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第三章 效用论习题答案
1、 已知一件衬衫的价格为80元，一份肯德基快餐的价格为20元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率MRS是多少？
解：
切入点：
MRS的定义公式：
表示在维持效用不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐X消费时所需要放弃的衬衫Y的消费数量。该消费者在实现关于这两种商品效用最大化时，均衡点上有：

则有：

2、假设某消费者的均衡如图3—1(即教材中第96页的图3—22)所示。其中，横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，线段AB为消费者的预算线，曲线

图3—1　某消费者的均衡
U为消费者的无差异曲线，E点为效用最大化的均衡点。已知商品1的价格P1＝2元。
(1)求消费者的收入；
(2)求商品2的价格P2；
(3)写出预算线方程；
(4)求预算线的斜率；
(5)求E点的MRS12的值。

解：（看书上图）
切入点：预算线方程，斜率
注意边际替代率公式：

（1）图中横截距表示消费者的全部收入购买商品1的数量为30单位，所以，消费者收入元。
（2）因为总收入是60元，纵截距表示消费者收入全部购买商品2的数量为20单位，所以商品2的价格为：
元
（3）由（1），（2）可得预算线方程式为：

（4）将预算线方程整理得：
则预算线斜率为：
（5）在消费者效用最大化的均衡点E上有无差异曲线的绝对值等于预算线的绝对值，则：

3、请画出以下各位消费者对两种商品(咖啡和热茶)的无差异曲线，同时请对(2)和(3)分别写出消费者B和消费者C的效用函数。
(1)消费者A喜欢喝咖啡，但对喝热茶无所谓。他总是喜欢有更多杯的咖啡，而从不在意有多少杯热茶。
(2)消费者B喜欢一杯咖啡和一杯热茶一起喝，他从来不喜欢单独喝咖啡，或者单独喝热茶。
(3)消费者C认为，在任何情况下，1杯咖啡和2杯热茶是无差异的。
(4)消费者D喜欢喝热茶，但厌恶喝咖啡。

解：注意无差异曲线的特例。设咖啡为X1，热茶为X2。
（1）消费者A的无差异曲线：
咖啡
热茶

（2）消费者B的效用函数为 无差异曲线：
咖啡
热茶

（3）消费者C的效用函数：，无差异曲线：
咖啡
热茶

（4）消费者D的无差异曲线：
咖啡
热茶

4.对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者一定数量的实物补助，另一种是发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分析法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。

图3—3
解答：一般说来，发给消费者现金补助会使消费者获得更大的效用。其原因在于：在现金补助的情况下，消费者可以按照自己的偏好来购买商品，以获得尽可能大的效用。如图3—3所示。
在图3—3中，直线AB是按实物补助折算的货币量构成的现金补助情况下的预算线。在现金补助的预算线AB上，消费者根据自己的偏好选择商品1和商品2的购买量分别为x和x，从而实现了最大的效用水平U2，即在图3—3中表现为预算线AB和无差异曲线U2相切的均衡点E。
而在实物补助的情况下，则通常不会达到最大的效用水平U2。因为，譬如，当实物补助的商品组合为F点(即两商品数量分别为x11、x21)，或者为G点(即两商品数量分别为x12和x22)时，则消费者能获得无差异曲线U1所表示的效用水平，显然，U1<U2。

5、已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为P1＝20元和P2＝30元，该消费者的效用函数为U＝3X1X，该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？

解答：
切入点：消费者追求的是效用最大化。而消费者效用最大化均衡条件：，因为知道效用函数和相应价格，由此可以得出一个商品和的关系式。再配合预算线方程就可得到结果。

效用函数 可得：

于是有：
整理得： （1）
将上式代入预算约束条件
得：
解得
将上式代入（1）式得：
所以最优商品组合量是：商品1为9，商品2为12。
将以上组合代入效用函数得：

