（G,ρ）不变凸多目标分式规划的最优性条件.pdf

利用非可微(G，)不变凸函数，研究了涉及此类函数的多目标分式规划问题，给出并证明了该多目标分式规划问题取得有效解的一些充分条件，在更弱的凸性下推广了多目标规划问题的最优性条件。关键词：(G，)不变凸函数；多目标分式规划；最优性条件中图分类号：O221.6O224 文献标识码：A 文章编号：1004-602X（2023）03-0062-07在数学规划中解的最优性条件问题是重要的研究内容且具有重要的研究意义。HANSON1在1981年定义了不变凸函数后，一些学者利用不同的方法推广不变凸函数。ANTCZAK2定义了一类新的广义G不变凸函数，研究了可微多目标规划的最优性条件、对偶性条件3-4，得到了许多重要结论。KANG等5和KIM等6把G不变凸函数推广到非可微情形，定义了非可微 G 不变凸函数。近年来，ANTCZAK7把 G不变凸函数推广到了非可微向量情形并定义了非可微G-V不变凸函数，并用这类函数研究了非可微多目标规划问题，进一步推广了文献 3-4 的相关理论。李向有8在此基础上定义了(G，)不变凸函数，研究了多目标规划问题的Mond-Weir对偶问题。分式规划是数学规划中很重要的一种类型，许多学者利用不同的凸函数研究了分式规划的最优性条件，例如陈秀宏9研究了一类多目标分式规划的最优条件，李向有等10研究了不变凸多目标分式规划的最优性条件，LIU等11研究了非可微多目标分式规划问题的最优性条件和对偶性条件。在上述文献的基础上，本文利用（G，）不变凸函数，研究了多目标分式规划问题中的最优性条件，得到了有效解的一些充分条件，在更弱的凸性下推广了多目标规划问题的最优性条件。1预备知识设Rn是 n 维 欧 式 空 间，对 任 意 的x=(x1，x2，xn)T Rn和y=(y1，y2，yn)T Rn，约定：x y xi yi，x y xi yi，但x y，x y xi yi，i=1，2，n。定义 1.112设有实值函数f：Rn R，若对正常数k和z的一个领域N，使得对任何x，y N有|f(x)-f(y)|kx-y，则称实值函数f：Rn R是局部Lipschitz函数，其中 为Rn中的范数。对于局部 Lipschitz 函数f(x)，Clarke 给出广义方向导数f0(x；d)和梯度f(x)的概念12：f0(x；d)=limy x 0 supf()y+d-f()y，f(x)=Rn|f0()x；d Td，d Rn。定义1.2 11 设x D是问题(MFP)的可行解，如果不存在x D，使得对所有的i=1，2，p，fi()xgi()xfi()x gi()x 成立，且至少存在某个k，使得fi()xgi()x，则称函数fi是非可微严格(G，)不变凸函数。定义1.4 8 令f=(f1，fm)：X Rn，fi(i=1，m)是 定 义 在X上 的 局 部 Lipschitz 函 数，函 数G=(G1，Gp)：R Rn，其中每个Gi：Ifi(x)，i=1，p是严格单调递增的实值可微函数，向量函数：X X Rn，如果存在常数i R，函数di：XX R，i=1，p，使得对xX，ifi()x ，x X，i=1，p，有Gi(fi(x)Gi(fi(x)Gi()fi()x i，()x，x+id2i(x，x)0，则称f在x X是非可微(G，)不变拟凸函数。定义1.5 8 令f=(f1，fm)：XRn，fi(i=1，m)是 定 义 在X上 的 局 部 Lipschitz 函 数，函 数G=(G1，Gp)：R Rn，其中每个Gi：Ifi(x)，i=1，p是严格单调递增的实值可微函数，向量函数：X X Rn，如 果 存 在 常 数i R，函 数di：X X R，i=1，p，使得对x X，i fi()x ，x X，i=1，p，有Gi(fi(x)i，()x，x+id2i(x，x)0 Gi(fi(x)Gi(fi(x)，或者等价的有Gi(fi(x)Gi(fi(x)Gi()fi()x i，()x，x+id2i(x，x)0时，则称f为强不变凸的；当=0时，则称f为不变凸的；当 0，i=1，2，p，并记可行集为D=x X0 Rn|Ghj(hj(x)0，j=1，2，m。定理 2.1 设x D是(MFP)的可行解，若在x 处 存 在=(1，p)T 0，vj 0，j=1，2，m，使 得 对x D，i 1，p，j 1，m，i=Gi()fi()x Gi()gi()x，满足：1）fi(x)在x 处是非可微(G，12)不变凸函数，-iGi(gi(x)在x 处是非可微(G，12)不变凸函数，hj(x)在x 处是为非可微(G，)不变凸函数，并且至少有一个fi，gi，i=1，p和hj，j=1，m在x 处严格可微；2）i=1piid2i()x，x +j=1mvj-jd2j()x，x 0；3）0 i=1piGi()fi()x fi()x -iGi()gi()x gi()x+j=1mvj-Gj()hj()x hj()x ；4）Ghj(hj(x)=0。则x 是(MFP)有效解。证明用反证法。