通胀环境下基于Heston模型的保险公司和再保险公司再保险-投资博弈.pdf

第2 5卷 第2期 2 0 2 3年4月滁 州 学 院 学 报J OURNA LO FC HU Z HOUUN I V E R S I T YV o l.2 5N o.2 A p r.2 0 2 3 通胀环境下基于H e s t o n模型的保险公司和再保险公司再保险-投资博弈吴雨莲,夏登峰,李松林摘 要:本文研究了基于H e s t o n模型的保险公司和再保险公司的博弈问题。假设金融市场包含无风险资产、风险资产以及零息债券,其中利率过程遵循仿射利率模型,风险资产价格过程遵循H e s t o n模型,同时考虑市场存在通货膨胀。以终端财富效用最大化为目标,利用动态规划原理建立相应的H J B方程,获得保险公司和再保险公司的最优价值函数的显式解。最后运用数值算例分析主要参数对最优再保险-投资策略的影响,并作出相应的经济学解释。关键词:H e s t o n模型;通货膨胀;仿射利率模型;再保险-投资中图分类号:F 2 2 4 文献标识码:A 文章编号:1 6 7 3-1 7 9 4(2 0 2 3)0 2-0 0 7 1-0 6作者简介:吴雨莲,李松林,安徽工程大学数理与金融学院硕士生;夏登峰,安徽工程大学数理与金融学院教授,博士,研究方向:金融数学与金融工程(安徽 芜湖2 4 1 0 0 0)。基金项目:国家自然科学基金“资产均衡价格区间对投资者交易行为的影响及其监管研究”(7 1 8 7 3 0 0 2)收稿日期:2 0 2 2-0 5-2 0 伴随着保险业的迅猛发展,市场环境的复杂变化,保险公司面对巨灾索赔风险不断增加,因此,保险公司需要通过再保险来转移风险。保险商通常会考虑自身资金如何通过投资组合达到增值,实现终端财富最大化,也会考虑如何通过再保险来转移索赔风险,使得保险商破产概率最小。因此,再保险成 为金融保险 体系中不可 或缺的手段。现实金融市场中价格波动率一般为随机的,越来越多文献研究随机波动模型,包括均值回复模型、H e s t o n模型、C E V模型等。B a i等1考虑盈余过程为跳扩散模型,研究了保险公司投资多种风险资产的最优决策。L i a n g等2假设风险资产的价格满足C E V模型,研究了跳扩散市场下的最优投资。为应对巨额索赔问题,保险公司通常会考虑再保险,以最 大化避免公 司 出 现 破 产 情 况。Y i等3研究了风险资产服从H e s t o n模型的鲁棒再保险-投资问题。常浩等4研究了利率满足仿射利率模型、风险资产满足H e s t o n模型的最优再保险-投资问题。李丹萍等5研究利率满足C I R模型的均衡再保险-投资策略。此外,通货膨胀风险也是影响长期投资的一个重要因素,通货膨胀指数关联了名义市场和实际市场。H a n等6在D C养老基金模型中同时考虑了通货膨胀风险和利率风险。G u a n等7在通胀环境下研究了保险公司的最优再保险和投资策略。以上研究仅考虑保险公司的利益,再保险公司作为流 动主体,其利 益 需 同 时 考 虑。王 愫 新等8考虑了再保险公司的利益。张弓亮等9考虑模型的不确定因素,建立了两家保险公司的基于鲁棒非零和随机微分的博弈模型。朱怀念等1 0在加权终端财富的期望效用下进行研究,得到保险公司和再保险公司的最优投资策略。G o n g等1 1研究了保险公司和再保险公司的稳健最优投资策略。基于以上研究,本文在通胀环境下同时考虑了保险公司和再保险公司的利益。保险公司和再保险公司都可以投资于一种无风险资产、一种服从H e s t o n模型的风险资产和零息债券,利用动态规划方法得到最优再保险-投资策略,并就通胀波动率等参数对投资策略的影响进行数值分析。本文结构如下:第2节建立模型;第3节通过求解H J B方程给出最优投资策略;第4节进行数值模拟并给出解释;第5节总结全文。1 模型建立本文假设(,F,Ft t0,T,P)是一个完备的带流概率空间,其中 Ftt0,T表示截至到时刻t市场所有的可利用信息。P代表参考概率测度。时间0T0表示波动率,W0(t)是标准的一维布朗运动。根据期望值原则计算的保险费率c=(1+)E Zi ,其中0是保险公司的安全负荷。保险公司允许购买再保险,q1(t)0,1表示t时刻保险公司愿意购买再保险的比例,保险公司支付的再保险费率为c1=(1+)q1(t),其中是再保险公司的安全负荷且0。