幂等矩阵的性质及应用(定稿).doc

JIU JIANG UNIVERSITY

毕 业 论 文 （设 计）

题 目幂等矩阵的性质及应用
英文题目Properties and Application
of Idempotent Matrix
院 系 理学院
专 业 数学与应用数学
姓 名 邱望华
年 级 A0411
指导教师 王侃民

二零零八年 五月

摘 要

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。

[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合

Abstract

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、 the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.

[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,
linear combination

符号表

实数域
实数域n维列向量空间
实数域上的n×n阶矩阵
复数域
复数域n维列向量空间
复数域上的n×n阶矩阵
矩阵A的转置
矩阵A的伴随
矩阵A的逆
矩阵A的行列式
矩阵A的秩
矩阵A的核空间，即
矩阵A的值域，即
线性空间V的维数
线性变换的逆变换
的值域,即=
的核,即

目 录

第一章 预备知识 1
1.1 幂等矩阵的概念及刻划 1
1.2 幂等矩阵的一些简单性质 3
第二章 相关的重要结论 7
2.1 幂等矩阵的等价条件 7
2.2 幂等变换 14
2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性 17
2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性 23
2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质 26
结 束 语 29
参考文献 30

第一章 预备知识

1.1 幂等矩阵的概念及刻划

定义1.对n阶方阵,若,则称为幂等矩阵.
为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.
命题1.若是幂等矩阵,则与相似的任意矩阵是幂等矩阵.
证明：若相似于(记作),则有同阶可逆矩阵,使=,
从而
=·===. ▌
命题2.若是对角分块矩阵，设=，
则是幂等矩阵均是幂等矩阵.
由于每个n级复数域矩阵都与一个若尔当矩阵相似，据命题1和命题2知，
我们只需要讨论若尔当块的幂等性.
若是一个2阶复数域矩阵,则的若尔当标准型有两种可能的形式:
第一种: ,但它不是幂等矩阵.否则有= ,有.矛盾.
第二种: ,由 ,有,从而有或1,或1.于是该情况有四种可能的形式:, , ,
据命题1,于是得到:
定理1. 是二阶幂等矩阵,则是零矩阵或单位矩阵或形如.
证明: 由以上讨论知相似于(1)式中的四个矩阵之一
若～ ,显然有 =
若～ ,显然有 =
若～ ,则有可逆矩阵= ，
使
=
则有 .即 .
对剩余的一种与此有同样的结果. ▌

设 ，由 ，有这是不可能的.于是有:
命题3.当时,阶若尔当块不具有幂等性.即.
因此,若是幂等矩阵，则的若尔当标准型如下：

据命题1即有
.
于是 或1.
于是我们得到如下定理:
定理2. 是阶幂等矩阵，当且仅当存在阶可逆矩阵，使
得.其中是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌

1.2 幂等矩阵的一些简单性质

性质1.方阵零矩阵和单位矩阵是幂等矩阵.
性质2.方阵是幂等矩阵，且可逆，则.
因为,则. ▌
据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即(如果存在的话)是幂等
矩阵.因为.
性质3.若是实幂等矩阵，则都是幂等矩阵.
证明: 对,.
对,有
.
对,先证明对任意两个幂等矩阵,有关系式
.
由公式有:

=
=

=
于是，
. ▌
性质4.若是复数域上的幂等矩阵,则也是幂等矩阵.
证明:
.
. ▌
性质5.若是幂等矩阵,则的特征值只能是1或0.
即知幂等矩阵是半正定矩阵.
证明:由 知 (). ▌
由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.
性质6.若是幂等矩阵,设是的最小多项式,
则=从而可对角化,且其若尔当标准型为
.
其中是阶单位矩阵, 是的秩.
证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式,
据性质5知
=.
又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌
性质7.若是幂等矩阵，则，其中
.
证明：由 有，立即知
的阶列向量都是的解
故有

又对,有

由的任意性知 .
于是有 . ▌
同样地,有结论 .
性质8.若是幂等矩阵,对任意实数,则是可逆矩阵.
证明:由有

.
又由 有

故可逆,且. ▌
性质9.任一秩为的幂等矩阵可分解成,其中是秩为的
矩阵,且 .(其中是阶单位矩阵)
证明:由性质6知,
存在阶可逆矩阵使
.
则
.
记.显然满足要求. ▌
性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.
证明:因为.故结论成立 ▌
性质11.若均为阶幂等矩阵,且,则与
均为幂等矩阵.
证明:据题意有：
.
. ▌

第二章 相关的重要结论

本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.

