线形代数.doc

第一章 行列式
　主要知识点
　　一、行列式的定义和性质
　　1.余子式和代数余子式的定义　2.行列式按一行或一列展开的公式
　　1）
　　2）
　　3.行列式的性质
　　1）　2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论　　3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论　　4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.　　5）行列式可以按任一行（列）拆开.　　6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.
　　二、行列式的计算
　　1.二阶行列式和三角形行列式的计算.　　2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.　　3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.　　4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.　　5.范德蒙行列式的计算公式
　　真题解析
　　例1 行列式第二行第一列元素的代数余子式A21（　）
　　A.-2　　　　　　　　　　B.-1　　C.1　　　　　　　 D.2　　答案 B
　　测试点 余子式和代数余子式的概念
　　解析 ,
　　例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为-1,2,3对应的余子式分别为-3,-2,1则此行列式的值为　　　.　　测试点 行列式按行（列）展开的定理
　　解
　　例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,-3,2，第二列元素的余子式为2,3,4,x 问x=　　　.　　测试点 行列式的任意一行（列）与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为零.　　解 因为第二列元素的余子式为2,3,4,x,故第二列元素的代数余子式为-2,3,-4,x　　因第一列的元素为1,4,-3,2，故1×（-2）+4×3+（-3） ×（-4）+2x=0
　　所以x=-11
　　例4 设多项式则f（x）的常数项为 【　】
　　A.4　　　　　B.1　　　　　C.-1　　　　　D. -4　　答案 A
　　测试点 行列式按一行展开的定理　　解 行列式按第一行展开得
　　f（x）=（-1）A12+xA13
　　故其常数项为
　　例5 已知，那么（　）
　　A.-24　　　　　　　　　　B.-12　　C.-6　　　　　　　　　 　D.12　　答案 B
　　测试点 行列式的性质
　　解析
　　例6 设行列式=1，=2，则=（　）
　　A.-3　　　　　　　　　　　B.-1　　C.1　　　　　　 D.3　　故应选 D
　　测试点 行列式的性质
　　解
　　例7 已知3阶行列式则　　　.　　答案：36d.
　　测试点 行列式的性质
　　解
　　例8 若aibi≠0，i=1,2,3,则行列式=_____________.
　　测试点 行列式的性质
　　解
　　例9 设A为3阶方阵，且已知则（　）
　　A.-1　　　B.　　　C.　　　D.1　　答案 B
　　测试点 方阵行列式的性质
　　解 　　所以.
　　例10 计算行列式D=的值.
　　测试点 行列式的计算
　　解 D=
　　例11 求4阶行列式的值.
　　测试点 行列式的计算
　　解
　　例12 计算3阶行列式
　　[答疑编号118010112：针对该题提问]

『正确答案』

　　例13 计算4阶行列式：的值.

『正确答案』

　　例14 计算行列式：
　　测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.
　　解
　　例15 计算行列式
　　测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算
　　解
　　例16 计算行列式

『正确答案』

　　扩展

　　例17 设
　　问（1）D（x）中，x3项的系数＝？
　　（2）方程D（x）=0有几个根？试写出所有的根。
　　测试点 1.范德蒙行列式的判别和计算公式；　2.行列式按行（列）展开的定理.
　　解（1）x3项的系数
　　（2）因为
所以方程D（x）=0有三个根: x1=2， x2=3，x3=4　　第一章的重点是行列式的性质和计算。
第二章 矩阵
主要知识点
　　一、矩阵的概念
　　1.要分清矩阵与行列式的区别　2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）
　　　二、矩阵的运算
　　1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件　2.矩阵运算的性质
　　比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）
　　重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.

　　3.转置 对称阵和反对称阵
　　1）转置的性质　　
　　2）若A T=A （AT= - A），则称A为对称（反对称）阵
　　4.逆矩阵
　　1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，
　　.
　　2）方阵A的伴随阵的定义。重要公式；与A -1的关系　（当方阵A可逆时，）
　　3）重要结论：若 n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.
　　4）逆矩阵的性质：
　　; ; .
　　5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。（若不知A可逆，
　　仅知A≠0结论不一定成立。）
　　5.方阵的行列式

