使用信息技术工具改造线性代数的理念与目标省名师优质课赛课获奖课件市赛课百校联赛优质课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。不能作为科学依据。,XDU,使用信息技术工具改造线性代数理念与目标,教育部“使用信息技术工具改造课程”项目,1/56,改革缘由需求牵引,现在线性代数教学纲领存在着重大缺点，主要是没有把“需求牵引”和“技术推进”作为动力：,不能满足工科后续课需求，按所教方法后续课无法用来解高阶、复数矩阵题目；所以它们普遍不用线性代数解题。,2/56,工科后续课能用而不用矩阵调查,（给数学教指委提议书中列出）,化学,计算机图形学,高等数学,信号与系统,电路,数字信号处理,理论力学,系统动力学,材料力学,自动控制原理,数值计算方法,机械振动,传热学,机器人学,（物理）试验,3/56,一些经典应用(1),静力学中关键是平衡方程，一个空间物体有6个平衡方程，就是n=6线性方程组,两个刚体相联，方程数n就加倍；,电路课中稳态电路关键是基尔霍夫方程，n个节点（或回路）就有n个方程，交流电路更是复数方程，组成n元复数方程组。,线性代数教手工解法处理不了，只好不用，还是用中学代入法，这就是现实状况。后续课中要算n都大于3，当代科学计算问题n到达几百、几千，不教计算机结果是统统不用矩阵，简单用中学方法，复杂只好不算。,4/56,静力学模型,5/56,交流电路模型,6/56,经典应用(2),计算信号流图传递函数公式。在传统教材中，都向学生介绍梅森公式，这个公式是以图论为基础，既没有证实，计算又极繁琐，后面根本不用，但几十年就是这么讲下来。其实线性系统任何复杂信号流图都能够严格地用矩阵表示，写成：,其中，有N个信号，方程就有N个，矩阵就有N阶,很轻易得出传递函数,W,公式：,靠手算，这个N 阶矩阵求逆运算，谁都不敢碰。但若用MATLAB算，很复杂系统，这个式子不过几秒钟就出结果了，现有严格理论，又可快速计算，比梅森公式强得多。它前提是，学生会用计算机解线性代数问题，学生数学基础是符合当代化标准。,7/56,一个信号流图实例,信号流图代表是线性方程组:,x1=u,x2=x1-x3-x5,x3=G1*x2,x4=x3+x1-x5,x5=G2*x4,x6=x3+x5-x7,x7=G3*x6,x8=K*x7,8/56,9/56,应用(3),频谱计算,把DFT写成矩阵形式：设,通常N=1024,记作：,W矩阵是10241024阶，10,6,个元素,输入技巧:列行,10/56,应用(4),最优FIR滤波器设计,归结为解以下超定线性方程组求,d,11/56,预计圆直径方法,测圆周上n个点，求其半径。设圆周方程为：,c,1,c,2,为圆心坐标，r为半径。整理上述方程，得到,用n个测量点坐标,(x,i,y,i,),代入，得到,这是关于三个未知数,n个线性方程，所以是一个超定问题。解出就可得知这个最小二乘圆圆心坐标和半径r值：,12/56,应用(5)坐标测量仪测园直径,归结为求超定方程最小二乘解c,13/56,不用“技术推进”,从“需求牵引”角度，我们知道，即使是大学后续课程，需要是高阶、复数、超定线性方程组。用中学代入法、消去法是不行，所以要引进线性代数，其实，它比中学方法更繁，因为它不找窍门，而是死算，但死算有一个好处，因为程序简单了，所以线性代数好处,只有与计算机结合,才能显示。,。线性代数不用计算机解题，不联络应用，不符合课程当代化要求，落后于美国十多年；,14/56,一个比喻,中学代数中“代入法”、“消去法”相当于手推独轮车，处理个体户自留地中运输问题。,大学学线性代数是“载重汽车”，处理大生产中大规模、长距离运输问题。,载重汽车很复杂，要讲它原理和设计方法很费时间，但许多人忘记了最关键一点，要使载重汽车发挥作用，必须要用发动机，要加油（MATLAB)，其次必须要学会开车（机算）、认路（建模）。