二次根式综合题型.doc

二次根式知识要点
知识点一：二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
　　(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
　　(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
换句话说：下不能有分数、小数、分式、因式分解后能开出来的整式，同时分数下不能有。如：，，等都不是最简二次根式。
问：是最简二次根式吗？
知识点三：同类二次根式
化成最简二次根式后的被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。 一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
1、在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和           B．和 C．
知识点四：二次根式有意义的条件
2、x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）－； （2）－；
（3）； （4）
知识点五：二次根式的性质
①双重非负性; ②;
③ (字母从根号中开出来时要带绝对值
再根据具体情况判断是否需要讨论)
注：如果，则；如果，则
一、逆用进行因式分解
3、在实数范围内因式分解
（1） ； (2) 2+2+13； （3）
二、利用二次根式的性质进行化简、计算
4、根据下列条件，求字母x的取值范围：
（1）；（2）；（3）＝1－x ；
5、化简

分析题：，如何去掉绝对值呢？ 分三种情况讨论。

6、　　
　　 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？

三、把根号外的因式移到根号内
如果要移到根号内的因式是负的，需要将负号留在根号外
例：（m<0）
7、练习： ；
注：此种类型的题关键是符号问题。
四、若干非负数之和为0的问题
8、若实数a、b、c、满足，求abc的值。
分析：}有意义

9、

知识点六、分母有理化
把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
常用的有理化因式：
与、与、与互为有理化因式。
例如：
注：有些是可以通过约分来分母有理化的
如：

10、计算
11、计算
12、已知， ，求的值。

知识点七、比较大小
比较二次根式大小常用方法的有平方法、作差法、倒数法。
常见的比较大小的题目有： ； ；
； ；
分析：和用平方法比较，要注意符号；用作差法；和用平方法和倒数法比较，哪个用平方法，哪个用倒数法呢？这里有一个技巧：当被开方数之和相同时用平方法，
被开方数之和不同时用倒数法。如中5+11=6+10，就用平方法，中13+1214+13，就用倒数法。

知识点八、二次根式的运算
1、积的算术平方根的性质 二次根式的乘法法则

2、商的算术平方根的性质 二次根式的除法法则

注：二次根式的加减实质就是合并同类二次根式。
在计算时，以下三个公式是可以直接应用的：；
；
有时要注意字母的取值范围，因为它隐含在根号下。
13、计算

14、
分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0。
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