绝对值不等式.doc

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授课教师 杨艳荣 首用时间 ______年____月____日 高三 年级______班第____节课
课 题
第一节 绝对值不等式
课 型
复习课
第1、2课时
学
生
学
习
目
标
知 识
技 能
与
过 程
方 法
目 标
1．通过复习回顾和引导分析认识绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式；
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c。
情 感
态 度
价 值
观目标

重 点
难 点

学 情
分 析

教 材
分 析

目 标
生 成
预 测

学、讲、练“1：1：1”课堂教学设计
学 生 学 习 过 程
教师授导
一、导入
二、考情分析（考什么？如何考？）
1.本部分是高考中的重点考查内容，涉及能够利用基本不等式求一些特定函数的极值、绝对值不等式的解法与绝对值不等式有关的参数范围等多方面内容；
2.命题形势多样，一般以填空或解答题形式考查，绝对值的定义、绝对值的几何意义及特定函数的最值，在解答题中考查含有绝对值得不等式以及不等式的证明。
三、展示学习目标
1．回顾绝对值三角不等式的定理及性质，能利用定理及性质解决有关恒成立的问题；
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c，会求与绝对值不等式有关的参数范围问题。
四、知识梳理
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤______|，当且仅当_____时，等号成立；
(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|_|a－b|＋|b－c|，当且仅当________时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a

|x|>a

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔______________
②|ax＋b|≥c⇔_____________________-
学生分组回答
(3)思考：形如|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式如何求解？
学生分组讨论并展示
五、基础检测
1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．
2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________．
①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|.
3．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________．
4．(2012·山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.

本节课我们共同复习研究绝对值不等式。
师介绍本部分内容如何考？考什么？

师用简短的语言说出目标

师提问

板书性质

师点评归纳
|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
板书要点

让学生做了后说明做法即可
(如果时间不够不安排这部分)

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5．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．
学生独立完成并展示
六、典例分析
考点一　含绝对值不等式的解法
【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解　法一　如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．

法二　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔
或
或解得x≥2或x≤－3，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．

法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则
f(x)＝作出函数的图象，如图所示．
由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
生提前做了分不同方法展示讲解并归纳方法
练习：解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1.

规律方法： 形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．

师点评归纳

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教师授导
考点二　含参数的绝对值不等式问题
【例2】 已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中a的取值范围．
(1)不等式有解；
(2)不等式的解集为R；
(3)不等式的解集为∅.
解　法一　因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(－1)，B(3)距离的差，
即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.
由绝对值的几何意义知，
PA－PB的最大值为AB＝4，
最小值为－AB＝－4，
即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.
(1)若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a＜4.
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，
只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a＜－4.
(3)若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.
法二　由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4.
|x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4.
可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.
(1)若不等式有解，则a＜4；
(2)若不等式的解集为R，则a＜－4；
(3)若不等式解集为∅，则a≥4.
学生展示讲解
练习：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．（a＝2.）
考点三　含绝对值的不等式的应用
【例3】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；
(2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
解　(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.
所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，
所以x≥a－2对x∈都成立，
应有－≥a－2，则a≤，
从而实数a的取值范围是.
练习：(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
（a的取值范围是[－3,0].）
七、归纳小结
学生回答并补充
八、达标检测
（基础）1．(2012·广东卷)不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________
2．(2012·陕西卷)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
3.若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
（提升）4. (2013·福建卷)设不等式|x－2|＜a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．

规律方法： 本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.
师点评

规律方法： 含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．

本节学习了哪些内容？运用了哪些数学思想？
太原市第五十三中学校教学设计尾页
板
书
设
计
§2.5.1 平面几何中的向量方法

用向量方法解决几何问题的“三步曲”： 例：解答
形转化为向量

向量的运算

向量和数还原为形
课
后
作
业
设
计
基
础
性
作
业
习题2.5 A 1,2
拓
展
性
作
业
如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.

“2
+
2
+
1”
教
学
反
思
教
师
的
“教”

学
生
的
“学”

改
进