离散数学重点(2011离散数学A卷(郑州轻工业学院)).doc

离散数学重点
这个只是离散的重点，有些重点没介绍太多，去课本上找到，好好了解下，题目就是做老师给的那几套题就够了，通过做题对重点更加理解。有题不会的QQ问，不发答案了。按章节开始。

数理逻辑
1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；
 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；
 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；
 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 
5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；
 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 
7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这2n为(0~ 2n-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 
8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 
9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 
10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 
 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；
11.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；   多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;
12.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；   
集合论
第六章 集合
1.N，表示自然数集，1,2,3„„，不包括0；
 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 
3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 
4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有2n个元素，|P(A)|= = 2n；
 5.集合的划分：(等价关系) 
   ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；    ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 
   分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；    覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；

第七章   二元关系 
1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为mn，A到B上可以定义种不同的关系； 
2.若集合A有n个元素，则|A×A|=，A上有个不同的关系；
 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 
  空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；
全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；
 4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；   后域(ranR)：所有元素y组成的集合；
 5. 自反闭包：r(R)=RUIA;
对称闭包：s(R)=RUR－1;
传递闭包：
6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系； 
7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；
 8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}； 
9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；   极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；   最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；   最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)； 10.前提：B是A的子集 
   上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)； 
   下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)； 
   上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；    下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；

第八章   函数 
1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn
2种不同的关系，有m
n种不同的函数； 2.在一个有n个元素的集合上，可以有2
2n种不同的关系，有nn种不同的函数，有n!种不同的双射； 
3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有Am
n种不同的单射； 4.单射：f:X-Y，对任意1x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；   满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应； 
  双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；
 5.复合函数：fºg=g(f(x)); 
6.设函数f:A-B，g:B-C，那么 
(1).如果f,g都是单射，则fºg也是单射；
  (2.)如果f,g都是满射，则fºg也是满射；
(3.)如果f,g都是双射，则fºg也是双射；
(4.)如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；    
代数结构
第九章   代数系统 
1.二元运算：集合A上的二元运算就是到A的映射； 
2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的
个数为16种；
 3. 判断二元运算的性质方法： ①封闭性：运算表内只有所给元素； ②交换律：主对角线两边元素对称相等； 
③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同； ④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同； ⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同； 
4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；   
第十章   群 
1.广群的性质：封闭性； 
  半群的性质：封闭性，结合律； 
  含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；   群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元； 
2.群没有零元； 
3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；
 4.循环群中幺元不能是生成元； 
5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；