假如依然用手工，那么载重汽车还不如手推车，谁也不会用。,现在问题就在这里，我们在造“手工载重车”方面下功夫很大，但在汽油发动机、开车、认路方面一点不教，所以在后续课辽阔天地中没人用载重汽车。要把大多数用汽车与少数造汽车区分开来，教会他们开车、认路、处理当代化大生产需要，这是我们改革目标。,15/56,矩阵在科学计算中重大意义,矩阵是组织海量数据进行运算最好数学方法,假如矩阵运算依然用单个元素运算来完成，那末人们宁愿用代入法或消去法等中学方法。最少它能够省掉一些运算量。,要使矩阵运算带来实际好处，必须要有能进行海量数据运算、处理、绘图工具，笔算无法显示矩阵优势，只有靠计算机。,假如计算机每次只对两个数进行运算，那它效率和计算器差不多。计算机优势只有在数据批处理中才能显示。,会矩阵不会计算机，是瘸子；会计算机不会矩阵，也是瘸子，要把二者优势结合起来，才算真正进入了科学计算殿堂。线性代数能完成这一点，对大学生，对当代化，将是功德无量！,16/56,国内外教材简明对比,篇幅,图,(张),计算软件,工程应用实例,修订思想（序言）,同济 1,19632开,6,没有,0,没有,Leon2,54516开,100,MATLAB,33,几年改一次，热情给出修订理由和网上帮助。,Lay 3,54816开,300,MATLAB,24,工程线性代数,18816开,61,MATLAB,27,提出一系列改革理念,17/56,说明我国教材三个弱点,1,.不注意从几何图形引入线性代数概念，不用图说明问题。,2,.不使用当代化计算工具，使得解题范围无法扩大。,3,.不联络应用实际，不了解科学和工业当代化对线性代数需求。不能激发学生学习热情。,国内线性代数改革，多侧重于课程内部概念讲法，但缺乏两点：一是不注意与应用、与后续课等外部关系改革，二是不注意引进新技术，没有用当代化计算和教学工具。这正是我们常讲引领科技发展两个动力：“需求牵引”和“技术推进”。少了这两点，创新新思想、新课题就没法诞生。,18/56,机算和手算解题范围对比,能够用下列图表示数学软件对线性代数作用。白色部分为手工能解区，黑色区是手工不能解区域，灰色区是计算太繁区域，用了数学软件后全部都能解。不难看出，数学软件能够使线性代数很好地满足后续课和未来工程计算需要。,19/56,新旧线性代数内容覆盖图,20/56,纲领改革后解题指标,1,.解6元以上实数线性代数方程组（力学）；,2,.解3元以上复数线性代数方程组（电路）；,3,.会进行3阶以上信号流图传递函数计算，即学会做文字变量求逆运算；（信号与系统）,4,.进行6阶3元以上超定方程组求解；,这是指教材中控制例题和习题深度，我们以为，线性代数到达这个水平，与后续课就能够实现无缝衔接了。,实际上，只要学会使用计算机编程以后，阶数是没有上限。,21/56,补丁书,线性代数实践,补充内容为：,1,.后续课和工程中应用实例；,2,.线性代数中全部概念几何形象,甚至动画；,3,.解各种线性代数问题MATLAB程序；,4,.适累计算机算习题。另外就是MATLAB语言入门。它宗旨是实现下面三句口号：,线性代数抽象吗？看了本书后，你会知道它概念都基于空间形象。,线性代数冗繁吗？学了本书后，你会知道它计算全藉助简明程序。,线性代数枯燥吗？读了本书后，你会发觉它应用极其广泛又精彩。,22/56,美国做法,1990年开始，先,组成了线性代数课程研究组,(Linear Algebra Curriculum Study Group-LACSG),。,8,月，他们和工程界代表，共同提出了几条提议，简称为,LACSG Recommendations,：关键点是：,(,i,),，线性代数课程要面向应用，满足广大非数学专业学生需要；,(,ii,),，它应该是面向矩阵,;(,iii,),，它应该是依据学生水平和需要来组织；,(,iv,),，,它应该利用最新计算技术,;(,v,),，对数学专业要另设课程提升其抽象性。