因此,当购买再保险时,保险公司的盈余过程为:dR1(t)=(-q1(t)dt+0(1-q1(t)dW0(t).(2)假设金融市场存在三种资产:无风险资产(债券或银行账户)、风险资产(股票或基金)和零息债券.假定时刻t无风险资产的价格过程S0(t)1 2如下:d S0(t)=r(t)S0(t)dt,S0(0)=1,(3)其中r(t)0是无风险利率,且满足如下仿射模型:d r(t)=(a-b r(t)dt-k1r(t)+k2dWr(t),r(0)=r00,(4)其中a,b,k1,k2是正常数,Wr(t)是一维标准布朗运动。当k1=0时,此模型退化成V a s i c e k模型;当k2=0时,模型退化成C I R模型,2ak1确保r(t)0。假设t时刻风险资产的价格过程S(t)服从以下H e s t o n模型1 7:d S(t)=S(t)r(t)dt+sk1r(t)+k2(rk1r(t)+k2dt+dWr(t)+L(t)dt+L(t)dWs(t),d L(t)=(-L(t)dt+lL(t)dWl(t),(5)其中S(0)=s00,L(0)=l00。,l,s,r是正常数,满足2 2l,以确保L(t)0。对于t0,T,C o v(Ws(t),Wl(t)=t,-1,1,且Ws(t),Wl(t),Wp(t)为一维标准布朗运动。Wp(t)与Ws(t),Wl(t)独立。根据G u a n和L i a n g1 3,假设在t时刻零息债券价格B(t,T)满足如下随机微分方程:dB(t,T)B(t,T)=r(t)dt+B(T-t)k1r(t)+k2(rk1r(t)+k2dt+dWr(t),(6)其中B(t)=2(ez t-1)z-(b-k1r)+ez k(z+b-k1r),z=(b-k1r)2+2k1。本文采用具有恒定剩余期限K的滚动债券BK(t),其价格过程为:dBK(t)BK(t)=r(t)dt+B(K)k1r(t)+k2(rk1r(t)+k2dt+dWr(t),(7)且BK(t)和B(t,T)满足关系:dB(t,T)B(t,T)=(1-B(T-t)B(K)d S0(t)S0(t)+B(T-t)B(K)dBK(t)BK(t).(8)假设1(t)表示保险公司在时刻t投资于风险资产上的比例,B1(t)表示投资于滚动债券的比例,则1-1(t)-B1(t)表示投资于无风险资产上的比例。保险公司的财富过程X(t)为:d X(t)=(-q1(t)dt+r(t)X(t)dt+X(t)1(t)L(t)dt+sr(k1r(t)+k2)dt+X(t)B1(t)B(K)r(k1r(t)+k2)dt+X(t)1(t)L(t)dWs(t)+X(t)k1r(t)+k21(t)s+B1(t)B(K)dWr(t)+0(1-q1(t)dW0(t).(9)假设时刻t的随机消费价格指数P(t)为:d P(t)=P(t)udt+pdWp(t),P(0)=P00.(1 0)假 设 保 险 公 司 真 实 盈 余 过 程 为X(t),即27滁州学院学报 2 0 2 3年第2期X(t)=X(t)/P(t),对X(t)利用I t o公式有:d X(t)=(-q1(t)dt+(r(t)+2p-u)X(t)dt+X(t)1(t)L(t)+sr(k1r(t)+k2)dt+X(t)B1(t)B(K)r(k1r(t)+k2)dt+0(1-q1(t)dW0(t)+X(t)1(t)L(t)dWs(t)-X(t)pdWp(t)+X(t)k1r(t)+k2(1(t)s+B1(t)B(K)dWr(t).(1 1)1.2 再保险公司的财富过程根据期 望 值 原 则,再 保 险 公 司 的 保 费 率 为c2=(1+)q2(t),其赔付过程可以表示为:q2(t)dN(t)i=1Zi=q2(t)dt-0dW0(t),(1 2)则再保险公司的盈余过程为:dR2(t)=q2(t)dt+0q2(t)dW0(t).(1 3)同理,假设再保险公司真实盈余过程为Y(t),即Y(t)=Y(t)/P(t),对Y(t)利用I t o公式有:dY(t)=q2(t)dt+(r(t)+2p-u)Y(t)dt+Y(t)2(t)sr(k1r(t)+k2)+L(t)dt+Y(t)B2(t)B(K)r(k1r(t)+k2)dt+0q2(t)dW0(t)+Y(t)2(t)L(t)dWs(t)+Y(t)k1r(t)+k2(2(t)s+B2(t)B(K)dWr(t)-Y(t)pdWp(t).