第2章习题解.doc

新 概 念 力 学 习 题 解
第二章 动量守衡 质点动力学

2-1 一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为9.22×10-16g×cm/s的电子，同时该核在垂直方向上又放出一个动量为5.33×10-16g×cm/s的中微子，问蜕变后原子核的动量的大小和方向。
解: 衰变过程是: ，由动量守衡得
大小：
.
方向: ； , .

2-2 质量为M的木块静止在光滑的水平桌面上。质量为m，速率为v0的子弹水平地入射到木块内(见本题图)并与它一起运动。求 (1)子弹相对于木块静止后，木块的速率和动量，以及子弹的动量；(2)在此过程中子弹施于木块的冲量。
解:(1)设木块的速率为v, 由动量守衡: ；
得， 木块的动量，子弹的动量.
(2)子弹施予木块的冲量为 .

2-3 如本题图，已知绳的最大强度T0 = 1.00 kg，m = 500g, l = 30.0cm，开始时m静止。水平冲量I等于多大才能把绳子打断？
解: 要求向心力，即要求，.
故

2-4 一子弹水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木块。木块的质量分别为m1和m2；设子弹透过两木块的时间间隔为t1和t2，子弹在木块中所受阻力为恒力f，求子弹穿过时两木块各以多大的速度运动.
解: 当子弹穿出m1时, m1与 m2一起运动, 故 ; .
当子弹穿出m2时, ，解得 .

2-5 质量70kg的渔人站在小船上，设船和渔人的总质量为200kg．若渔人在船上向船头走4.0m后停止。试问：以岸为参考系，渔人走了多远？
解: 设人向右走,对岸速度为v人 , 相对船的速度为u人 , 船向左行,对岸的速度为v船 ;
则v人 = -v船+u人 .
水平方向动量守恒 : ｍ船v船 - ｍ人(-v船 + u人) = (ｍ船 +ｍ人)v船-ｍ人u人 = 0.
两边积分得:.
由此可得 (对岸)
(对岸).

2-6 两艘船依惯性在静止湖面上以匀速相向运动，它们的速率皆为6.0m/s．当两船擦肩相遇时，将甲船上的货物都搬上乙船，甲船的速率未变，而乙船的速率变为4.0m/s．设甲船空载质量为50kg，货物质量为60kg，求乙船质量。
解: 已知 m甲=500 kg , m货= 60 kg, v甲0= v乙0= v0 = 6.0 m/s , v乙= 4.0 m/s；待求：m乙 。
忽略水中阻力,两船作为一个系统,其 动量守衡. 即:
(m甲+ m货)v0 - m乙v0 = m甲v0 - ( m乙+m货) v ；
.

2-7 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速率均为v．由中间那只船上同时以水平速率M(相对于船)把两质量均为m的物体分别抛到前后两只船上。求此后三只船的速率。
解: 设、、分别为前、中、后三船的待求速度. u与v同向时为正, 反之为负. 由水平方向的动量守衡定律,有:
前: ,
中: ,
后: ;
可推出: = , = , = .
∵的正方向与同向,∴三船的速率分别为:
, , .

2-8 一质量为M的有轨板车上有n个人，各人质量均为m．开始时板车静止。(1) 若所有人一起跑到车的一端跳离车子，设离车前它们相对于车子的速度为u，求跳离后车子的速度；(2) 若n个人一个接一个地跳离车子，每人跳离前相对于车子的速度皆为u，求车子最后速度的表达式；(3)在上述两种情况中，何者车子获得的速度较大？
解: (1) 人跳离后车子的速度为v，由水平方向的动量守恒得:
, 即 (1)
(2) 第一人跳:，得 (2)
第二人跳:
得 (3)

最后一个人跳: ,由此可得
(4)
这是车子最后速度的表达式.
(3) 比较(1)式和(4)式, 显然有. 即一个接一个地跳(第二种情况)比集体跳,能使车子最后获得更大的动能.

