证明三角形全等常用的辅助线作法.doc

证明三角形全等常作的辅助线
在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果找到了一组对应边，再找第二组条件，若又找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”.上述结论可归纳为：

搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．
A
B
C
D
F
E
G

1．截长补短法
例1 如图，已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E.
求证：AB+BE=AC．
解法1:（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，
由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45°，
∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC．
解法2:（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知
△ABE≌△AGE，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE.
∵∠ACE=45°, ∴CG=EG,∴AB+BE=AG+CG=AC．
2．平行线法（或平移法）
若题设中含有中点可以过中点作平行线或中位线，对直角三角形,有时可作出斜边上的 中线．
例2 在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ．
证明：如图，过O作OD∥BC交AB于D，
∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°.
∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO.
∵∠DAO=∠QAO，OA=OA，∴△ADO≌△AQO，
∴OD=OQ，AD=AQ.
∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB.
∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD.
∵∠BPO=∠PAC+∠PCA=30°+40°=70°，∠BOP= ∠BAO+∠ABO=30°+40°=70°，∴BP=BO.
∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ．
3．旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。

　　例3　如图所示，已知点、分别在正方形的边与上，并且平分，求证：.
分析：本题要证的和不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起.可将绕点旋转90°到，则≌，BG=，从而将转化为线段，再进一步证明即可.证明略.
4．翻折法
若题设中含有垂线、角平分线等条件，可以试着用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例4 如图,已知：在△ABC中，∠BAC=45°, AD⊥BC，若BD=3，DC=2，
求△ABC的面积．
解：以AB为轴将△ABD翻转180°，得到与它全等的 △ABE，以AC为轴将△ADC翻转180°，得到与它全等的 △AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方形，
设它的边长为x，则BG=x－3，CG=x－2，
在Rt△BGC中，（x-3）+（x-2）=5．
解得x=6，则AD=6，∴S△ABC=×5×6=15．