(1 4)定 义1 再 保 险-投 资 策 略(qi(t),i(t),B i(t),i=1,2被 称 为 可 容 许 的,如 果qi(t),i(t)和B i(t)符合条件:1)qi(t),i(t)和B i(t)都是可测的,且满足ET0q2i(t)dt,ET02i(t)dt 和ET0B i2(t)dt.2)ET0(i(t)sk1r(t)+k2+B i(t)B(K)k1r(t)+k2)2dt+T02i(t)L(t)dt+T020q2i(t)dt0,U 1,p21是相对风险规避系数。为使终端财富的期望效用最大化,假定值函数为:J(t,x,r,l)=m a xu1(t)1EU(X(T)|X(t)=x,R(t)=r,L(t)=l),(1 6)J(t,y,r,l)=m a xu2(t)2EU(Y(T)|Y(t)=y,R(t)=r,L(t)=l).(1 7)2.1 保险公司最优策略本文参考王愫新等1 9的方法,如果价值函数H及其 偏导 数Ht,Hx,Hx x连 续,则 满 足 如 下H J B方程:Ht+(-q1)+x(r+2p-u)+x 1(sr(k1r+k2)+l)+x B1B(K)r(k1r+k2)Hx+(-l)Hl+(a-b r)Hr+122ll Hl l+1220(1-q1)2+x221l2+x2(k1r+k2)(1s+B1B(K)2+x22pHx x+12(k1r+k2)Hr r+x l1lHx l-x(k1r+k2)(1s+B1B(K)Hx r=0,(1 8)由式(1 8)最优一阶条件可得:q1=1+Hx20Hx x,1=-Hx+1Hx lxHx x,B1=s(Hx+1Hx l)+Hx r-rHxx B(K)Hx x.为求解H J B方程,边界条件为J(T,x,r,l)=U(x)时,猜测:37吴雨莲,等:通胀环境下基于H e s t o n模型的保险公司和再保险公司再保险-投资博弈J(t,x,r,l)=x1-p11-p1eh1(t)+f1(t)r+g1(t)l,(1 9)于是有如下定理。定理1 根据上述条件,保险公司的最优再保险-投资策略如下:q1=1-xp120,1=+lg1(t)p1,B1=r-f1(t)-s(+lg1(t)p1B(K),证明见附录。2.2 再保险公司最优策略运用上述方法,由最优一阶条件可得:q2=Hy20Hy y,2=-Hy+lHy ly Hy y,B2=s(Hy+lHy l)+Hy r-rHyy B(K)Hy y.为求解H J B方程,边界条件为J(T,y,r,l)=U(y)时,假设J(t,y,r,l)为:J(t,y,r,l)=y1-p21-p2eh2(t)+f2(t)r+g2(t)l,p21,(2 0)于是有如下定理。定理2 假定保险公司的最优再保险-投资策略分别为:q2=yp220,2=+lg2(t)p2,B2=r-f2(t)-s(+lg2(t)p2B(K),证明见附录。3 数值实例在模型中简化为只有保险公司和再保险公司。本文通过数值算例分析主要参数的影响,假定模型参数为:表1 相关参数设定0bupk1sr110.60.1 50.0 10.0 30.0 1 50.60.0 220.5lx0y0TKp1p210.0 30.0 40.3111 01 022.5 图1展示了对再保险策略q*(t)的影响,即q*1(t)关于参数递减,q*2(t)关于参数递增。随着安全负荷的增加,保险公司的再保险费用增加,因此保险公司选择更低的再保险策略。从再保险公司的角度出发,安全负荷增加,收取的保费增加,因此再保险公司选择更多的再保险比例。图1 对再保险策略q*(t)的影响图2显示了1、2关于参数递增。越大,表明风险资产的期望收益就越大,因此保险公司和再保险公司为了获得更多的利益,会增加风险资产的投资份额。图3表明了B1、B1关于参数b递减。随着b的增大,利率的期望值越来越小,零息债券的期望值将递减,这意味着保险公司和再保险公司投资于零息债券的比例也将递减。图2 对投资策略*(t)的影响4 总结本文在通胀环境下基于H e s t o n随机波动率模型研究了保险公司和再保险公司的博弈问题。47滁州学院学报 2 0 2 3年第2期图3 b对投资策略*B(t)的影响假设保险公司和再保险公司均投资于无风险资产、风险资产和零息债券。在金融市场中,利率由仿射利率模型描述,风险资产价格由H e s t o n随机波动率模型描述。