假设x 不是(MFP)有效解，则存在x D，使得Gi()fi()xGi()gi()xGi()fi()x Gi()gi()x，i 1，p，且至少存在一个k，使得Gk()fk()xGk()gk()x 0，则有Gi()fi()x-iGi()gi()x 0，（1）63延安大学学报（自然科学版）第 42 卷 其中，i=Gi()fi()x Gi()gi()x。对于任意=(1，p)T 0，用i乘以式（1）并把所得的p个式子相加可得i=1pi()Gi()fi()x-iGi()gi()x 0，i=1pi()Gi()fi()x-iGi()gi()x=0，整理可得i=1pi()Gi()fi()x-iGi()gi()x-i=1pi()Gi()fi()x-iGi()gi()x 0。（2）由定理中条件 4）和vj 0，j=1，2，m，可以得到j=1mvj()Gj()hj()x-j=1mvj()Gj()hj()x 0。（3）将式（2）和（3）进行相加可得i=1pi()Gi()fi()x-iGi()gi()x-i=1pi()Gi()fi()x-iGi()gi()x+j=1mvj()Gj()hj()x-j=1mvj()Gj()hj()x 0。（4）因为fi(x)在x 处是非可微(G，12)不变凸函数，由定义1.3可得，对于每个i 1，p，都有Gi()fi()x-Gi()fi()x Gi()fi()x i，()x，x+12id2i()x，x ，（5）由于(1，p)T 0，分别用i乘以式（5）并把所得的p个式子相加可得i=1piGi()fi()x-i=1piGi()fi()x i=1piGi()fi()x i，()x，x+12i=1piid2i()x，x。（6）同理，由-iGi(gi(x)在x 处是非可微12不变凸函数可得-iGi(gi(x)+iGi(gi(x)-iGi(gi(x)i，()x，x+12id2i(x，x)。（7）由于(1，p)T 0，分别用i乘以式（7）并把所得的p个式子相加可得-i=1piiGi()gi()x+i=1piiGi()gi()x-i=1piiGi()gi()x i，()x，x+12i=ipiid2i()x，x 。（8）又因为hj(x)在x 处是为非可微(G，)不变凸函数，对于任意j hj(x)可得-Gj(hj(x)-Gj(hj(x)-Gj(hj(x)j，()x，x+-jd2j(x，x)，（9）用vj 0，j=1，2，m，分别乘以式（9）并把所得的m个式子相加可得j=1mvj-Gj()hj()x-j=1mvj-Gj()hj()x j=1mvj-Gj()hj()x j，()x，x+j=1mvj-jd2j()x，x 。（10）式（6）、（8）和（10）相加可得i=1pi()Gi()fi()x-iGi()gi()x-i=1pi()Gi()fi()x-iGi()gi()x+j=1mvj-Gj()hj()x-j=1mvj-Gj()hj()x i=1pi(Gi(fi(x)-Gi(gi(x)i，()x，x+j=1mvj-Gj()hj()x j，()x，x+i=1piid2i()x，x +j=1mvj-jd2j()x，x。（11）由定理中的条件3）可知，i fi()x ，i gi()x，j hj(x)，使得i=1piGi()fi()x-iGi()gi()x i+j=1mvjGj()hj()x j=0。（12）由 于i=1piid2i()x，x +j=1mvj-jd2j()x，x 0，故式（12）可化为64第 3 期袁静 等：(G，)不变凸多目标分式规划的最优性条件i=1pi()Gi()fi()x-iGi()gi()x-i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)+j=1mvj-Gj()hj()x-j=1mvj-Gj()hj()x 0。（13）式（4）与式（13）相矛盾，因此假设不成立，故x 是(MFP)有效解，证毕。定理 2.2 设x D是(MFP)的可行解，若在x 处 存 在=(1，p)T 0，vj 0，j=1，2，m，使 得 对x D，i 1，p，j 1，m，i=Gi()fi()x Gi()gi()x，满足：1）i=1piGi()fi()x-iGi()gi()x在x 处是非可微(G，)不变伪凸函数，hj(x)在x 处是为非可微(G，)不变拟凸函数，并且至少有一个fi，gi，i=1，p 和hj，j=1，m在x 处严格可微；2）i=1piid2i()x，x +j=1mvj-jd2j()x，x 0；3）0 i=1piGi(fi(x)fi(x)-iGi()gi()x gi()x+j=1mvjGj(hj(x)hj(x)；4）Ghj(hj(x)=0。则x 是(MFP)的有效解。证明因为x D，结合定理中条件4），故有-Gj(hj(x)-Gj(hj(x)0，j=1，m。又因为hj(x)在x 处是为非可微(G，)不变拟凸函数，则有-Gj(hj(x)j，()x，x+-jd2j(x，x)0，j=1，2，m。（14）用vj 0分别乘以式（14）并把所得的m个式子相加可得j=1mvj-Gj()hj()x j，()x，x+j=1mvj-jd2j()x，x 0。