解直角三角形及应用导学案.doc

九年级数学下锐角三角函数导学案 主备人： 审核人：
课题：28．1锐角三角函数（1） 九 （ ）班 姓名
【学习目标】
⑴: 理解直角三角形中锐角A的正弦、余弦、正切的概念
⑵:培养学生观察、比较、分析的思维能力。
【学习重点】理解正弦、余弦、正切的概念。
【学习难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
【学习过程】
一、预习检测：（学习课本74-78页内容，解决下列问题）
1、在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比， 领边与斜边的比，对边与领边的比都
2、规定：在Rt△ABC中，∠C=90，
∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．那么
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，即 sinA＝
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，即cosA== ；
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的 ，记作 ，即tanA== ．
锐角A的 、 、 都叫做∠A的锐角三角函数
二、知识应用：
1、在Rt△ABC中，∠C=90，AC=6,BC=8,求 sinA、sinB、cosA、cosB、tanA、 tanB

2、在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，求sinB、cosA、cosB、tanA、 tanB

3、在△ABC中，∠C=90°，tanA=，求sinA、sinB、cosA、cosB、tanB

三、达标检测：
1、在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）
A．B．C．D．
本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据的图形，不难写出，从而可判断C正确.
2、 在中，∠C＝90°，如果cos A=那么的值为（）
A．B．C．D．
分析? 本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。
其思路是：依据条件，可求出；再由，可求出，从而，故应选D.
3、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），

则cosα＝_____________.

4、如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）
A． B． C．

5、在△ABC中，∠C=90°，cosA=，求sinA、tanB

E
O
A
B
C
D
·

6、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．

7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD，tan∠ACD

九年级数学下锐角三角函数导学案 主备人： 审核人：
课题：28．1锐角三角函数（2 ） 九 （ ）班 姓名（ ）
【学习目标】
⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
【导学过程】
一、预习检测
在Rt△ABC中，一个锐角∠A的正弦= 余弦=
正切=
二、合作交流：
1.思考：一副三角尺中有几个不同的锐角？ 分别是多少度？

你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．
2.归纳结果

30°
45°
60°
siaA

cosA

tanA

3.求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°． （2）-tan45°．

4.（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．

（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．

三．达标检测

1．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
A．2 B． C． D．1
2．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定
3．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=15，则AC的长是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12

4．下列各式中不正确的是（ ）．

A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1

C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°

5．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（ ）．
A． B． C． D．
6．当锐角a>60°时，cosa的值（ ）．
A．小于 B．大于 C．大于 D．大于1
7．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：：2，则sinA+tanA等于（ ）．
A．
8．sin272°+sin218°的值是（ ）．
A．1 B．0 C． D．
9．若（tanA-3）2+│2cosB-│=0，则△ABC（ ）．

A．是直角三角形 B．是等边三角形
C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
10．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是，则∠CAB等于（ ） A．30° B．60° C．45° D．以上都不对

11．已知，等腰△ABC的腰长为4，底为30°，则底边上的高为___，周长为___

12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=，则cosA=________．

九年级数学下锐角三角函数导学案 主备人： 审核人：
课题：28．1锐角三角函数（3） 九 （ ）班 姓名（ ）

【学习目标】：灵活应用特殊锐角三角函数值进行计算
【学习重点】：三角函数的计算
【学习难点】：三角函数的计算
【导学过程】
一、复习回顾
1、在Rt△ABC中，一个锐角∠A的正弦= 余弦=
正切=
2、填表

30°
45°
60°
siaA

cosA

tanA

二、应用练习

1.求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）2sin60°-2cos30°·sin45°

（3）; （4）

（5）-sin60°（1-sin30°）． （6）+cos45°·cos30

（7）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+·tan30°

°

2、在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC三个角的大小关系是（ ）
A、∠C＞∠A＞∠B B、∠B＞∠C＞∠A C、∠A＞∠B＞∠C D、∠C＞∠B＞∠A
3、若关于x的方程x2-x+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）
A
C
O
P
D
B
图4
A、30° B、45° C、60° D、0°