通过求解H J B方程,得到最优再保险-投资问题的显式解,运用数值算例分析了模型参数对最优投资的影响。本文的理论研究结果表明:最优再保险策略依赖于保险市场参数;投资于股票的比例依赖于金融市场参数,与保险市场参数无关;投资于零息债券的比例仅依赖于金融市场参数。参 考 文 献1 B A ILH,GUOJY.O p t i m a l p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n c e a n di n v e s t m e n tw i t hm u l t i p l er i s k ya s s e t sa n dn os h o r t i n gc o n-s t r a i n tJ.I n s u r a n c e:M a t h e m a t i c s a n dE c o n o m i c s,2 0 0 8,4 2(3):9 6 8-9 7 1.2 L I A N GZB,Y U E NKC,C H E UN GKC.O p t i m a l r e i n s u r-a n c e-i n v e s t m e n tp r o b l e mi nac o n s t a n t e l a s t i c i t yo fv a r i a n c es t o c k m a r k e tf o rj u m p-d i f f u s i o nr i s k m o d e lJ.A p p l i e dS t o c h a s t i cM o d e l s i nB u s i n e s sa n dI n d u s t r y,2 0 1 1,2 8(6):5 8 5-5 9 7.3 Y IB,L IZF,V I E N SFG,e t a l.R o b u s to p t i m a l c o n t r o l f o ra n i n s u r e rw i t h r e i n s u r a n c e a n d i n v e s t m e n t u n d e rH e s t o ns s t o-c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e lJ.I n s u r a n c eM a t h e m a t i c sE c o n o m i c s,2 0 1 3,5 3(3):6 0 1-6 1 4.4 常浩,王春峰,房振明.随机金融市场环境下的最优再保险-投资 策 略 J.控 制 理 论 与 应 用,2 0 1 9,3 6(2):3 0 7-3 1 8.5 李丹萍,林玉容,曾燕.随机利率与随机波动率模型下保险公司的均衡再保险-投资策略J.计量经济学报,2 0 2 1,1(4):9 0 4-9 2 0.6 HANN W,HUN G M W.O p t i m a l a s s e t a l l o c a t i o n f o rD Cp e n s i o np l a n su n d e r i n f l a t i o nJ.I n s u r a n c eM a t hE c o n o m-i c s,2 0 1 2,5 1(1):1 7 2-1 8 1.7 G UA NG,L I A N GZ.O p t i m a lR e i n s u r a n c ea n dI n v e s t m e n tS t r a t e g i e s f o rI n s u r e ru n d e rI n t e r e s tR a t ea n dI n f l a t i o nR i s k sJ.I n s u r a n c e:M a t h e m a t i c sa n d E c o n o m i c s,2 0 1 4,5 5:1 0 5-1 1 5.8 王愫新,荣喜民,赵慧.H e s t o n模型下保险公司与再保险公司的博弈J.工程数学学报,2 0 1 6,3 3(1):1-1 6.9 张弓亮,朱怀念,李洁茗.模型不确定性下的非零和随机微分投 资 与 再 保 险 博 弈 J.系 统 工 程,2 0 1 9,3 7(4):1 2 9-1 3 8.1 0 朱怀念,张成科,曹铭.H e s t o n模型下保险公司和再保险公司的投资与再保险博弈J.