（15）由定理条件3）可得，i fi()x ，i gi()x ，j hj(x)，使得j=1piGi(fi(x)-iGi(gi(x)i+j=1mvjGj()hj()x j=0。（16）结合式（16）和定理条件2）可得i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)i，()x，x+i=1piid2i()x，x 0。由于i=1piGi(fi(x)-iGi(gi(x)在x 处是非可微(G，)不变伪凸函数，则可得i=1pi(Gi()fi()x-iGi(gi(x)i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)=0。（17）假设x 不是(MFP)有效解，则存在x D，使得Gi()fi()xGi()gi()xGi()fi()x Gi()gi()x，i 1，p，（18）且至少存在一个k，使得Gk()fk()xGk()gk()x 0，式（18）可变为Gi(fi(x)-iGi(gi(x)0，且至少存在一个k，使得Gk(fk(x)-kGk(gk(x)0，用i乘以式（19）并把所得的p个式子相加可得i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)0，vj 0，j=1，2，m，使 得 对x D，i 1，p，j 1，m，i=Gi()fi()x Gi()gi()x，满足：1）Gi(fi(x)-iGi(gi(x)在x 处是非可微不变强严格伪凸函数，hj(x)在x 处是为非可微(G，)不变拟凸函数，并且至少有一个fi，gi，i=1，p 和hj，j=1，m在x 处严格可微；2）i=1piid2i(x，x)+j=1mvj-jd2j(x，x)0；3）0i=1piGi()fi()x fi()x -iGi()gi()x gi()x+65延安大学学报（自然科学版）第 42 卷 j=1mvjGj(hj(x)hj(x)；4）Ghj(hj(x)=0。则x 是(MFP)有效解。证明 证明方法与定理2.2相似。定理2.4设x D是（MFP）的可行解，若在x 处存 在=(1，p)T 0，vj 0，j=1，2，m，使 得 对x D，i 1，p，j 1，m，i=Gi()fi()x Gi()gi()x，满足：1）fi(x)在x 处是非可微(G，12)不变凸函数，-iGi(gi(x)在x 处是非可微12不变凸函数，hj(x)在x 处是为非可微(G，)不变拟凸函数，并且至少有一个fi，gi，i=1，p和hj，j=1，m在x 处严格可微；2）i=1piid2i(x，x)+j=1mvj-jd2j(x，x)0；3）0i=1piGi()fi()x fi()x -iGi()gi()x gi()x+j=1mvjGj(hj(x)hj(x)；4）Ghj(hj(x)=0。则x 是(MFP)有效解。证明用反证法。假设x 不是(MFP)有效解，则存在x D，Gi()fi()xGi()gi()xGi()fi()x Gi()gi()x，i 1，p，且至少存在一个k，使得Gk()fk()xGk()gk()x 0，存在=(1，p)T 0，则有 i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)0，i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)=0，其中，i=Gi()fi()x Gi()gi()x。故有(i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)-(i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)0，用i乘以式（22）并把所得的p个式子相加可得i=1piGi(fi(x)-i=1piGi(fi(x)i=1piGi(fi(x)i，()x，x+12iid2i(x，x)。（23）同理，由-iGi(gi(x)在x 处是非可微12不变凸函数可得-iGi(gi(x)+iGi(gi(x)-iGi(gi(x)i，()x，x+12id2i(x，x)。（24）由于(1，p)T 0，分别乘以式（24）并把所得的p个式子相加可得-i=1piiGi(gi(x)+i=1piiGi(gi(x)-i=1piiGi(gi(x)i，()x，x+12i=1piid2i(x，x)。（25）由式（23）和（25）相加可得i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)-i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)i，()x，x+i=1piid2i()x，x 。由式（21）可知i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)i，()x，x+i=1piid2i(x，x)0。