,1992年NSF又资助了一个ATLAST计划，ATLAST是 Augment the Teaching of Linear Algebra using Software Tools(,用软件工具增强线性代数教学,)缩写。该计划在1992 到 1997 六个暑期组织了许多学习班。使大批教师接收了科学计算语言培训。从而在全国推进了线性代数与计算机结合。,23/56,本项目工作过程,（）,5月8月写出了线性代数实践与MATLAB入门，,9月在学校支持下办了40余人线性代数教师培训班，以稿为教材，讲8节课。并举行座谈，听取反馈意见。,11月，在一个学生班中试点加1学分“线性代数实践”。也搜集反馈。,这两项试点结果都反应在 年4月给教指委提议书中。,24/56,试用方法和效果,我校利用这本书初稿在全校线性代数老师办了一次培训班，给参加培训老师计工作量，所以参训老师踊跃。在学生班中也作了加一个学分“线性代数实践”试点，收到了很好反应。,书使用方法是在线性代数课中加一个线性代数实践学分，在线性代数上到二分之一时候开设。1学分，15课时，其中讲课10课时（MATLAB 4课时，线性代数实践 6课时）上机10机时（5课时）。考试成绩按1015%计入线性代数总分。,25/56,教师培训班部分反应,（见培训班部分组员谈学习体会）,培训班40名教师，有27名写了心得，普遍盛赞引入软件和实践好处。见给教指委提议书。,“老师不能只抱着一本要求教材上课，必须看外国最新教材和发展趋势，并从历史观点分析差距产生原因和克服方法；必须了解后续课怎样用线性代数，要更多地了解线性代数在工程中应用。这次培训班和这本实践教材最大贡献是在这个方面。”,“在当前条件下，能够改革地方应该先做起来。比如用本教材中应用实例使学生提升学习目标性和主动性，充分利用二维、三维空间形象强化学生感性认识；在计算能力方面，当前马上让全部学生大量使用MATLAB有一定困难，但最少要告诉同学哪些工作应该由计算机来完成，”,26/56,05届学生反应举例,一边学理论，一边学实践，让我们在其它同学面前多了一份自豪！欣慰之情难以言表！自豪只是内心之感，学这们课最大致会是多了一技之长！学以制用，此为学目标：学 matlab让我深刻地体会到了学习线性代数用途所在，为此解除了迷惑，有了学习动力。,这门课对我们很有用，可惜只有我们班开课，应推广至全部同学。,最好能增加上机次数，以后每学期最好也能开几次课。不然就忘了，白学了！,在初，对这个已是三年级班又重做了调查，对“线性代数实践”课程依然反应很好。97学生认为线性代数应该笔算、机算都会，才能处理实际问题。线性代数实践教给他们很有用能力。而且反应学习机算并不难。另外，反应后续课没有很好用机算使他们无用武之地。,27/56,1月对05班学生重新调查,(7)你以为学生学完线性代数课后应该,：,(a)。只会用笔算就够了；(b)。只会用计算机算就行了；(c)。笔算、机算都会。请说明理由；,答：2人答(a),8人答(b),70人答(c),未答 4,(9)增加计算机算题内容对教师费不费时？大约要增加多少课时？对学生掌握起来难不难？会帮助还是减弱理论了解？,答：不难，810课时，能帮助了解。编程有困难，要有多练条件。,(13)你在其它哪些课程中曾用计算机解过题？用什么语言？对学校做好“提升教育当代化水平”其它提议。,答：数值算法，C语言，MATLAB语言，,28/56,工作过程,（）,1,.在总结胶印教材基础上，编写了正式教材工程线性代数（MATLAB版），.7由电子工业出版社正式出版。,2.,教材出版后，快速作出课件；,3.,争取了分教指委基金项目。,4.,继续在本科班进行试点，尤其是为了检验教材适用性。除正式安排了三个班试点外，在普通班也介绍这本书作为参考书。,5.,对试点学生效果进行调查。,29/56,用MATLAB教材优越性何在,依据两年实践，我们在新书中又把其特点归纳为四个方面，即四个主要特点：,1,.