专题二第二讲三角恒等变换、解三角形及其应用.doc

第二讲　三角恒等变换、解三角形及其应用

1．(2013·山西省高三上学期诊断考试)已知sin(＋θ)＝，则cos(π－2θ)＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C．－ D.
2．(2013·高考湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于(　　)
A. B.
C. D.
3．若cos(3π－x)－3cos(x＋)＝0，则tan(x＋)等于(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－2
C. D．2
4．(2013·高考陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
5．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　)
A.　 B.
C. D．3
6．(2013·高考四川卷)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，B＝，sin C＝，则c＝________，a＝________．
8．某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31 km的公路上的B处有一个人开车正沿着此公路向A驶去，行驶20 km到达D，此时测得CD距离为21 km，若此人从D处必须在20分钟内到达A处，则此人的行驶速度为________．
9．已知函数f(x)＝tan.
(1)求f的值；
(2)设α∈，若f＝2，求cos
的值．

10．(2013·青岛市质检)如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4 ，D为BC边上一点．
(1)若AD＝2，S△DAC＝2 ，求DC的长；
(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．

11．(2013·高考重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．

答案：
1．【解析】选D.依题意得sin(θ＋)＝cos θ＝，cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝1－2cos2θ＝1－2×()2＝，故选D.
2．【解析】选A.在△ABC中，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2asin B＝b，∴2sin Asin B＝sin B.
∴sin A＝.又△ABC为锐角三角形，∴A＝.
3．【解析】选D.由cos(3π－x)－3cos(x＋)＝0，得tan x＝.
所以tan(x＋)＝＝＝2.
4．【解析】选B.∵bcos C＋ccos B
＝b·＋c·
＝
＝＝a＝asin A，∴sin A＝1.
∵A∈(0，π)，∴A＝，即△ABC是直角三角形．
5．【解析】选C.∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0.
即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.
又a＝，cos A＝＝，
解得c＝2，b＝4.
∴S△ABC＝bcsin A＝×4×2× ＝.
6．【解析】∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.
∵α∈，sin α≠0，∴cos α＝－.
又∵α∈，∴α＝π，
∴tan 2α＝tan π＝tan＝tan ＝.
【答案】
7．【解析】根据正弦定理得：＝，则c＝＝2 ，再由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，即a2－4a－12＝0，(a＋2)·(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．
【答案】2　6
8.

【解析】由已知得∠CAD＝60°，CD＝21，BC＝31，BD＝20，
∴cos B＝＝＝，
那么sin B＝，
于是在△ABC中，AC＝＝24，
在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos 60°，即312＝242＋AB2－24AB解得AB＝35或AB＝－11(舍去)．
因此，AD＝AB－BD＝35－20＝15，
故此人在D处距A处还有15 km，则此人的行驶速度为45 km/h.
【答案】45 km/h
9．【解】(1)f＝tan＝＝
＝－2－.
(2)因为f＝tan＝tan(α＋π)
＝tan α＝2，
所以＝2，即sin α＝2cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①、②解得cos2α＝.
因为α∈，所以cos α＝－，sin α＝－.
所以cos＝cos αcos＋sin αsin
＝－×＋×＝－.
10．【解】(1)∵S△DAC＝2，
∴·AD·AC·sin∠DAC＝2，
∴sin∠DAC＝.
∵∠DAC<∠BAC<π－＝，
∴∠DAC＝.
在△ADC中，由余弦定理，得
DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos，
∴DC2＝4＋48－2×2×4×＝28，
∴DC＝2.
(2)∵AB＝AD，B＝，
∴△ABD为正三角形．
在△ADC中，根据正弦定理，可得
＝＝，
∴AD＝8sin C，DC＝8sin(－C)，
∴△ADC的周长为
AD＋DC＋AC＝8sin C＋8sin(－C)＋4
＝8(sin C＋cos C－sin C)＋4
＝8(sin C＋cos C)＋4
＝8sin(C＋)＋4，
∵∠ADC＝，∴0<C<，∴<C＋<，
∴当C＋＝，即C＝时，△ADC的周长的最大值为8＋4.
11．【解】(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理有cos C＝＝＝－.
故C＝.
(2)由题意得，
＝.
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝.
tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.①
因为C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝.
因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝.
解得sin Asin B＝－＝.
由①得，tan2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1或tan α＝4.