A
B
C
D
O
E
α
（
图4
4、如图4，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥DB，
如果PC=6，那么PD等于（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1

5、已知∠A为锐角，且cosA≤，则（ ）
A、 0°≤A≤60° B、60°≤A ＜90°
C、0°＜A ≤30° D、30°≤A≤90°

6、如图6，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则 tanα的值为（ ）
A、 B、 C、 D、2
7、如图7，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB=4，那么AD= 。

A
B
C
D
图7
A
B
C
D
O
E
α
（
图6

新人教九年级数学（下）导学案 主备人： 审核人：
解直角三角形及其应用（1）学案

班级 姓名 得分
【学习目标】
理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
【学习重点】灵活运用知识点，准确解直角三角形
【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用
一、自学课本，完成下列知识点
1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=8，则可求出AB= ,AC= 。
∠B= 。
2 结合上面题目的解决，归纳：
（1）在三角形中共有几个元素（边、角）：
（2）Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
①三边之间关系：

②两锐角之间关系：  
③边角之间关系：

3.解直角三角形概念：
二、合作探究
例1：在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，
a=，解这个直角三角形．

例2：在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠B =45o，b=20，解这个直角三角形．

三、课堂检测
1、Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
2、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
3、在△ABC中，∠C=90°，sinA=则cosA的值是
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，b=3，解这个三角形．

5、 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。

四、达标检测
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)已知：a＝35，，求∠A、∠B，b；

(2)已知：，，求a、b；

(3)已知：求a、c；

(4)已知：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠B．

新人教九年级数学（下）导学案 主备人： 审核人：
解直角三角形及其应用（2）学案

班级 姓名 得分
学习目标：能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．
学习重难点：灵活构造直角三角形解决问题
导学过程：
一、自主学习
1.直角三角形的边角关系是
2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．

3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．

4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．

5.已知：如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝8cm．求△ABC的面积
A
C
B

二、课堂练习
1．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．
求AD的长．

2.已知：如图，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝120°，AB＝10cm．求AC及BC的长．

三、达标检测
C
A
B
1.△ABC中，∠A＝120°，∠B＝30°，AC＝2cm．求AB及BC的长．

B
A
C
2.已知：如图，△ABC中，∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝6cm．求BC

新人教九年级数学（下）导学案 主备人： 审核人：
解直角三角形及其应用（3）学案 仰角、俯角

班级 姓名 得分
学习目标：1.认识仰角、俯角，并能结合实际标准角度。
2.能应用解直角三角形的知识解决实际问题．
重点：直角三角形的解法。
难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用
一、自学课本内容，完成下列各题
1.仰角、俯角的概念
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫做仰角，视线在水平线 的角叫做俯角。
2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，这栋高楼高为120 m.，求热气球与高楼的水平距离(结果精确到0.1m)?

二、合作探究
1、如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .

450米
P
β
α
O
2．直升飞机在彩虹桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的
B
A
高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥
两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .

A
B
O
400米
P
变题：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方
P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得
45°
30°
飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .

三、达标检测
1.甲、乙两幢高楼的水平距离BD为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角α为30°，测得乙楼底部B点的仰角β为60°，求甲，乙两幢高楼各有多高？（计算过程和结果不取近似值）

B
A
C
D
2、建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)

40m

新人教九年级数学（下）导学案 主备人： 审核人：
解直角三角形及其应用（4）学案 方位角

班级 姓名 得分
学习目标：能熟练地应用解直角三角形的知识解决有关航海的实际问题。
重点：熟练掌握方位角的概念，掌握特殊三角函数值
难点：熟练掌握解直角三角形的基本方法
一、预习，完成作业：
1、下图，用连线将左边表示的方向与右边表示点的字母连接起来。
东
60°
B
C
A

2、如图，一艘轮船航行到B处时，灯塔A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处向正东方向行驶2400m到达C处，此时灯塔A在船的正北方向，求C处与灯塔A的距离（精确到1m）。

3、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？

4、已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏
西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，
测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M
之间的最短距离是多少?

Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
北
5．如图，海关某缉私艇巡逻到达处时，接到情报，在处北偏西方向的处发现一艘可疑船只，正以的速度向正东方向前进，上级命令对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西的方向快速前进，经过的航行，正好在处截住可疑船只，求该艇的速度．（结果保留到整数）

三、达标检测：
东
北
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
1、如图，在港口的正东15海里处有一观测站，一艘货船从处向正北方向航行，当货船航行到处时，从观测站测得货船的方向为北偏西，0.5h后，货船到这处，此时从处测得货船的方向为北偏西．求货船航行的速度（精确到1海里，）．

2．海中有一个小岛，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点测得小岛在北偏东，航行12海里到达点，这时小岛在北偏东，如果渔船不改变方向航行，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？请说明理由．

新人教九年级数学（下）导学案 主备人： 审核人：
解直角三角形及其应用（5）学案 坡度问题

班级 姓名 得分
学习目标：
1．运用有关坡度、坡角的知识，以三角函数为工具，解决现实问题数学化的问题（重点）
2. 能从实体抽象出平面图形，同时又能从平面图形回想原来的实体(难点)
一、自主学习：
1．阅读P90内容，完成下列问题
（1）如图：坡面的坡度是坡面的__________（h）和_______(l)的比，记作，即=____________.
（2）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.则有tanα=_________=_________.．
显然，坡度越大，坡角α就越_______，坡面就越_____.
2.(1)若坡度i=1:1,则坡角α= °;若坡角α=30°，则坡度i= ；若坡角α=60°，则坡度i= 。
(2)斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______
(3)若斜坡的坡度i为1:2，高度为2m，则斜坡的水平长度为 m，斜坡的坡面长度为 m。
(4)若斜坡的坡角为30°，铅垂高度为2m，则斜坡的水平长度为 m。
3. 一河堤的横断面为梯形ABCD，坝顶宽2米，坝高4米，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡角为30°．求坝底AD的长度。

二、课堂训练：
1. 一段路基的横断面是等腰梯形ABCD，高为6米，上底的宽是8米，坡面AB的坡角是45°．坡面CD的坡角为60°，求路基下底的宽及这段横断面的面积．（结果保留根号）

2. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD．（结果保留根号）

三、达标检测
1．如图，已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面的水平宽度为3m，CD＝4m，∠B＝60°，则斜坡BC的坡度是_________；坡角A的度数是_________；
斜坡AD的铅直高度是_________m；
斜坡AD的长是_________m；
堤坝底AB的长是_________m。
2. 等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，高为3，则AB的坡角为 °；

3.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图， 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)

四、拓展延伸
利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
 ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
 ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

锐角三角函数单元检测卷
一、精心选一选
1、在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
A
B
q
h

2、如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（ ）
A． B． C． D．
3、在△ABC中，∠C=90°，AB=2,AC=1,则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.2
4、如果sinα+cos30°=1,那么锐角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5、如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（ ）
A．4.5cm B．9 cm C．18 cm D ．36cm
6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
二、耐心填一填
7、Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=10，则BC=_______．
8、在△ABC中，若│sinA-1│+（-cosB）=0，则∠C=_______度．
9、如图所示，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，BC=，
则AB的长为________．
10、若，则锐角=
11、升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米。(用含根号的式子表示)
12、在坡度为1:2的斜坡上，某人前进了100米，则他所在的位置比原来升高了 米．
三、解答题 13、计算：
（1） (2)cos30°+sin45° （3）

14、根据下列条件，求出Rt△ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角.
(1)BC=8，∠B=60°. (2)AC=，AB=2.

15、如图a，飞机p在目标A的 正上方1100米处，飞行员测得地面目标B的俯角α＝30°，求地面目标A、B之间的距离．（结果保留根号）

16．（6分）某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长（精确到1m，≈1.732）

17、如图，在某建筑物AC上挂着一幅的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B， 测得仰角为30°；再往条幅方向前行20m到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高忽略不计，结果精确到0.1m）

(第18题)
3m
120°
轴线
18．要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯．路灯的灯臂长为3m，且与灯柱成120°(如图所示)，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想．问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？(精确到0.01m，)（分）

19