基本概念都从几何图形引入，做到抽象与形象结合；,2,.一切繁琐计算都有简明程序，推进笔算与机算结合；,3,.大量实例诠释了课程价值，实现理论与实践结合；,4,.能与后续课需要无缝衔接，表达课程辐射效应。,考虑到部分教师和学生工程基础不足，把与后续课相关内容移到最终一章，能够选修。,30/56,关于抽象与形象结合,三元方程组解几何意义（适定、超定与欠定）；,两个向量行列式是它们组成平行四边形面积；,三个向量行列式是它们组成平行六面体体积；,二维、三维向量线性相关和线性无关几何意义；,平面（二维）线性变换几何特征及其意义；,二维特征值和特征向量几何意义；,三元齐次方程基础解系几何特征；,二元超定方程最小二乘解几何表述；,二次型化为标准型不一样方法几何解释,31/56,关于笔算与机算结合,矩阵赋值和其加、减、乘、除（求逆）命令；,矩阵化为最简行阶梯型计算命令；U0,ip=rref(A),多元线性方程组MATLAB求解几个方法；x=inv(A)*b,U=rref(A),行列式几个计算机求解方法；D=det(A),L,U=lu(A);D=prod(diag(L),n个m维向量组相关性及其秩计算方法和命令;r=rank(A),U=rref(A),求欠定线性方程组基础解系及超定方程解MATLAB命令；xb=null(A),矩阵特征方程、特征根和特征向量计算命令；f=poly(A);P,D=eig(A),化二次型为标准型MATLAB命令；y,T,Dy=x,T,Ax;其中y=P,-1,x,32/56,关于实现理论与实践结合,多项式插值系数计算,平板稳态温度计算,交通流量分析,成本核实问题,图及其矩阵表述,网络矩阵分割和连接,弹性梁柔度矩阵,用行列式计算面积,33/56,关于实现理论与实践结合,(续),化学方程配平,减肥配方实现,刚体平面运动计算和绘图,混凝土配料中应用,圆锥截面二次型方程插值问题,人口迁徙模型,物料混合问题（用到微分方程）,34/56,关于与后续课应用衔接,用线性代数解直流电路举例,用线性代数解交流电路举例,用线性代数解线性系统中常微分方程举例,用线性代数解线性系统中信号流图举例,用线性代数求数字信号处理中系统函数举例,用线性代数解静力学问题举例,用线性代数解运动学问题举例,用线性代数解机械测量学问题举例,用线性代数解文件管理问题举例,用线性代数解经济管理问题举例,35/56,学生反应,对三届试点班民调都显示，学生都反对只教笔算，对试点中自己学会机算非常自豪。其主要好处：,学以致用，有目标，有兴趣；,建立空间概念，加强了了解；,节约了算题时间，能够多看书和思索；,会解任意高阶题目，对后续课很有用处。,在全校理论统考对比中，试点班成绩就远高于普通班，并没有发生学生因使用计算机而偷懒问题；相反，却因提升了感性认识和学习兴趣而对理论了解更深了,实践能力差距就更大了。普通班只能笔算三阶以下简单实数方程组，对试点教材中几十道应用题可望而不可及，而试点班却能用计算机快速解出这些高阶复数乃至超定方程组问题。这就实现了线性代数与后续课（力学、电路、信号与系统、信号处理、自动控制等课程）无缝衔接，也给后续课机算创造了条件。,36/56,当前可供选择有实践内容教材,1.陈怀琛，龚杰民：线性代数实践及MATLAB入门，年1月电子工业出版社，第二版，打实践补丁书，MATLAB和后续课应用讲得较深，适合于教师培训,2.陈怀琛，高淑萍，杨威：工程线性代数（MATLAB版），7月电子工业出版社，适合于学生上课，理论与实践结合结合紧密，用实例比较浅，一年级学生轻易接收。,3.杨威，高淑萍：线性代数机算与应用指南，西安电子科技大学出版社刚出版，打实践补丁，适合于用老教材学生。,37/56,项目目标,项目标当前目标MATLAB+机算,发给各位资料：,三本教材，一张MATLAB入门光盘，这是我校本学期在全校5000名本科生中教会机算主要资料。