2-9 一炮弹以速率v0和仰角q0发射，到达弹道的最高点时炸为质量相等的两块 (见本题图)，其中一块以速率v1铅垂下落，求另一块的速率v2及速度与水平方向的夹角 (忽略空气阻力)。
解: 炮弹在最高点时,.
在爆炸瞬间,内力>>重力，即外力可忽略不计，故此时动量守衡：
.
即 ，或 .
∴ 。

2-10 求每分钟射出240发子弹的机枪平均反冲力，假定每粒子弹的质量为10g，枪口速度为900m/s。
解: 设平均反冲力为 = 射击时所需的平均力, 则机枪的动量变化为
子弹的动量变化 = 240 mv – 0 = 240 mv ,
.
2-11 一起始质量为M0的火箭以恒定率 |dM/dt | = u 排出燃烧过的燃料，排料相对于火箭的速率为v0．(a) 计算火箭从发射台竖直向上起动时的初始加速度；(b) 如果v0=2000m/s，则对于一个质量为100 t 的这种火箭，要给以等于0.5g的向上初始加速度，每秒钟必须排出多少kg的燃料？
解: (1) 仿照书上p.50的推导,可得火箭经过dt时间后动量的改变为
, 由此可得 .
在发射台附近, M=M0 , , F = M0g , ; ,
则有: , .
(2) 由上述式子可见 .

2-12 一个三级火箭，各级质量如下表所示，不考虑重力，火箭的初速为0．
级别
发射总质量
燃料质量
燃料外壳质量
一级
60 t
40 t
10 t
二级
10 t
20/3 t
7/3 t
三级
11 t
2/3 t

(1)若燃料相对于火箭喷出速率为u=2500m/s，每级燃料外壳在燃料用完时将脱离火箭主体。设外壳脱离主体时相对于主体的速度为0，只有当下一级火箭发动后，才将上一级的外壳甩在后边。求第三级火箭的最终速率；
(2)若把48t燃料放在12t的外壳里组成一级火箭，问火箭最终速率是多少。
解: (1) p.50的 (2.10)式可写成
对第一级火箭: .
对第二级火箭: .
对第三级火箭:.
(2 ).

2-13 一宇宙飞船以恒速v在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以dm/dt的速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为u，方向与v相反，在时刻t飞船的总质量为M(t)，试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？
解: 由动量定理得:

两边求导得: .
∵要求飞船匀速, 即 , 的方向相反, 以为正向, 则，
即 为向前的推力（此式的v、u为绝对值）.

2-14 一水平传送带将沙子从一处运送到另一处，沙子经一垂直的静止漏斗落到传送带上，传送带以恒定速率v运动着(见本题图)。忽略机件各部位的摩擦。若沙子落到传送带上的速率是dm／dt ，试问：
(1)要保持传送带以恒定速率v运动，水平总推力F多大？
(2)若整个装置是：漏斗中的沙子落进以匀v在平直光滑轨道上运动的货车里(见本题图b)，以上问题的答案改变吗？
解: (1) 在水平方向上, 由动量定理得:
，
两边求导得 .
即要求传送带以匀速运动时,水平总推力为 (向前)
(2) 光滑水平直轨道上,若没有沙子漏入,则只启动时用力,以后不用力,车子以匀速v前进.现在沙子进来,也要保持匀速,便需用力了.因为车子越来越重, 用力公式同上；
即沙子持续进来,便要持续施力 ,问题的答案不改变.

2-15 一质量为m的质点在x-y平面上运动，其位矢为 r = a coswt i+b sinwt j，求质点受力的情况。
解: , 轨迹为的椭圆. 又，
.
质点受力 ，恒指向原点.

2-16 如本题图所示，一质量为mA的木块A放在光滑的水平桌面上，A上放置质量为mB的另一木块B，A与B之间的摩擦系数为m，现施水平力推A，问推力至少为多大时才能使A、B之间发生相对运动。
解: 对B: ,；得 .
对A: ,得 .
当 时, A,B 之间发生相对运动, 即要求.

2-17 如本题图所示，质量为m2的三角形木块，放在光滑的水平面上，另一质量为m1的立方木块放在斜面上。如果接触面的摩擦可以忽略，两物体的加速度各若干？
解: 对m1: , 对m 2 : ;
又由运动学关系:
, , 解得 ;
代入运算最后得 ;

2-18 在桌上有一质量m1的木板。板上放一质量为m2的物体。设板与桌面间的摩擦系数为m1，物体与板面间的摩擦系数为m2，欲将木板从物体下抽出，至少要用多大的力？
解: ; .
又 , , 且要求 ;
由此得 .