　　6.分快矩阵　　矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置

　　三、矩阵的初等变换和初等矩阵
　　1.初等变换的定义和性质
　　方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）
　　初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A化为标准形，其中r为矩阵A的秩.
　　2.初等矩阵的定义和性质
　　1）初等矩阵的定义　2） 初等变换和矩阵乘法之间的关系　　3）对任意m×n阶矩阵A，总存在一系列m阶初等阵和一系列n阶初等阵使得
　　四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法
　　五、矩阵方程的标准形及解的公式　
　　真题解析
　　例1设矩阵A=（1,2），， ，则下列矩阵运算中有意义的是（　）　A.ACB 　　B.ABC　C.BAC 　　D.CAB

『正确答案』B
　　测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件

　　例2若，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是（　）　　A.ABC 　　B.AC TBT　　C.CBA 　　D.C TBTAT
　　例3设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（　）
　　A.A+AT 　　B.A-AT　　C.AAT　　　D.ATA

『正确答案』B
　　测试点 1.对称阵和反对称阵的定义A T=A（AT=-A），则称A为对称阵（反对称阵）

　　2.转置的性质：
　　例4设A为 n阶方阵，为实数，则=（　）　

『正确答案』C
　　测试点 矩阵数乘的定义和行列式的性质

　　例5设A为 n阶方阵，令方阵B=A+AT，则必有（　）
　　A.BT=B 　　B.B=2A　　C.BT=-B　　D.B=0

『正确答案』A

　　例6设矩阵A,B,C为同阶方阵，则（ABC）T=（　）
　　A.ATBTCT 　　B.CTBTAT　C.CTATBT 　　D.ATCTBT

『正确答案』B
　　测试点:转置的反序性

　　例7设矩阵，，则A+2B =_____________.

『正确答案』
　　测试点: 矩阵运算的定义
　　解 .

　　例8设矩阵，，则ATB=____________.

『正确答案』
　　测试点: 矩阵运算的定义
　　解

　　例9设3阶矩阵A的行列式,则【　】
　　A.4 　　B.1　　C.-1 　　D.-4

『正确答案』D
　　测试点 矩阵的数乘的定义和行列式的性质

　　例10设A,B为任意n阶矩阵,E为单位矩阵,O为n阶零矩阵,则下列
　　各式中正确的是 【　】
　　A.（A+B）（A-B）=A 2-B2 　　B.（AB）2=A2B2
　　C.（A+E）（A-E）=A 2-E　　　D.由AB=O必可推出A=O或B=O
『正确答案』C
　　测试点 矩阵乘法的性质,特别是没有交换律.

　　例11设2阶矩阵，则＝（　）

『正确答案』A
　　测试点 伴随矩阵的定义,二阶方阵的伴随阵

　　例12设3阶矩阵，则= _____________.
『正确答案』
　　测试点 重要公式.

　　13.设，则____________.
『正确答案』
　　测试点 伴随矩阵的概念；若A是n阶方阵，则.
　　解

　　例14矩阵的逆矩阵是（　）

　　[答疑编号118020114：针对该题提问]

『正确答案』C
　　测试点 1.二阶可逆阵的逆矩阵的公式;
　　　　　2.验证B是A的逆矩阵的方法.

　　例15设3阶矩阵，则 （A T）-1=_____________.
　　[答疑编号118020115：针对该题提问]

『正确答案』
　　测试点 1.逆矩阵的性质
　　2. 分块矩阵求逆矩阵的方法 例 设则
　　解
　　注意 要验算

　　例16设A为2阶可逆矩阵，且已知=，则A =（　）

　　[答疑编号118020116：针对该题提问]

『正确答案』D
　　测试点 逆矩阵的性质
　　解 由=,所以故

　　例17设A是3阶方阵，且则（　）
　　A.-2 　　B.
　　C.　　　D. 2
　　[答疑编号118020117：针对该题提问]

『正确答案』A
　　测试点 方阵行列式的性质.