,作为项目标后期两大目标,一。关于理论部分需求分析和精简,二。在后续课程中建模和辐射,38/56,高级目标之一精简理论,继续需求牵引论证：我们论证只讲了后续课需要增加什么，高教司说这不行，必须要减轻学生理论负担，你要降低课时。理论这些内容都是后续课需求吗？有谁论证过?不需要就应该精简。,怎样精简一些理论内容，降低课时。最主要是要把“造车者”和“用车者”培养要求区分开来。把数学类和非数学类区分开来，用车应占绝大多数，他们没必要学那么多造车理论。,实施方法现在只能是大胆讨论，慎重实践。关键要教指委这么权威部门说话，并对硕士入学考试要求做对应改革才行。,39/56,需求分析要有三个区分,1,.把数学专业要求与非数学专业相区分，即把造车与用车要求加以区分；,2,.把当前急需要求和未来久远要求相区分，在本科阶段要用放在第一位，把处理实际问题放在第一位，考研放在第二位，因为那是两年半后事，还有复习机会。,3,.把多数人与少数人要求相区分，考研毕竟只占少数，不应该让大批不考研学生跟着陪绑，损失了他们该学有利于他们就业内容。,40/56,高级目标之二后续课建模,在后续课中推进矩阵建模,，对学过线性代数实践学生，其后续课中矩阵运算就有了机算条件，应组织后续课多用矩阵、多用机算，充分扩展线性代数课程改革对教学计划促进作用。对后续课教师进行线性代数机算补课十分必要。,我们对机电类专业十来门后续课引进矩阵建模和解题，得到了非常有价值结果。它不但能够使解题效率极大提升，而且对概念深化和概括有极大影响，许多过去要死记硬背规则和方法都能够省略了，学起来能够事半功倍。,举一些例子以下：,41/56,力学静力学、运动学、动力学,刚体力学中多个刚体平衡方程完全用矩阵处理了，不用代入法和消去法。,对于含有变形协调方程材料力学静不定问题也可用矩阵求解，因而根本不需要做初等乘除加减运算了,再往复杂结构力学问题发展就非常自然，只要处理建模问题，列出方程组，解就不成问题。,刚体运动学完全用变换矩阵和矩阵乘法来处理。,振动力学方程解用矩阵完成，而其特征值和特征向量物理意义非常清楚地表示了。,42/56,电路直流和交流电路,复杂多节点多回路电路计算完全用矩阵实现，交流电路用复数矩阵，只要填矩阵，不要算，一样大大节约了学生用于计算时间，专心于概念和模型建立。,在概念上也会有一个飞跃。因为现在电路线性方程组能够是电压方程，也能够是电流方程。“电路方程组可写成AXB。系数A是阻抗或导纳矩阵，X是电路中电压和电流状态向量，B是输入已知电源向量”。有一位审稿先生说我是错误。他说，你这不是欧姆定理吗？怎么是方程组呢？其实这就是用矩阵表示广义多变量且适合于交流和直流欧姆定理。大家能够从这里出发去创新和发挥，大有搞头！,43/56,信号与系统取代梅森公式,信号流图是描述线性系统最主要工具。在信号与系统课程中化简信号流图方法就是梅森公式，这是梅森于1956年提出，统治了这门学科50多年了。它是以图形拓扑为基础方法，不给证实，要学生死记一些规则，掌握很困难，系统稍复杂一些就毫无方法。,把“矩阵建模+MATLAB”用与信号流图，理论很严格，只要把信号流图中系数正确填进矩阵一个求逆就把结果解出来了，根本无须记什么规则。求解自动化，再复杂，计算机也能算出来。多好方法啊，还要梅森公式干啥？这是革命性课程改造。（参看前面需求分析例子）,它还为后面信号处理、自动控制改革打下了基础,44/56,信号处理 数字滤波器系统函数,像这么一个不算复杂滤波器，列写方程将是一个十几阶线性方程组，没有些人敢去碰它,x1=u-k3x4;x2=x1;x3=k3x2+x4;x4=qx7;,x5=x2-k2x8;x6=x5;x7=k2x6+x8;x8=qx11;,x9=x6-k1x12;x10=x9;x11=k1x10+x12;x12=qx10;,x13=y=C0 x10+C1x11+C2x7+C3x3,掌握了线性代数，你就能够把它写成矩阵形式：一个求逆命令就全部处理了。