中国管理科学,2 0 2 1,2 9(6):4 8-5 9.1 1 GON GXQ,MASX,HUAN GQ,e t a l.R o b u s tO p t i m a lI n v e s t m e n tS t r a t e g yo f a nI n s u r e r a n daR e i n s u r e rw i t hS t o-c h a s t i cI n t e r e s tR a t ea n dS t o c h a s t i c V o l a t i l i t yJ.A c t aS c i e n t i a r u m N a t u r a l i u m U n i v e r s i t a t i sN a n k a i e n s i s,2 0 1 9,5 2(6):6 0-7 0.责任编辑:李晓春附录A 证明命题1假设J(t,x,r,l)=x1-p11-p1eh1(t)+f1(t)r+g1(t)l,p11,且h1(T)=1,f1(T)=0,g1(T)=0,则有:Jt=h 1(t)+f 1(t)r+g 1(t)lJ,Jx=1-p1xJ,Jr=f1(t)J,Jl=g1(t)J,Jx x=-p1(1-p1)x2J,Jr r=f1(t)2J,Jl l=g1(t)2J,Jx l=(1-p1)g1(t)xJ,Jx r=(1-p1)f1(t)xJ,(A 1)将上式带入式(1 8)得到:h 1(t)+f 1(t)r+g 1(t)l+1-p1x+(1-p1)(r+p2-u)+(-l)g1(t)+(a-b r)f1(t)+12l 2lg21(t)+12(k1r+k2)f21(t)+m a x0q11-1-p1x q1+(1-p1)p1x220q1-(1-p1)p12x220q21+57吴雨莲,等:通胀环境下基于H e s t o n模型的保险公司和再保险公司再保险-投资博弈m a x1,B1(1-p1)1sr(k1r+k2)+l-(1-p1)p1221l+(k1r+k2)(B1B(K)+1s)2+l1l(1-p1)g1(t)-(k1r+k2)(B1B(K)+1s)(1-p1)f1(t)-12p2p1(1-p1)+(1-p1)B1B(K)r(k1r+k2)=0,(A 2)对q1和1,B1求导并令导数为0,得到:q1=1-xp120,1=+lg1(t)p1,B1=r-f1(t)-s(+lg1(t)p1B(K),(A 3)将式(A 3)带入式(A 2)关于r,l变量分离,分解为三个等式:f 1(t)-(b-rk11-p1p1)f1(t)+12k1(1+1-p1p1)f21(t)+1-p1+1-p12p1r2k1=0,g 1(t)-(-l1-p1p1)g1(t)+122l(1+21-p1p1)g21(t)+1-p12p12=0,h 1(t)+1-p1x(-)+(1-p1)22p120+(1-p1)(2p-u)-(1-p1)p12(22p120+2p)1-p12p1r2k2+g1(t)+a f1(t)-rk21-p1p1f1(t)+12k2f21(t)+k2(1-p1)2p1f21(t)=0,(A 4)由边界条件解得:f1(t)=w1w21-e-k12p1(w1-w2)(T-t)w2-w1e-k12p1(w1-w2)(T-t),k10,p1-1be-b(T-t)-1,k1=0,g1(t)=u1u21-e-2l2(1+21-p1p1)(u1-u2)(T-t)u2-u1e-2l2(1+21-p1p1)(u1-u2)(T-t),h1(t)=Tt1+g1(s)+a f1(s)-rk21-p1p1f1(s)+12k2f21(s)+k2(1-p1)2p1f21(s)dt,(A 5)其中:w1,2=p1(b+rk11-p1p1)p1(b+rk11-p1p1)2+2p1k1(p-1+p1-12p1r2k1)k1,u1,2=(-l1-p1p1)(-l1-p1p1)2+(p1-1)22l(1+21-p1p1)2l(1+21-p1p1),1=1-p1x(-)+(1-p1)22p120+(1-p1)(2p-u)-(1-p1)p12(22p120+2p)+1-p12p1r2k2.证毕。命题2与命题1方法类似,不再赘述。67滁州学院学报 2 0 2 3年第2期