2.1 幂等矩阵的等价条件

经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.
定理1:设是的实矩阵,则下列命题是互相等价的:
1)是幂等矩阵.
2)是幂等矩阵.
3)是幂等矩阵.
4)对任意的可逆矩阵,是幂等矩阵.
5)是对合矩阵.(满足的矩阵称为对合矩阵)
6).
7).
8).
9).
10).
11).
12)
以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.
定理2:设是的复矩阵,则下列命题是互相等价的:
1)是幂等矩阵.
2)是幂等矩阵.
3)是幂等矩阵.
4)对任意的可逆矩阵,是幂等矩阵.
5)是对合矩阵.(满足的矩阵称为对合矩阵)
6).
7).
8).
9).
10).
11).
12)
证明:
1)2) 由知
.
反过来,
.
1)3)
必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.
充分性:
.
1)4)
由 知
.
反过来,

.
1)5)
由,有
==.
反过来,
.
1)6)
必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.
充分性: 对有
，故
于是有
.
由的任意性得.
1)7)
必要性: 由知,有
.
又,有.
于是

故有.
充分性: 对,有

于是有
.
由的任意性得 .
1)8)
必要性: 由知 .
于是有
即有
亦即 .
充分性: 由 易知:
(*)
又对,有

则有
.
由知
即有 .
据(*)式知
.
再由6)得.
8)9)
必要性: 由.即知:
.
又对,有
,
而.
故 .
又.
故有
.
于是, .
充分性: 由 有
.
即有
.
9)10)
必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).
充分性：同理可证.
9)11) 这是显然的.
10)12) 这是显然的. ▌
定理3.设是秩为的矩阵.则是幂等矩阵存在阶可逆矩阵,
使.
证明:
必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.
充分性: 由,有
.
则
. ▌
以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.
定理4.设是三次幂等矩阵,即,且满足,,
记.则
.
证明:由矩阵是幂等可交换的，于是可同时对角化. 即存在可逆矩阵
,使得均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是的特征值.从而有

进而
.
于是
可以等价为.
其中分别是的对角元.
又由知的特征值只有0,-1,1.
即

于是等价为.
即
.
因此等价为. ▌
注:当,立即有,同样地,对,(为正整数)
即任意的二次幂等矩阵均为次幂等矩阵.因此可得以下推论.
推论: 设是二次幂等矩阵,且满足,,记.
则 . ▌
引理1.对任意两个同阶矩阵,有.
引理2.设为矩阵,满足,则有.
定理5.设矩阵满足且可逆.
则且.
证明: 由可逆,有
.
于是据引理2有
(1)
又据引理1有

. (2)
有(1)式和(2)式有
.
由于可逆知.
因此有
. ▌
定理6.设矩阵满足.则都是此幂等矩阵.
证明:
对,
.
对
.
对
. ▌
定理7. 设矩阵满足.
则的特征值为0和.
证明: 由,有
,其中是矩阵的特征值.解方程
可得
. ▌

2.2 幂等变换

数域上维线性空间的全部线性变换组成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成上的一个线性空间，与数域上阶方阵构成的线性空间同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.
定义1.设是线性空间的一个线性变换,若,则称是幂等变换.
由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平
移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.
性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.
证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩
阵”一致. ▌
性质2.若是幂等变换,则也是幂等变换.(其中是恒等变换)
性质3.是幂等变换为对合变换.
其中线性变换满足,则称是对合变换.
性质4.是线性空间上的幂等变换,则.▌
我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然,但未必
有.这样的例子很多.
例如:在线性空间中令 .则微分变换是一线性变换,其
值域为,其核是子空间.它们的维数分别是.但显然+.
性质5.设和是维线性空间上的线性变换,且.
如果,则.
证明:
由,
可得
……………………………………①
对①式左乘 得
…………………………………②
对①式右乘 得
……………………………………③
比较②和③得 .
代入到①式得到 .
于是就有 . ▌
性质6.设,是维线性空间上的线性变换,且.
则 1) .
2) .
证明:1)
对有
.
故使.
从而
.
因此有
.
同样可证得
.
据可知,
对,有
,
故.
同样可证得.于是.
2)
对,作向量.据,有
.故.
从而有
同理有.
对,有.
据,有
.
即有
.
同理可得.
故有. ▌

2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性

在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合仍是幂等矩阵的一
些充分条件.
引理1.设,为的整数,且.
则存在,使为幂等矩阵的充要条件是: .
证明:

(令)
.▌
据引理1,下面将给出是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令 ,
, .
定理1.设，，
若及满足下列任意一个条件，则必为幂等矩阵.
(Ⅰ) .
①.且.
证明:由易知
,
又由和知
.
满足引理1.故此时为幂等矩阵.
②.且.
证明: 由易知
.
将它们相加得
.
又由,可得
.
满足引理1.故此时为幂等矩阵.
③.且.
证明: 由条件易知
.
将它们相加后,再乘以可得
.
又由知
.
满足引理1.故此时为幂等矩阵.
(Ⅱ) .
④.且.
证明: 由条件易知
.
从而有
.
即.故有
.
结合上式有

