兰州一中2014-2015年高二上学期数学(理)期末试题及答案.doc

说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）
第I 卷（选择题）
一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上)
1．如果命题pÚq为真命题，pÙq为假命题，那么（ ）
A．命题p、q都是真命题 B．命题p、q都是假命题
C．命题p、q至少有一个是真命题 D．命题p、q只有一个真命题
2．过点P（2,4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的的直线有（ ）
A．0条 B． 1条 C．2 条 D． 3条
3．双曲线的一条渐近线方程是 ( )
A． B． C． D．
4．曲线与曲线的（ ）
A．焦距相等 B．离心率相等 C．准线相同 D． 焦点相同
5．设点，则AB的中点到C的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题错误的是 (　 )
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”.
B．若命题，，则“”为：.
C．若命题p:或；命题q:或，则是的必要不充分条件.
D．“ ”是“”的充分不必要条件.
7．已知向量，且，则k的值为（ ）
A． 1 B． C． D．
8．已知线段AB、BD在平面a内，ÐABD=120°，线段AC^a，如果AB=a，BD=b，AC=c，则线段CD的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1
上的点，并且4B1E1＝4D1F1＝A1B1，则BE1与DF1所成角的余弦
值是（ ）
A． B． C． D．
第9题图

10．已知F是双曲线的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为 ( )
A． (1，+∞) B．(1,2) C．(1,1+) D．(2,1+)
第II卷（非选择题）
二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上）
11．已知点，在抛物线上找一点P，使得取最小值（F为抛物线的焦点），此时点P的坐标是 .
12．对于以下命题：
①是共线的充要条件；
②对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面.
③如果,那么与的夹角为钝角
④若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底；
⑤若，则.
其中不正确结论的序号是___________________.
13．已知椭圆与双曲线的公共焦点为F1，F2，点P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值为 .
14．若椭圆与直线交于A，B两点，若，则过原点与线段AB的中点M的连线的斜率为 ．

兰州一中2014-2015学年第一学期高二年级期末数学试题
参考答案 （理科）
第I 卷（选择题）
一、选择题(每小题3分，共30分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
第II卷（非选择题）

二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共16分）
11． 12．①③ 13． 14．
三、解答题（本题共5小题，共54分）新 课 标 xk b1. c om
15．（本小题满分10分）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．w w w .x k b 1.c o m
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）若点在双曲线上，求证：.
解析：（Ⅰ）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，
解得故双曲线方程为. ……………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，， ∴，
∴ ，， ∴，
又点在双曲线上， ∴ ， ∴，
即.……………………………10分
16．(本小题满分10分) 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB
和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.

证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，w w w .x k b 1.c o m
则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，
M(1,1，m)．∴＝(－1,1,0)，
又E、F分别为AB、BC的中点，∴＝＝
又∵＝，＝(1,1，m－1)，
∵D1M⊥平面FEB1，∴D1M⊥EF且D1M⊥B1E.
即·＝0，且·＝0. ∴，∴m＝.
故取B1B的中点M就能满足D1M⊥平面EFB1.
17．（本小题满分10分）已知定点（1,0）和定圆B：动圆P和定圆B相切并过A点，
（Ⅰ）求动圆P的圆心P的轨迹C的方程.
（Ⅱ）设Q是轨迹C上任意一点，求的最大值.
解析：（Ⅰ）设，则,
所以点P的轨迹是以A,B为焦点，长轴长为4的椭圆
所以点P的轨迹方程是 ……………………………………………………4分
（Ⅱ）设则

当且仅当时取“=”，，的最大值是.……………………………………………………10分
注：其它解答参考给分.
18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，.
C1
B1
A1
B
A
D
C
（Ⅰ）若D为中点，求证：平面^平面；
（Ⅱ）若二面角B1—DC—C1的大小为60°，求AD的长.
解法1：（Ⅰ）∵，∴，
又由直三棱柱性质知，∴平面ACC1A1.∴……①
由D为中点可知，，∴即……②
由①②可知平面，又平面，故平面平面.
………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（1）可知平面ACC1A1，如图，在面ACC1A1内过C1作，交CD或延长线或于E，连EB1，可知为二面角B1—DC—C1的平面角，
∴ 由B1C1=2知，，
设AD=x，则∵的面积为1，∴，新 课 标 xk b1. c om
解得，即 ……………………………………………………12分

解法二：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系. 则 C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）即
x
C1
B1
A1
B
A
D
C
z
y

得；又，
∴平面B1C1D.又平面B1CD，
∴平面平面…………………………………………6分
（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），，
设平面B1CD的法向量为. 则由 得，
又平面C1DC的法向量为，则由，

即，
故 ………………………………………………………………12分

M
y
O
N
l
x
F1
F2
19．（本小题满分12分）已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公
共点，点是直线上的两点，且．
求四边形面积的最大值．
解析：(Ⅰ)依题意，设椭圆的方程为．
构成等差数列，
．
又，故．
从而，椭圆的方程为． …………………………………………4分
(Ⅱ)将直线的方程代入椭圆的方程中，
得：． ……………………5分
由直线与椭圆仅有一个公共点知，，
化简得：． …………………………6分
设，， …………………………8分
（法一）当时，设直线的倾斜角为，
则，，

， …………………………10分
又，当时，，，．
当时，四边形是矩形，．
故四边形面积的最大值为． ……………………………12分
（法二），
．
．
四边形的面积， ………10分

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