第十一章    格与布尔代数 
1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界； 2.格的基本性质： 
 1)  自反性 
       a≤a   对偶: a≥a  
2)  反对称性 
        a≤b ^ b≥a  => a=b         对偶:a≥b ^ b≤a  => a=b 
 3)  传递性 
        a≤b ^ b≤c  =>  a≤c         对偶:a≥b ^ b≥c  =>  a≥c 
  4) 最大下界描述之一 
        a^b≤a   对偶 avb≥a         A^b≤b   对偶 avb≥b  
5）最大下界描述之二 
        c≤a,c≤b  =>  c≤a^b 
        对偶c≥a,c≥b  =>Þc≥avb   
  6)  结合律 
      a^(b^c)=(a^b)^c        对偶 av(bvc)=(avb)vc     
7)   等幂律 
      a^a=a   对偶  ava=a 
8)  吸收律 
      a^(avb)=a  对偶  av(a^b)=a   
9)    a≤b <=>  a^b=a    avb=b 
 10)  a≤c,b≤d  =>  a^b≤c^d   avb≤cvd 
 11)  保序性  
b≤c  =>  a^b≤a^c  avb≤avc  
12） 分配不等式
       av(b^c)≤(avb)^(avc)   对偶  a^(bvc)≥(a^b)v(a^c) 
 13）模不等式  
  a≤c  <=>Þ  av(b^c)≤(avb)^c 
3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；
 4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；
 5.链格一定是分配格，分配格必定是模格； 
6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一) 
  全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一) 
7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格； 
8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元； 
9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元； 
10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；
11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；
图论
1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接； 
2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；
 3.平凡图：只有一个孤立点构成的图； 
4.简单图：不含平行边和环的图； 
5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；  
 有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图； 
6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边； 
7.r-正则图：每个节点度数均为r的图； 
8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；
 9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个； 
10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和； 
11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路； 
12.可达：对于图中的两个节点iv,jv，若存在连接iv到jv的路，则称iv与jv相互可达，也称iv与jv是连通的；在有向图中，若存在iv到jv的路，则称iv到jv可达； 
13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；    单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；
弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通) 
14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；    割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点； 
15.关联矩阵：M(G)，ijm是iv与je关联的次数，节点为行，边为列；    无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；    有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，    关联矩阵的特点： 无向图： 
    ①行：每个节点关联的边，即节点的度；     ②列：每条边关联的节点； 有向图：   
③所有的入度(1)=所有的出度(0); 
16.邻接矩阵：A(G)，ija是iv邻接到jv的边的数目，点为行，点为列； 17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；     P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G) 
   可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路； 
A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；    2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；    3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；
A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数； 
P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数； 
18.布尔矩阵：B(G)，iv到jv有路为1，无路则为0，点为行，点为列； 19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0； 
20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图； 
21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；    深度优先： 
             ①选定起始点0v； 
             ②选择一个与0v邻接且未被访问过的节点1v；            
  ③从1v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次； 
广度优先： 
          ①选定起始点0v； 
          ②访问与0v邻接的所有节点1v,2v,„„,kv,这些作为第一层节点； 
          ③在第一层节点中选定一个节点1v为起点；              
 ④重复②③，直到所有节点都被访问过一次； 
22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树； 
23.构造最小生成树的三种方法： 
      克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；
（1）克鲁斯卡尔方法 
     ①将所有权值按从小到大排列； 
     ②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；     
 ③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；     
 ④重复③，直到所有节点都被访问过一次；    
（2）管梅谷算法(破圈法) 
     ①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；    
  ②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；     
 ③重复②，直到所有节点都被访问过一次；    
（3）普利姆算法 
 ①在图中任取一点为起点1v，连接边值最小的邻接点2v；
  ②以邻接点2v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值比1v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，连接1v现在的最小边值(除已连接的边值)； 
 ③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；
24.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；    欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；    欧拉图：具有欧拉回路的图； 
   单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；    欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；
 25.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：    
 ①连通图；
②有0个或2个奇数度节点；    
（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：   
  ①连通图；②所有节点度数均为偶数；   
（3） 连通有向图含有单向欧拉路的充要条件： 
① 两个节点外，每个节点入度=出度； 
②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入 度比出度少1； 
（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：   图中每个节点的出度=入度； 
26.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；    
哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；   
 哈密顿图：具有哈密顿回路的图；
 27.判定哈密顿图（没有充要条件）  
 必要条件： 
  任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；  
 充分条件： 
  图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数； 
28.哈密顿图的应用：安排圆桌会议； 
   方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可； 
29.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图； 
30.面次：面的边界回路长度称为该面的次； 
31.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍； 
32.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则    v-e+r=2； 
33.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)   设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；
34.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；
 35.判断G是平面图的充要条件： 
        图G不含同胚于K3.3或K5的子图； 
36.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；            ②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；    完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；    判定无向图G为二部图的充要条件： 
          图中每条回路经过边的条数均为偶数；
 37.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；
 38.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数； 
39.树高：层数最大的顶点的层数；
 40.二叉树： 
    ①二叉树额基本结构状态有5种； 
    ②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度； 
    ③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；     ④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；     ⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1； 
    ⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12-k个(k>=1)； 
    ⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；     ⑧如果有0n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；
41.二叉树的节点遍历方法：           先根顺序（DLR）；          中根顺序（LDR）；          后根顺序（LRD）；  
42.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；
 43.最优二叉树的构造方法：  
       ①将给定的权值按从小到大排序； 
       ②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；        ③重复②，直达所有权值构造完毕； 
44.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值； 
  每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；