则，消费者最有商品组合给他带来的最大效用水平为3888。

6、解：

7、假定某消费者的效用函数为，两商品的价格分别为P1，P2，消费者的收入为M。分别求该消费者关于商品1和商品2的需求函数。
解：
切入点：需求函数上每一点都符合消费者效用最大化均衡条件 ，又知道两商品的价格，就可以得出两商品的关系式。再结合预算线方程，就可以得出结果。

效用最大化均衡条件：
根据已知效用函数可得：

于是有： 整理得：
（1）
将（1）式代入约束条件
有：
解得 （2）
代入（1）式得： （3）
（2），（3）式就是两商品的需求函数。

8、令某消费者的收入为M，两商品的价格为P1、P2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为－a。求该消费者的最优商品消费组合。
解：

9、假定某消费者的效用函数为U＝q0.5＋3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：
(1)该消费者的需求函数；
(2)该消费者的反需求函数；
(3)当时的消费者剩余。

解：
切入点：（1）消费者需求函数都符合消费者效用最大化的均衡条件，，而是货币的边际效用，或者是收入的边际效用。根据所给效用函数先求出商品的边际效用和货币的边际效用，再根据 ，就可以得到关于价格和需求量之间的关系式，这个式子就是需求函数。（2）反需求函数就是需求函数的反函数。（3）消费者剩余是需求曲线上从需求量从0到q的积分，再减去商品价格与需求量q的乘积。

（1）由题意可得，商品的边际效用为：

货币的边际效用为：
根据消费者均衡条件 有：

整理得需求函数为：
（2）由需求函数可得反需求函数为：

（3）由以上反需求函数可得消费者剩余：

以 ， 代入上式得消费者剩余：

10、设某消费者的效用函数为柯布道格拉斯类型的，即U＝xαyβ，商品x和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，α和β为常数，且α＋β＝1。
(1)求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。
(2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。
(3)证明消费者效用函数中的参数α和β分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。

解：
注意：消费者的需求函数必须满足消费者效用最大化条件
，知道了效用函数，对效用函数分求商品X和Y的导数，把他们带入均衡条件，就得到一个有关X和Y 的关系式。又知道预算线约束条件函数。两者联合就能得到答案。

11、已知某消费者的效用函数为U＝X1X2，两商品的价格分别为P1＝4，P2＝2，消费者的收入是M＝80。现在假定商品1的价格下降为P1＝2。
求：(1)由商品1的价格P1下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？
(2)由商品1的价格P1下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？
(3)由商品1的价格P1下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

解：
（1） 本题要理解什么是替代效应，什么是收入效应，什么是补偿性预算线，以及他们在图形里面的表达和相应的公式表达。注意替代效应是指效用水平不发生变化，只因为商品的价格相对于商品来说降低了，而增加的购买，体现在图形上是做一条平行于新的预算线并和原来的无差异曲线相切的补偿性预算线，均衡点还在原来的无差异曲线上，但是边际替代率等于新预算线的斜率。明白了这点，问题应刃而解。

（2） 消费者均衡时有：，
本题中：
所以在价格为 时
有，解得：
当商品的价格下降为2时有：
，解得：
所以商品价格下降使得该消费者对商品的购买量从10上升到20，即增加了10。这就是商品1价格变化引起的总效应。
（3） 替代效应是指效用水平不发生变化，只因为商品的价格相对于商品来说降低了，而增加的购买，体现在图形上是做一条平行于新的预算线并和原来的无差异曲线相切的补偿性预算线，均衡点还在原来的无差异曲线上，但是边际替代率等于新预算线的斜率。
所以有：价格没变时总效用
同时有：
解得： （保留整数）
所以商品1价格下降似的消费者对商品1的购买增加了
14-10=4 ，即商品1价格变化导致的替代效应为4。
（3）总效应-替代效应=收入效应，
所以 收入效应=10-4=6
也可以用以下方法：求出商品1价格下降后的均衡点商品1需求量，再求出补偿性预算线和原来无差异曲线切点代表的商品1的需求量，两者的差就是收入效应。这两个量在前两小题中已经解出，所以收入效应20-14=6，即商品1价格变化导致的收入效应为6。