　　例18已知A2-2A-8E=O则（A+E）-1_____________。
　　[答疑编号118020118：针对该题提问]

『正确答案』
　　测试点 关于逆矩阵的重要推论
　　若A,B都是n阶矩阵，且满足AB=E n则A,B都可逆，且A-1=B，B-1=A
　　解 由A2-2A-8E=O得A2+A-3A-3E-5E=0，即（A+E）（A-3E）=5E，
　　即，故

　　例19设n阶方阵A满足A m =O，其中m为正整数，证明E-A可逆，且

　　[答疑编号118020119：针对该题提问]

『正确答案』

　　例20下列矩阵中，是初等矩阵的为（　）

　　[答疑编号118020120：针对该题提问]

『正确答案』C
　　测试点 初等矩阵的定义

　　例21下列矩阵中不是初等矩阵的为（　）

　　[答疑编号118020121：针对该题提问]

『正确答案』D
　　测试点 初等矩阵的定义；矩阵的初等变换的定义
　　解析 因为，故A.是初等矩阵。
　　B 是单位矩阵经第三行加第一行的（-1）倍得到的，故也是初等矩阵，
　　C是单位矩阵的第二行乘以2所得，也是初等矩阵，
　　所以D 不是初等矩阵。

　　例22设矩阵则必有 （　）
　　A.P1P2A=B B.P2P1A=B
　　C.AP1P2=B D.AP2P1=B
　　[答疑编号118020122：针对该题提问]
　　答案 A
　　测试点 矩阵的初等变换和矩阵乘法之间的关系；初等方阵以及初等方阵的功能。
　　解 方阵是由经过两次初等行变换得到的，
　　（1）第一行的一倍加到第二行上，相应的初等方阵是；
　　（2）第一行和第二行两行互换，相应的初等方阵是
　　根据初等方阵的功能：用初等方阵左（右）乘矩阵A就等于对矩阵A做相应的初等行（列）变换.
　　故B=P 1P2A，所以
　　验算：
　　；

　　例23设矩阵，则A中（　）
　　A.所有2阶子式都不为零 　　B.所有2阶子式都为零
　　C.所有3阶子式都不为零 　　D.存在一个3阶子式不为零
　　[答疑编号118020123：针对该题提问]

『正确答案』D
　　测试点 矩阵的k阶子式的概念.

　　例24设矩阵，则行列式___________.
　　[答疑编号118020201：针对该题提问]

『正确答案』
　　测试点 方阵行列式的性质
　　解

　　例25设矩阵，矩阵，则矩阵B的秩=______________.
　　[答疑编号118020202：针对该题提问]

『正确答案』
　　测试点 矩阵秩的概念
　　解

　　例26设A是4×5矩阵，，则（　）
　　A. A中的4阶子式都不为0 　　B. A中存在不为0的4阶子式
　　C. A中的3阶子式都不为0 　　D. A中存在不为0的3阶子式
　　[答疑编号118020203：针对该题提问]

『正确答案』D
　　测试点 矩阵秩的概念

　　例27设三阶矩阵,若存在初等矩阵P,使得
　　则 P=【　】

　　[答疑编号118020204：针对该题提问]

『正确答案』B
　　测试点 矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系

　　例28已知矩阵，E为2阶单位矩阵，令求B
　　[答疑编号118020205：针对该题提问]

『正确答案』
　　测试点 方阵多项式的概念;

　　例29设求
　　[答疑编号118020206：针对该题提问]
　　测试点 求逆矩阵的方法
　　解

　　所以
　　注意 一定要验算
　　例30设矩阵，，求矩阵方程XA=B的解X.
　　[答疑编号118020207：针对该题提问]

『正确答案』
　　测试点 解矩阵方程的方法
　　解
　　验算!

　　例31设A,B均为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵,且满足：.若已知求矩阵B.
　　[答疑编号118020208：针对该题提问]
　　测试点 解矩阵方程的方法
　　解 因为，故
　　从而，又
　　显然A-E可逆，应用消去律得
　　 .
　　验算

　　所以确有
　　例32 已知矩阵满足方程矩阵X满足方程AX+BX=D-C，求X。
　　[答疑编号118020209：针对该题提问]
　　测试点 求矩阵方程的解
　　解 由AX+BX=D-C得(A+B)X=D-C
　　故

　　验算
　　例33设矩阵，问 a为何值时，
　　（1）秩(A)=1；（2）秩(A)=2.
　　[答疑编号118020210：针对该题提问]

『正确答案』
　　测试点 求矩阵秩的方法
　　解
　　所以 当a=9时， 秩(A)=1；当a≠9时，秩(A)=2

　　例34证明：若A为3阶可逆的上三角矩阵，则也是上三角矩阵.
　　[答疑编号118020211：针对该题提问]
　　证 因为A为3阶可逆的上三角矩阵，设，
　　设，
　　其中
　　所以必为上三角矩阵， 命题得证
　　例35设A为 m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B=AC的秩为__________.
　　[答疑编号118020212：针对该题提问]

『正确答案』r

　　例36设令，试求.
　　[答疑编号118020213：针对该题提问]

『正确答案』
　　测试点 矩阵乘法的一个常用技巧
　　解 因为,所以

　　37.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（　）

　　[答疑编号118020214：针对该题提问]

『正确答案』B
　　测试点 矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价.
　　解 因为A,C,D的矩阵的秩都为1，B的矩阵的秩等于2.故答案应为B.

