等边三角形(二).doc

§12．3．2 等边三角形（二）
教学目标
（一）教学知识点
1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
（二）能力训练要求
1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．
2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．
（三）情感与价值观要求
1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．
2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．
教学重点
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
教学难点
1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
教学方法
探索发现法．
教具准备
两个全等的含30°角的三角尺；
多媒体课件；
投影仪．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？
问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
Ⅱ．导入新课
（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）
[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．

其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．
[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．
[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？
[生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．
[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成这个定理的证明过程．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=AB．

分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）
∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC=BD=AB．
[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．
（演示课件）
[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB．
解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知
BC=AB，DE=AD，
所以BD=×7.4=3.7（m）．
又AD=AB，
所以DE=AD=×3.7=1.85（m）．
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．
[师]再看下面的例题．
[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
求：CD的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．
解：∵∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．
∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
[师]下面我们来做练习．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P56练习
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC．
（二）补充练习
1．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．
求证：BD=AB．
证明：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=AB．
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴∠BCD=30°．
∴BD=BC．
∴BD=AB．
2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．
求证：其中一条是另一条的2倍．
已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．
求证：CD=2AD．
证明：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=60°，∠C=30°．
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=30°．
∴AD=BD，BD=CD．
∴CD=2AD．
Ⅳ．课时小结
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P58─11、12、13、14题．
（二）预习P60～P61，并准备活动课．
1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字．
2．思考镜子对实物的改变．
Ⅵ．活动与探究
在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．
结果：
已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．
求证：∠BAC=30°．
证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD．
∵CD=BC，
∴BC=BD．
又∵BC=AB，
∴AB=BD．
∴AB=AD=BD，
即△ABD为等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
板书设计
§12．3．2 等边三角形（二）
一、定理的探究
定理：在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
二、范例分析
三、随堂练习
四、课时小结
五、课后作业
备课资料
参考例题
1．已知，如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形．
求证：AN=BM．
证明：△ACM与△CBN是等边三角形．
∴∠ACM=∠BCN．
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM，
即∠ACN=∠MCB．
在△ACN和△MCB中，

∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．
2．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？
解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm．
∴BC=AB=5cm．
∵CB1⊥AB，
∴∠B+∠BCB1=90°．
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠BCB1=∠A=30°．
在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5cm．
∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．
∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．
∴B1C1=AB1=×7.5=3.75（cm）．