.
从而可得.
满足引理1.故此时为幂等矩阵.
⑤.,且.
证明: 由知,从而
.
即.
又由可得
.
又因为.代入上式可得:
.
即有.
结合有
.
即有.
又由知
,
满足引理1.故此时为幂等矩阵.
⑥. 且.
证明: 由知,从而

又由展开得.
又,结合上式可得
.
故.
代入到得
.
即.
又由 可得
.
满足引理1.故此时为幂等矩阵.
⑦. 且.
证明: 由知.从而
.
又先把展开可得.
又将及.代入到上式可得
.
即有.代入到,可得
.
从而由知
满足引理1故此时为幂等矩阵.
⑧.,且
证明: 由知 .
由知 .
将上面两式相加并乘以可得
.
又满足,结合上式可得
.
从而由,知

满足引理1.故此时为幂等矩阵.
(Ⅲ) .
⑨.,且.
证明: 由知
,
即
从而由,知

满足引理1.故此时为幂等矩阵.
(Ⅳ)
⑩.且.
证明: 由知
从而
,.
又由展开得.
据知
.
结合上式可得
.
代入到可得
.
又由,知
满足引理1.故此时为幂等矩阵. ▌

2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性

在本节中,我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵可逆的一些条件,并给出一些相关的结论.
引理1.设矩阵是阶方阵,则可逆. ▌
定理1.设矩阵均是幂等矩阵，即.若存在两个非零复数,
且使得可逆,则对所有的复数,满足,则线性组合都是可逆的.
证明:设且.
对,有
即有 ……………①
将上式两边依次左乘,可得:
,. ……②
比较上面三个式子可得:
. …………………………③
又由于,故
.
将代入上式可得

.
由于可逆,,将上式两边左乘得
, …………………④
再左乘得:

即有.代入可得
.
注意到③式有,因此由④式可得
但,所以
因此.由引理1知是可逆的. ▌
在定理1中令,立即有:
推论1.设矩阵均是幂等矩阵，即.若可逆,则
对所有的复数,满足,线性组合都是可逆的. ▌
定理2.设矩阵均是幂等矩阵,对任意的复数,下列命题等价:
⑴ 可逆.
⑵ 及可逆.
证明:⑴⑵
对,由定理1的证明过程知.
故
.
又由可逆,故.
因此 .
由引理1知 可逆.
同样地,
对.两边左乘,得
.
所以 .
又由可逆知.
所以.
由引理1知可逆.
⑴⑵
对,有
则 .
所以

..
由及可逆,知.
由引理1知可逆. ▌
在定理2中令,立即有:
推论2.设矩阵均是幂等矩阵,下列命题等价:
⑴ 可逆.
⑵ 及可逆.
定理3. 设矩阵均是幂等矩阵，,满足.
则可逆及可逆.
证明:由

.
可见可逆及可逆. ▌

2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质

定理1. 设是的复幂等矩阵,则
.
.
. ▌
定理2.设为Hermite矩阵,即.且对某个有,
则 .
证明:设,分别是矩阵的特征值和相应的特征向量.
则是实数.且.
从而有
.又.
于是.由是实数,
所以,故结论成立. ▌
推论1. 设,且,则.
其实,该结论在1.2节中已经很明朗了.
定理2. 设为Hermite矩阵,且存在某个
使,又对某个正整数 有.
则 .
证明:由定理1可知,
于是有
. ▌
推论2. 设为Hermite矩阵,且存在某个
使,又为幂等矩阵.
则 .
推论3. 设为幂等矩阵,且为幂等矩阵.
则 .
推论4. 设为Hermite矩阵,且存在某个
使,又.则 .
推论5. 设为Hermite矩阵,且.
则 .
定理3.设及的特征值均为实数,且存
在使,又对某个正整数 有.
则 .
定理4. 设及的特征值均为非负实数,且
存在使,又对某个正整数 有.
则 . ▌

结 束 语

本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。如本文首先对幂等矩阵下定义和刻划并对其简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并做了简要的推广,如推广到了复幂等矩阵和高次幂等矩阵.次之本文研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质等。
方法的运用在于活，很多方法都是相通的。一种方法本身的价值是有限的，更有意义的是将方法进行推广，以解决更多的问题。通过研究幂等矩阵，不仅使我掌握了很多方法，更重要的是培养了我数学思想。我认为这是最宝贵的收获。

参考文献

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