　　例38设A是 n阶方阵，且，证明A可逆.
　　[答疑编号118020215：针对该题提问]

『正确答案』
　　测试点 若AB=E则A,B 都可逆,且
　　证 因为,即，所以
　　故A可逆，且.

　　例39设A,B都是n阶方阵，B≠0,AB=0.证明A是奇异阵.
　　[答疑编号118020216：针对该题提问]

『正确答案』
　　证明 应用反证法 假设A不是奇异阵，即A可逆，在AB=0的两边左乘,得B=0.这与已知B≠0矛盾.故A是奇异阵.
　　类似地,可知,若A≠0,AB=0 ,必有B是奇异阵.

　　第二章的内容较多，涉及到的概念，公式也多，考题比较细。但都很基本，所以只要全面复习，就一定能从容应对。
第三章　向量空间
　主要知识点
　　一、n维向量线性运算的定义和性质;
　　设是一组n维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数使得则称向量组线性相关。否则，称向量组线性无关。

　　二、n维向量组的线性相关性
　　1.向量组的线性相关性的定义和关于线性相关的几个定理;
　　（1）m个n维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.
　　线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
　　（2） 如果向量组线性无关,而线性相关,则β可由线性表示,且表示法唯一.
　　（3） 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.（部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关）
　　（4） 若向量组线性无关,则接长向量组
　　必线性无关.
　　2.判断向量组的线性相关性的方法
　　（1）一个向量α线性相关；
　　（2）含有零向量的向量组必线性相关；
　　（3）向量个数＝向量维数时，n维向量组线性相关
　　；
　　（4）向量个数 >向量维数时, 向量组必线性相关；
　　（5） 若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；
　　（6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；
　　（7）向量组线性无关向量组的秩＝所含向量的个数 ，
　　向量组线性相关向量组的秩<所含向量的个数；
　　（8）向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组

　　有（没有）非零解.

　　三、向量组的极大无关组及秩
　　1.极大无关组的定义
　　2.向量组的秩 求向量组的秩和极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法

　　四、子空间的定义，,基、维数、向量在一组基下的坐标

　　真题解析
　　例1.已知其中，
　　则____________.
　　[答疑编号118030101：针对该题提问]
　　答案 .
　　测试点 n维向量线性运算的定义和性质
　　解 因为,所以

　　故 （请验算）
　　例2.若向量组线性相关，则实数 （　）
　　A.0 　　B.1
　　C.2 　　D.3
　　[答疑编号118030102：针对该题提问]

『正确答案』B
　　测试点 n个n维向量线性相关相应的行列式=0;
　　解

　　例3.若向量组线性无关,则a的取值应满足 .
　　[答疑编号118030103：针对该题提问]

『正确答案』a≠0且 a≠2.
　　测试点 n个n维向量线性无关相应的行列式≠0;
　　解
　　所以 a≠0且 a≠2.

　　例4.设向量则β由线性表出的表示式为_____________.
　　[答疑编号118030104：针对该题提问]
　　答案
　　测试点 向量由向量组线性表示;组合系数的求法
　　解 考虑
　　该线性方程组的增广矩阵

　　所以
　　例5.矩阵的行向量组的秩=____________.
　　[答疑编号118030105：针对该题提问]

『正确答案』2
　　测试点 矩阵的秩;向量组的秩之间的关系;

　　例6.设向量组线性相关，则必可推出（　）
　　A. 中至少有一个向量为零向量
　　B. 中至少有两个向量成比例
　　C. 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
　　D. 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
　　[答疑编号118030106：针对该题提问]

