直线与圆锥曲线．

※ 知识拓展
圆锥曲线具有统一性：
⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线；
⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线；
⑶它们的方程都是关于，的二次方程．

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．曲线与曲线
的（ ）．
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） ．
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（ ）．
A． B． C． D．
4．直线与双曲线没有公共点，则的取值范围 ．
5．到直线的距离最短的抛物线上的点的坐标是 ．

课后作业
1．就的不同取值，指出方程所表示的曲线的形状．

2． 抛物线与过点的直线相交于，两点，为原点，若和的斜率之和为，求直线的方程．

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