（26）因为定理中条件4）成立，故有66第 3 期袁静 等：(G，)不变凸多目标分式规划的最优性条件Gj(hj(x)-Gj(hj(x)0，j=1，m。又因为hj(x)在x 处是为非可微(G，)不变拟凸函数，故有-Gj(hj(x)j，()x，x+-jd2j(x，x)0，j=1，2，m。（27）vj 0，j=1，2，m，用vj分别乘以式（27）并把所得的m个式子相加可得j=1mvj-Gj(hj(x)j，()x，x+j=1mvj-jd2j(x，x)0。（28）将式（26）和（28）相加可得i=1pi(Gi(fi(x)-iGi(gi(x)i，()x，x+j=1mvj-Gj(hj(x)j，()x，x+i=1piid2i(x，x)+j=1mvj-jd2j(x，x)0。（29）由定理的条件3）可得，i fi()x ，i gi()x ，j hj(x)，使得i=1piGi(fi(x)-iGi(gi(x)i+j=1mvjGj(hj(x)j=0。（30）把式（30）带入式（29）可得i=1piid2i(x，x)+j=1mvj-jd2j(x，x)0，vj 0，j=1，2，m，使得 对x D，i 1，p，j 1，m，i=Gi()fi()x Gi()gi()x，满足：1）fi(x)在x 处是非可微严格(G，12)不变拟凸函数，-iGi(gi(x)在x 处是非可微12不变凸函数，hj(x)在x 处是为非可微(G，)不变伪凸函数，并且至少有一个fi，gi，i=1，p 和hj，j=1，m在x 处严格可微；2）i=1piid2i(x，x)+j=1mvj-jd2j(x，x)0；3）0i=1piGi()fi()x fi()x -iGi()gi()x gi()x+j=1mvjGj(hj(x)hj(x)；4）Ghj(hj(x)=0。则x 是（MFP）有效解。证明 证明方法与定理2.4相似。3结束语本文利用非可微(G，)不变凸函数研究了多目标分式规划问题，讨论并得到了几个解的最优性充分条件，在更弱的凸性下推广了多目标规划问题的一些结论。本文只针对分式规划的最优性条件进行探讨，后续还可以利用该函数，研究多目标规划问题下的对偶问题和多目标半无限规划问题下的最优性条件。参考文献：1 HANSON M A.On sufficiency of the Kuhn-Tucker conditionsJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1981，80：545-550.2 ANTCZAK T.New optimality conditions and duality results of G type in differentiable mathematical nonsmooth programming problem J.Nonlinear Analysis：Theory，Methods and Applications，2007，66（7）：1617-1632.3 ANTCZAK T.On G-invex multiobjective programming（Part I：Optimality）J.Journal of Global Optimization，2009，43：97-109.4 ANTCZAK T.On G-invex multiobjective programming（Part II：Duality）J.Journal of Global Optimization，2009，43：111-140.5 KANG Y M，KIM D S，KIM M H.Optimality conditions of the G-type in locally Lipschitz multiobjective programming J.Vietnam Journal of Mathematics，2012，40：275-284.6 KIM H J，SEO Y Y，KIM D S.Optimality conditions in Nondifferentiable G-invex mult-iobjective programmingJ.Journal of Inequalities and Applications，2010，209：1-13.7 ANTCZAK T.Multiobjective programming under nondifferen-tiable G-V invexity J.Filomat，2016，30（11）：2909-2923.8 李向有.(G，)不变凸多目标规划的鞍点条件 J.延安大学学报（自然科学版），2022，41（1）：86-90.9 陈秀宏.一类多目标分式规划的最优性条件 J.华东师范大学学报，1991（1）：1-6.10 李向有，张庆祥，苗红梅，等.不变凸多目标分式规划的最优性 J.