『正确答案』C
　　测试点 向量组线性相关的概念

　　例7.向量组线性无关的充分条件是
　　A. 都不是零向量
　　B. 中任意两个向量都不成比例
　　C. 中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合
　　D. 中任意个向量都线性无关
　　[答疑编号118030107：针对该题提问]
　　答案 C
　　测试点 向量组线性相关的概念; 充分条件;必要条件;充分必要条件.
　　解 对于选项A： 都不是零向量,但线性相关.
　　对于选项B、D： 中任意两个向量都不成比例,且其中任意3-1=2个向量都线性无关,但线性相关.
　　故A,B,D都不正确.
　　例8.设向量，下列命题中正确的是（　）
　　A.若线性相关，则必有线性相关
　　B.若线性无关，则必有线性无关
　　C.若线性相关，则必有线性无关
　　D.若线性无关，则必有线性相关
　　[答疑编号118030108：针对该题提问]

『正确答案』B

　　例9设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为（　）
　　A.1 　　B.2
　　C.3 　　D.4
　　[答疑编号118030109：针对该题提问]
　　答案 C
　　测试点 （1）向量组的秩的概念；（2）向量由向量组线性表示的概念 （3）向量组线性相关和线性无关的概念
　　解 因为可以表为的线性组合，且表示法惟一，必有线性无关,因为

　　于是有，故线性无关，又可以表为的线性组合，所以为向量组的一个极大无关组，故向量组的秩为3.
　　例10向量空间为实数}的维数为_______________.
　　[答疑编号118030110：针对该题提问]

『正确答案』2
　　测试点 向量空间维数的概念
　　解 容易看出是V的一个基。

　　例11已知向量组是的一组基，则向量在这组基下的坐标是____________.
　　[答疑编号118030111：针对该题提问]
　　答案 (3,2,1).
　　测试点 向量在一组基下的坐标
　　解 考虑
　　该线性方程组的增广矩阵为

　　得
　　所以在这组基下的坐标是(3,2,1) （即）
　　例12设向量组
　　（1）求向量组的秩和一个极大线性无关组；
　　[答疑编号118030112：针对该题提问]
　　（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。
　　[答疑编号118030113：针对该题提问]
　　测试点 求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法
　　解
　　所以原向量组的秩为3， 为所求的极大无关组。.
　　例13.设向量组线性无关，证明向量组也线性无关.
　　[答疑编号118030114：针对该题提问]
　　测试点 向量组线性无关的定义; 任意矩阵用可逆矩阵左（右）乘以后,其秩不变;向量组A能用向量组B线性表示与矩阵乘法的关系.

　　因为线性无关,故,所以只能.
　　这表明若，必有 .据向量组线性无关的定义，知也线性无关.
　　例14.设向量组线性无关，而向量组线性相关。证明：向量必可表为的线性组合。
　　测试点 关于线性相关性的几个定理

　　测试点 线性相关性的定义

　　因为向量组线性无关，必须且只需

　　所以当n为奇数时，D=2≠0，齐次方程组（1）只有零解，没有非零解，故向量组线性无关.
　　反之，若当n为偶数时，D=0 ，齐次方程组（1）有非零解，故向量组线性相关；
　　所以若线性无关，必有n为奇数。
　　综合以上两方面知向量组线性无关的充要条件是n为奇数.
　　例16.设向量组线性无关，且.证明：若≠0，则向量组也线性无关.
　　证1 不妨设都是列向量，则

　　因为线性无关，故矩阵的秩等于3，又因为
　　，故矩阵可逆，所以矩阵的秩也等于3，
　　故向量组的秩也是3，所以向量组也线性无关。

　　所以该方程组只有零解，没有非零解，这表明为使（1）式成立，必须且只需，
　　即向量组线性无关. 证毕.
　　第三章的重点是向量组的线性相关性，特别是如何求向量组的极大无关组。
第四章　线性方程组
一、线性方程组的三种表示方法

　　二、齐次线性方程组
　　1.齐次方程组解的性质
　　设α,β都是Ax＝0的解，则C1α＋C2β也是Ax＝0的解（C1，C2为任意常数）
　　2.齐次方程组有非零解的条件
　　1）齐次方程组AX＝0有非零解的充分必要条件是r（A）＜未知数的个数（即矩阵A的列数）.
　　2）n个未知数n个方程的齐次方程组AX＝0有非零解的充分必要条件是|A|＝0.
　　3）设A是m×n阶矩阵.若m＜n，则齐次方程组AX＝0必有非零解.（这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要）
　　3.齐次方程组解的结构
　　1）齐次方程组AX＝0的基础解系的概念
　　重要结论:齐次方程组AX＝0的任意n－r（A）个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；
　　2）齐次方程组AX＝0的基础解系的求法
　　3）齐次方程组AX＝0的通解公式