而且是自动。,45/56,信号处理复杂滤波器计算,46/56,自动控制结构图简化,自动控制系统结构图简化：不需要先去化为并联、串联和反馈，直接列写方程组并写成矩阵形式。然后用,47/56,自动控制系统结构图简化,设,只要在矩阵中设s为符号变量，代进去，系统自然给出很复杂可靠结果，要靠手算，不知要费多少时间和出多少次错误,48/56,权威们评价,对于用信号流图矩阵建模而突破复杂线性系统化简创新方法，有以下权威评价。,西安交大校长郑南宁院士写道（9月）：,陈老师：您好！,您来信收悉。您提方法有创新性，我一定会在本届论坛上尽力推进这项工作。,祝好！,郑南宁,49/56,权威们评价,东北大学自动化学院院长薛定宇教授写道：,陈老师，您好！我以前也写过模型化简程序，是关于由结构图到状态方程转换，所以有比较tricky例子。对当初碰到问题例子也试用了您方法，发觉结果完全正确。另外，您方法很简练易用，有很好应用前景。假如以后我控制书再版时将介绍您方法，并引用您文章和书籍，望慨允。.,定宇,50/56,权威们评价,我校通院信号处理课程带头人高西全教授意见,1、方法简单，轻易看懂，轻易掌握，实用；,2、同意您摘要中描述：含有普遍意义矩阵建模公式，能够藉计算机帮助，快速准确地求出系统函数。比起各课程中原有方法，都有很大优越性。,3、对MIMO系统和SISO系统通用。,4、这种方法在其它书上未见到。但我认为过去学者处理问题思想刚好与您相反，因为你通用模型在没有计算机时代是无用。,5、我刚看完很激动，准备修订教材时去掉其它方法，用你统一模型代之。因为我一看就懂，很喜欢。,51/56,线性代数改革含有辐射作用,线性代数对机械和电子类后续课影响如此之大，正说明它对大学教学全局影响。全国理工经管有那么多专业，有数千门课程，把其中代数计算都采取有计算机线性代数来进行，这将是一个巨大功在当代大事。我们希望在全方面实施线性代数改造同时，向各类用到线性方程组后续课推行改革，使它辐射效应得到充分发挥。我们将勉励各专业、各课程老师提供这类创新实例，在两年以后，争取编出一本线性代数创新建模实例汇编。,52/56,用主动态度进行改革,胡锦涛总书记在十七大报告中明确提出了“提高教育现代化水平”任务，为教育改革和发展指明了方向。教育战线必须抓这个问题。我认为“教育现代化要从基本教学工具现代化开始”。大学课程现代化，线性代数起着特别作用，我们已经试了三年，是加快推广时候了！,其次，数学基础课程改革既要主动，又需要特别慎重。所以，非常希望得到基础数学教指委各位专家指教。一是帮我们在顶层争取更大支持，例如在研究生入学统考等方面，要兼有理论和实践要求等，二是帮我们想到任何可能被忽视问题，防止片面性，少走弯路。,53/56,希望看到在全国实现目标,经过线性代数课程改造，使它成为后续课中应用最广泛数学工具。在辽阔科技教学园田中，线性代数这个当代化载重汽车，帮助师生快速准确地处理一个一个难题，成为学生最喜欢课程。,在大量使用矩阵基础上，师生矩阵建模能力也有了很大提升，利用矩阵进行抽象思维能力也得到培养，在各后续课中不停有创新结果出现。,54/56,理工结合是搞好改革关键,各位可注意到，这个项目就课程性质而言是归理学院，但我是介乎理工之间力学出身、长久在工科任教。项目组组员多数是数学出身，但他们都是对工程有兴趣，也有不少线性代数老师是工科出身，但对数学有兴趣。,从改革理念形成过程、从推广有效性来看，有工科教师带头和参加比很好。主要是取长补短。不要有门户之见。我校这项改革能坚持四年，除了学校领导支持之外，理学院对这项改革理念采取了了解、接收并与工科教师合作态度是很关键。俗话说“旁观者清，当局者混”，因为数学教师自己不用，没有感受到后续课用不上线性代数问题。所以我希望各弟兄院校能够从中吸收有益经验，做好与专业教师结合。,55/56,谢谢各位教授和老师！,请多提宝贵意见！,56/56,