安徽省皖南八校高三数学第一次联考-理.doc

皖南八校2012届高三第一次联考数学试题（理科）

考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效。

参考公式：
锥体体积公式：，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则集合A∩B的元素个数为（ ）
A．0 B．2 C．5 D．8
2．设为虚数单位，复数是纯虚数，则实数等于 （ ）
A．-1 B．1 C． D．
3．已知双曲线的右焦点为F，若过点且斜率为的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是 （ ）
A． B． C．2 D．
4．设，均不为0，则“”是“关于的不等式的解集相同”的 （ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．若变量满足约束条件的最大值为 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．计算机是将信息转化为二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，若1011（2）表示二进制数，将它转换成十进制数式是了么二进制数（2）转换成十进制数形式是 （ ）
A．22010-1 B．22011-1 C．22012-1 D．22013-1
7．已知是函数的一个零点，若，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的图象如图，则的图象为 （ ）

A．① B．② C．③ D．①②③图都不对
9．如图，已知三点A，B，E在平面内，点C，D在外，并且，。若AB=3，AC=BD=4，CD=5，则BD与平面所成的角等于 （ ）
A． B．
C． D．
10．在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡上。
11．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 。

12．①三角形纸片内有1个点，连同三角形的顶点共4个点，其中任意三点都不共线，以这4个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为3个；②三角形纸片内有2个点，连同三角形的顶点共5个点，其中任意三点都不共线，以这5个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为5个，…………
以此类推，三角形纸片内有2012个点，连同三角形的顶点共2015个点，其其中任意三点都不共线，以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的小三角形个数为 个（用数字作答）
13．已知角的顶点在坐标原点，始边写轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是 。
14．设，则 。
15．平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的所有取值为 。（将你认为所有正确的序号都填上）
①0 ② ③1 ④2 ⑤3
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
16．（本小题满分12分）
一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。
（1）从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；
（2）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；
（3）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当放回记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望。

17．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，DB//AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点。
（1）求证：EF⊥平面BCD；
（2）求多面体ABCDE的体积；
（3）求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值。

18．（本小题满分13分）
已知
（1）求的最大值，及当取最大值时x的取值集合。
（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有的最大值.

19．（本小题满分13分）
已知函数，数列满足
（1）若数列是常数列，求t的值；
（2）当时，记，证明：数列是等比数列，并求出通项公式an.

20．（本小题满分12分）
已知椭圆过点A（a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率小于零的直线过点D（1，0）与椭圆交于M，N两点，若求直线MN的方程；
（3）是否存在实数k，使直线交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分13分）
已知的图像在点处的切线与直线平行.
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：

参考答案

1、B 2、A 3、A 4、C 5、D 6、B 7、D 8、B 9、C 10、C
11、8 12、4025 13、 14、20 15、①③④
提示：
1、B ，,所以元素个数为2个
2、A 　是纯虚数，则故．
3 、A 依题意，应有=，又＝，∴=，解得e=．
4、C
5、D
6 、B 转换成十进制数形式：．
7、D
8、B
9、C
10、C
11、
12、4025
13、
14、20

15、①③④
16、解：（Ⅰ）因为1,3,5是奇数，2、4是偶数，
设事件A为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数” ……2分
或 4分
（Ⅱ）设表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，
由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为， ……6分
则． ……8分
（Ⅲ）依题意，的可能取值为．
，
，
， …………………11分
所以的分布列为

A
B
C
E
D
F
H
G
． …………………12分
17、解：（Ⅰ）找BC中点G点，连接AG，FG
F，G分别为DC,BC中点
∴ ∴ //AG
面，∥ DB⊥平面ABC
又∵DB平面
平面ABC⊥平面
又∵G为 BC中点且AC=AB=BC
AG⊥BC
AG⊥平面
平面 ………………………．4分
（Ⅱ）过C作CH⊥AB,则CH⊥平面ABDE且CH=
…………8分
（Ⅲ）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系
则

平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值
法二（略解）：延长DE交BA延长线与R点，连接CE,易知AR=BA=1, ∠RCB=

平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值
18．解：（Ⅰ）………………2分

……4分
（Ⅱ）因为对定义域内任一x有

∴=

最大为

19、解 （Ⅰ）∵数列是常数列，∴，即，解得，或．
∴所求实数的值是1或-1． …………………………5分
（Ⅱ）,，
即． ……9分
∴数列是以为首项，公比为的等比数列，于是．……11分
由,即，解得．
∴所求的通项公式．………… 13分
20、解：（Ⅰ）由， ，得，，
所以椭圆方程是：……………………3分
（Ⅱ）设MN：代入，得，
设，由，得．
由，……………………6分
得，,（舍去）
直线的方程为：即……………………8分
（Ⅲ）将代入，得（*）
记，，为直径的圆过，则，即
，又，，得
………①
又，代入①解得……………11分
此时（*）方程，存在，满足题设条件．…………12分
21、解：（Ⅰ），根据题意，即 ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
令，
则，=
①当时， ，
若，则，在减函数，所以，即在上恒不成立．
②时，，当时，，在增函数，又，所以．
综上所述，所求的取值范围是 ……8分
（Ⅲ）有（Ⅱ）知当时，在上恒成立．取得
令，得，
即
所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得到
……13分

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