　　三、非齐次方程组
　　1.非齐次方程组解的性质
　　（1）设η1,η2都是Ax＝b的解，则η1－η2是它的导出组Ax＝0的解.
　　（2）设η1,η2都是Ax＝b的解，则当k1＋k2＝1时，k1η1＋k2η2也是Ax＝b的解.
　　（3）设η是Ax＝b的一个解，是它的导出组Ax＝0的解,则是Ax＝b的解.
　　2.关于非齐次方程组解的讨论
　　定理：n个未知数，m个方程的线性方程组AX＝β中，（系数矩阵A是m×n阶矩阵）是增广矩阵.则
　　1）当且仅当（未知数的个数）时，方程组AX＝β有惟一解；
　　2）当且仅当（未知数的个数）时，方程组AX＝β有无穷多解；
　　3）当且仅当时，方程组AX＝β无解.
　　从以上定理可见
　　1）线性方程组AX＝β有解的充分必要条件是.
　　2）当线性方程组AX＝β方程的个数＝未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式|A|≠0.
　　3.非齐次方程组AX＝β的通解的结构

　　其中是方程AX＝β的一个特解，r＝r（A）为系数矩阵的秩，为它的导出组（与它对应的）齐次方程组AX＝0的基础解系；

　　真题解析
　　例1.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（　）
　　A.A的列向量组线性相关
　　B.A的列向量组线性无关
　　C.A的行向量组线性相关
　　D.A的行向量组线性无关
　　[答疑编号118040101：针对该题提问]

『正确答案』A
　　测试点：齐次方程组有非零解与列向量组线性相关的关系.

　　例2.设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充分必要条件是（　）
　　A.A的列向量组线性无关
　　B.A的列向量组线性相关
　　C.A的行向量组线性无关
　　D.A的行向量组线性相关
　　[答疑编号118040102：针对该题提问]

『正确答案』A
　　测试点：齐次方程组只有零解与列向量组线性无关的关系.

　　例3.设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax＝0只有零解，则矩阵A的秩r（A） ＝_____________.
　　[答疑编号118040103：针对该题提问]

『正确答案』 r（A） ＝3
　　测试点:1.齐次方程组只有零解的充分必要条件;2根据系数矩阵的阶数,确定方程的个数和未知数的个数.

　　例4.已知3元齐次线性方程组有非零解，则a＝_____________.
　　[答疑编号118040104：针对该题提问]

『正确答案』a＝2
　　解：
　　测试点：齐次方程组有非零解的充分必要条件

　　例5.若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为______________.
　　[答疑编号118040105：针对该题提问]

『正确答案』0
　　测试点：齐次方程组有非零解的充分必要条件

　　例6.3元齐次方程组的基础解系所含解向量的个数为______________.
　　[答疑编号118040106：针对该题提问]

『正确答案』1
　　解：因为齐次方程组的系数矩阵为的秩为2,未知数的个数为3,所以其基础解系含3－2＝1个解.
　　测试点：齐次方程组的基础解系 （定义;含几个解向量;求法）

　　例7.设3元非齐次线性方程组Ax＝b的两个解为，且系数矩阵A的秩r（A）＝2，则对于任意常数k,k1,k2 方程组的通解可表为（　）

　　[答疑编号118040107：针对该题提问]

『正确答案』C
　　测试点
　　1.非齐次线性方程组的通解的公式;
　　2.非齐次方程组解的性质
　　3.齐次方程组的基础解系的概念

　　例8.已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α1,α2是其导出组Ax＝0的一个基础解系，C1,C2为任意常数，则方程组Ax＝b的通解可以表为（　）

　　[答疑编号118040108：针对该题提问]

『正确答案』A

　　例9.已知η1,η2,η3,η4是齐次方程组Ax＝0的一个基础解系,则此方程组的基础解系还可以选用
　　A.η1＋η2, η2＋η3, η3＋η4 , η4＋η1
　　B.η1－η2, η2－η3, η3－η4 , η4－η1
　　C.与η1,η2,η3,η4等秩的向量组α1,α2,α3,α4
　　D.与η1,η2,η3,η4等价的向量组β1,β2,β3,β4
　　[答疑编号118040109：针对该题提问]

