《等腰三角形的判定》.doc

等腰三角形的判定 
（一）本课目标
 1．掌握等腰三角形的判定定理、性质定理以及斜边、直角边定理的证明． 2．经历探索证明方法的过程，逐步培养学生逻辑推理的能力．
（二）教学流程 1．情境导入 　
　军军想利用学过的知识测一测河宽（如图所示）．他先沿着垂直于河岸的方向在河两岸分别选定两点A、B，再从A点到C点，测得∠C=30°，∠DAC=60°，量一量AC的长度就是河宽．
2．课前热身 互动1 师：请同学们思考一下，他这样测行吗？有什么依据吗？生：他这样测可以．因为由三角形的一个外角等于两个不相邻的两个内角和可以求出∠B=30°，又因为∠B=∠C，所以AB=AC．师：很好．军军这种方法其实就是利用"等角对等边"，那么同学们是怎样知识等腰三角形的这个识别方法的呢？　　生：用折纸的方法．如图所示，△ABC中，∠B=∠C，利用刻度尺找到BC的中点D，连结AD，然后沿AD对折，观察发现AB、AC完全重合，于是得到AB=AC．
明确 回顾在第9章得出的"等角对等边"这个识别等腰三角形的重要方法．
3．合作探究 
（1）整体感知 
请同学们一起思考，为什么将△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？仅仅凭借观察可靠吗？因此，要用逻辑推理加以证明． 
（2）四边互动 
活动一：探索等腰三角形判定定理及其性质定理的证明方法． 
互动2
师：我们先将"等角对等边"这一语言文字转化为几何语言．
生：已知：如图所示，△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC． 
师：要证明AB=AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是他们的对应边/于是我们可以作∠BAC的平分线AD，接下去该怎样证明呢？ 
生：（教师引导学生作答）
师：这里证明三角形全等采用的方法是"A．A．S．"，正是上节课我们证过的结论，可以作为定理运用．另外，本题的辅助线还有其他的作法，同学们能不能发现呢？ 
生：也可以作AD⊥BC于D． 
师：不错．这样我们就证明了等腰三角形的判定定理：等角对等边．值得注意的是，如果△ABC中，AB=AC，我们同样作∠BAC的平分线AD，根据"S．A．S"有△ABD≌△ACD，因此又能证出∠B=∠C．这就是等腰三角形的性质定理："等边对等角"． 
明确 等腰三角形判定定理、性质定理的证明，对称的语言叙述为后面学习互逆定理打下良好的感知基础． 
活动二：探索等腰三角形"三线合一"性质的证明方法． 
互动3
师：请同学们仔细观察图中全等的三角形△ABD与△ACD指出还有哪些对应边、对应角相等？
生：BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°．
师：这说明了等腰三角形顶角的平分线具有什么性质呢？
生：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．
师：很好．这一点也是等腰三角形的一个重要性质，简称为"三线合一"．
明确 引导学生探究心理，小组讨论，归纳总结，培养学生概括数学材料的能力．
活动三：探索斜边、直角边定理的证明方法．
例：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．
　　求证：△ABC≌△A′B′C′． 
师：本题的证明思路很巧妙，把△ABC和△A′B′C′拼到一起，使相等的直角边AC与A′C′重合，B与B′在A′C′的两旁，然后利用等腰三角形的性质与A．A．S法，即可证出结论．我们把这个结论作为识别直角三角形的一种方法──斜边、直角边定理．
明确 引导学生仔细阅读证明过程．
4．达标反馈 
（1）填空
①根据等腰三角形三线合一的性质，在△ABC中，
（a）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD．
（b）∵AB=AC，AD是中线，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC． 
（c）∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD． 
②等边三角形各角都 相等 ，且每一个角都等于 60° ．
③等腰直角三角形的每个锐角为 45° ，斜边上的高把直角分成的两个锐角为 45° ．
④三角形中，若有两个角的平分线都垂直于对边，则此三角形是 等边 三角形． 
（2）证明： 
①等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行． 
②如图所示，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O点．
求证：1°△BCD≌△CBE；2°△BOE≌△COD．
【答案】 （略） 
5．学习小结
（1）引导学生作知识总结，通过本节课的学习掌握了等腰三角形的判定定理、性质定理的证明，同时还得出"三线合一"这一重要性质，并且利用等腰三角形性质定理证明了"H．L"定理． 
（2）教师扩展：今天学习的几条定理是今后证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据．
（三）延伸拓展
（1）链接生活 
通过这节课的学习，请你设计一种方案，测出操场上旗杆的高度．
（2）巩固练习 
　　①如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过O作MN∥BC交AB于M，交AC于N，则图中共有 5 个等腰三角形． 
　　②将一张矩形纸片ABCD沿对角线对折（如图所示），求证：重叠部分是一个等腰三角形．（提示：利用矩形对边平行的性质及折叠过程中的全等三角形证明）
　　 （四）板书设计