延安大学学报（自然科学版），2009，28（2）：18-20.11 LIU S M，FENG E M.Optimality conditions and duality for a class of nondifferentiable multi-objective fractional 67延安大学学报（自然科学版）第 42 卷 programming problems J.Journal of Global Optimization，2007，38：653-66612 CLARKE F H.Optimization and nonsmooth analysis M.New York：WileyInterscience，1983.13 李向有，张庆祥，苗红梅.不变凸多目标分式规划的对偶性 J.西南民族大学学报（自然科学版），2008，34（6）：1125-1128.14 ANTCZAK T.Multiobjective programming under non-differentiable G-V invexity J.Filomat，2016，30（11）：2909-2923.责任编辑 毕 伟Optimality conditions for multiobjective fractional programming of（G，）invex YUAN Jing，LI Xiangyou*，LIU Wenyan（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）Abstract：Using nondifferentiable（G-）invex functions，multiobjective fractional programming involving such functions is studied to give and prove some sufficient conditions for obtaining efficient solutions for the multiobjective fractional programming problems，thus extending the optimality condition of multiobjective programming under weaker convexity.Key words：G-invex functions；multiobjective fractional programming；optimality conditions（上接第61页）11 YU C.Global weak solutions to the incompressible Navier-Stokes-Vlasov equationsJ.Journal de Mathematiques Pures et Appliquees，2013，100：275-293.12 YANG X H.Local well-posedness of compressible Navier-Stokes-Smoluchowski equations with vacuumJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2019，485（1）：1-8.13 LIU Y.Local well-posedness to the Cauchy problem of the 2D compressible Navier-Stokes-Smoluchowski equations with vacuumJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2020，489（1）：1-24.14 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evolution of particles dispersed viscous compressible non-Newtonian fluid.The exponential stability of solutions for compressible Navier-Stokes-Smoluchowski equations were obtained under the reasonable physical assumptions of initial values，physical domains and external potential by using Sobolev embedding theorem，partial integral by iterative method and basic inequality，thus extending the result of global classical solutions for the fluid-particle model.Key words：compressible Navier-Stokes-Smoluchowski system；exponential stability；vacuum68