『正确答案』D
　　解:因为η1,η2,η3,η4是齐次方程组Ax＝0的一个基础解系,故η1,η2,η3,η4都是齐次方程组Ax＝0的解,因为β1,β2,β3,β4与η1,η2,η3,η4等价,故β1,β2,β3,β4能由η1,η2,η3,η4线性表示,故β1,β2,β3,β4也都是Ax＝0的解.又因为η1,η2,η3,η4线性无关,所以该向量组的秩=4,又因为等价的向量组有相等的秩,所以β1,β2,β3,β4的秩也等于4,所以β1,β2,β3,β4也线性无关.故β1,β2,β3,β4也是Ax＝0的基础解系.所以 D正确.
　　而
　　又
　　所以向量组η1＋η2, η2＋η3, η3＋η4 , η4＋η1的秩≤r（A）＝3,故向量组
　　η1＋η2, η2＋η3, η3＋η4 , η4＋η1线性相关,故它不是齐次方程组的基础解系.
　　类似的,可以说明B也不正确.
　　测试点：1.齐次方程组的基础解系 特别是若齐次方程组的一个基础解系含4个解,则它的任意4个线性无关的解都是它的基础解系;2.判断向量组线性无关的方法;3.等价的向量组有相等的秩;等价与等秩的区别4,齐次方程组解的性质.

　　例10.求齐次线性方程组的基础解系及通解.
　　[答疑编号118040110：针对该题提问]

『正确答案』
　　解：
　　取x1,x3,x4为约束未知数, x2,x5为自由未知数,
　　取为该齐次方程组的基础解系,该齐次方程组的通解为
　　测试点：求齐次方程组的基础解系和通解的方法

　　例11.已知x1＝（1,0,-1）T，x2＝（3,4,5）T,是3元非齐次线性方程组Ax＝b的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax＝0有一个非零解向量___________.
　　[答疑编号118040111：针对该题提问]

『正确答案』
　　解：
　　测试点：线性非齐次方程组解的性质

　　例12.设齐次线性方程Ax＝0有解，而非齐次线性方程且Ax＝b有解η,则是方程组__________的解。
　　[答疑编号118040112：针对该题提问]

『正确答案』Ax＝b
　　测试点：线性方程组解的性质

　　例13.已知某个3元非齐次线性方程组Ax＝b的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为____________.
　　[答疑编号118040113：针对该题提问]

『正确答案』a＝0
　　解:当a＝0时,,故方程组无解.
　　测试点：1.增广矩阵经初等行变换变成,则以为增广矩阵的线性方程组与原方程组通解;
　　2.非齐次方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相等的秩

　　例14.已知一个4元非齐次线性方程组Ax＝b的增广矩阵经初等行变换化为

　　要使该方程组无解,则a,c的取值应分别满足____________.
　　[答疑编号118040114：针对该题提问]

『正确答案』a＝1，c≠-1.
　　测试点：与上题一样.

　　例15.求线性方程组的通解.
　　[答疑编号118040115：针对该题提问]

『正确答案』
　　解:
　　取x1,x2为约束未知数,x3为自由未知数.
　　取为方程组的一个特解,为它的导出组的基础解系,
　　故原方程的通解为（C为任意数）.
　　测试点：求非齐次方程组的通解

　　例16.设3元非齐次线性方程组
　　（1）试判定当a,b为何值时,方程组有无穷多个解?
　　（2）当方程组有无穷多解时,求出其通解（要求用它的一个特解和它导出组的基础解系表示）.
　　[答疑编号118040116：针对该题提问]

『正确答案』

　　所以，当b≠2即b－2≠0时,方程组无解;
　　当b＝2，a≠1即b－2＝0，a－1≠0时方程组有惟一解;
　　当b＝2，a＝1即b－2＝0，a－1＝0时,方程组有无穷多解.这时
　　取x1,x2为约束未知数,x3为自由未知数,取为方程组的特解,
　　为其导出组的基础解系.故方程组的通解为
　　.
　　测试点：线性方程组的讨论

　　例17.给定线性方程组

　　（1）问a为何值时，方程组有无穷多个解；
　　（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.
　　[答疑编号