轴对称复习小结.doc

《轴对称综合复习》教案设计
一、教学目标 :
1、本章所有基本概念。
2、本章所有性质。
3、本章所有基本概念及性质的应用。
4、积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
5、在数学活动中获得成功的体验，锻炼客服困难的意志，建立自信心
二、学情分析
本章的性质的理解及其应用比较难，要想达到教学一级目标不容易，教学过程中学生必须认真思考，努力学习方能学好
三、重点难点
1、本章的基本概念及其性质。
2、本章性质的理解及其应用
四、教学过程
【典型例题】
例1. 某同学看到河对面钟楼上的钟表在水中的倒影如图所示，则该钟表指针所指时刻是 （ ）
A. 12∶05 B. 12∶55 C. 5∶35 D. 6∶25

分析：钟表在水中的倒影与墙上的平面镜成像有所不同，关键在于一个“倒”字，可从纸的背面并上下颠倒过来读数．故正确时间为12∶55．
解：B
评析：一个物体和它的倒影如果放在一个平面内可以理解为它们成轴对称．

例2. 已知，如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，并且BD、CE相交于点O，那么OB＝OC吗？

分析：OB和OC都是△OBC的边，要得出OB＝OC，考虑运用等腰三角形的判定定理：“等角对等边”，即要证得∠OBC＝∠OCB．
解：OB＝OC．因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
又因为∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
所以∠OBC＝∠OCB，所以OB＝OC（等角对等边）．
评析：本题考查等腰三角形的判定和性质，先用性质，再用判定，注意二者的区别．

例3. 如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D且AD＝BC＝4，若将此三角形沿AD剪开成两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼出的四边形的示意图（标出图中的直角）．

分析：本题主要考查动手操作来探索答案，按照此题剪出所要求的两个三角形进行操作拼凑，分三种情况（斜边AB、直角边AD、直角边BD），不难得出四个符合要求的答案．
解：如图所示：

评析：拼接图形要考虑让哪两条边重合．

例4. 已知，如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于点E，求证：FC＝2BF．
分析：由AB＝AC，∠BAC＝120°，易得∠B＝∠C＝30°，又已知EF是AB的垂直平分线，联想到作辅助线，连结AF，得到AF＝BF，从而把问题FC＝2BF转化为证FC＝2AF．根据直角三角形的知识，需证∠CAF＝90°，问题得以解决．

证明：连结AF，
∵EF为AB的垂直平分线
∴AF＝BF，
∴∠B＝∠FAB（等边对等角）．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角）．
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝＝30°（三角形内角和定理）．
∴∠FAB＝30°，
∴∠FAC＝∠BAC－∠FAB＝120°－30°＝90°．
又∵∠C＝30°，
∴FC＝2AF（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）．
∴FC＝2BF．
评析：证明线段的2倍关系常常依赖于三角形的中线、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等．注意到本题已知条件中有一个条件含120°，它与30°有密切的关系，所以解答本题的关键是把线段的2倍关系转化到一个含30°角的直角三角形中．

例5. （2008年新疆）在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）

已知：__________．
求证：△AED是等腰三角形．
证明：
分析：从四个等式中选出两个，有6种选法：①②，①③，①④，②③，②④，③④．验证这6种组合是不是能推出△AED是等腰三角形就可以了．另外，要注意本题有一个隐含相等关系，对顶角∠AEB＝∠DEC．
解：已知：①③或①④或②③或②④，证明：△ABE≌△DCE．
以①③为例：
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，即△AED是等腰三角形．
评析：本题是一道猜想型问题，又具有一定的开放性．考虑到从四个等式中选两个，共有六种选法，情况不太多，逐一验证就可以了．

例6. 已知△ABC为正三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，线段BN与AM相交于点Q．就下面给出的三种情况（如图①、②、③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度？并利用图③证明你的结论．

分析：图①和②区别不大，只是点M离B点远近不同，直接观察两个图形，发现△ABM≌△BCN，从而∠BAM＝∠CBN，由外角知识∠BQM＝∠BAM＋∠ABN＝∠ABC＝60°．在图③中，图形稍显复杂，但是按照前面的思路，也应存在全等三角形△ABM≌△BCN，则∠BAM＝∠QBM＝∠ABC＋∠1＝60°＋∠1，又∠BAM＝∠BQM＋∠1，所以∠BQM＝60°．
解：先用量角器在图①、②、③中分别测量∠BQM，获知∠BQM均相等，且接近60°，因此，可猜测∠BQM＝60°，现以图③推理如下：
∵△ABC为正三角形，
∴AB＝AC＝CB，∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵MB＝CN．
∴△ABM≌△BCN，即∠BAM＝∠QBM．
又∠QBM＝∠ABC＋∠1＝60°＋∠1
∠BAM＝∠BQM＋∠1
∴∠BQM＝60°．
评析：关于角度和线段的归纳猜想问题，可以用测量工具量一下，对我们得出猜想结论非常有帮助．另外准确理解第一个图形的解题思路和方法，对归纳后续图形的规律也是非常重要的．

【方法总结】
建立动手操作的意识，主要是关于对称的折叠问题．注意观察身边的实际图形，体会其中包含的几何图形，牢固掌握轴对称（轴对称图形）的概念和性质，等腰三角形的判定及性质，以便用规范清晰的语言表述推理过程，注意分类讨论思想，转化思想、方程思想、归纳猜想思想在解题时的合理运用．

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