2-19 设斜面的倾角q是可以改变的，而底边不变。求(1)若摩擦系数为m，写出物体自斜面顶端从静止滑到底端的时间，与倾角q 的关系，(2)若斜面倾角q1= 60°与q2 = 45°时，物体下滑的时间间隔相同，求摩擦系数m．
解: (1)摩擦力,由运动方程,得.
此外由 , 可得 .
(2) 又由 ,
可得

2-20 本题图中各悬挂物体的质量分别为：m1=3.0kg, m2=2.0kg, m3=1.0kg．求m1下降的加速度。忽略悬挂线和滑轮的质量、轴承摩擦和阻力，线不可伸长。
解: 各悬挂物体的运动方程分别为：
, , ;
运动学关系: , （其中a’为m2 , m3相对于滑轮的加违度）;
由此可得:.

2-21 在本题图所示装置中，m1与m2及m2与斜面之间的摩擦系数都为m，设m1>m2，斜面的倾角q 可以变动。求q 至少为多大时m1、m2才开始运动。略去滑轮和线的质量及轴承的摩擦，线不可伸长。
解: m2、m2和斜面之间的摩擦力分别为 ,;
m2、m2的运动方程为 , .
由此可解出
要求m2、m2开始运动，相当于要求; 由上式可得 .

2-22 如本题图所示装置，已知质量m1、m2和m3，设所有表面都是光滑的，略去绳和滑轮质量和轴承摩擦。求施加多大水平力F才能使m3不升不降。
解: 运动方程为 , , ;
由此可得 .

2-23 如本题图所示，将质量为m的小球用细线挂在倾角为q 的光滑斜面上。求 (1) 若斜面以加速度a沿图示方向运动时，求细线的张力及小球对斜面的正压力；(2) 当加速度a取何值时，小球刚可以离开斜面？
解: (1) 小球沿水平方向加速，表明作用于其上外力的垂直方向分量为零，即, 又小球水平方向的运动方程为.
联立解上述两方程得 , .
(2) 小球刚可以离开斜面，表明此时 N = 0 ; 由上述第二式可得 .

2-24 一辆汽车驶入曲率半径为R的弯道。弯道倾斜一角度q ，轮胎与路面之间的摩擦系数为m．求汽车在路面上不作侧向滑动时的最大和最小速率。
解: 车子驶慢时, 就有侧向下滑的趋势，最小速率vmin应与向心力和最大摩擦力有关，相应的式子为: , , ;
由此解得 .
车子驶快时,就有侧向往上滑的趋势，最大速率vmax应与向心力和最大摩擦力，相关的式子为: , , ;
联立解得 .

2-25 质量为m的环套在绳上，m相对绳以加速度a’下落。求环与绳间的摩擦力。图中M、m为已知。略去绳与滑轮间的摩擦，绳不可伸长。
解: 按题意摩擦力与绳的张力相等，于是有
, ;
由此解得

2-26 升降机中水平桌上有一质量为m的物体A，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也为m的物体B相连。当升降机以加速度a = g/2上升时，机内的人和地面上的人将观察到A、B两物体的加速度分别是多少？(略去各种摩擦，线轻且不可伸长。)
解: (1) 从机内看: , ; 由此解得 .
(2)从地面上的人看:
对A 有 , ;
对B 有 , .
总之, 有 , .

2-27 如本题图所示，一根长l的细棒，可绕其端点在竖直平面内运动，棒的一端有质量为m的质点固定于其上。(1)试分析，在顶点A处质点速率取何值，才能使棒对它的作用力为0? (2) 假定m = 500 g, l = 50.0 cm，质点以均匀速度v = 40 cm/s运动，求它在B点时棒对它的切向和法向的作用力。
解: (1) 由运动方程 , 可知, 若要 ; 则必须 .
(2) 由运动方程 , 可知, 切向力和法向力为

2-28 一条均匀的绳子，质量为m，长度为l，将它拴在转轴上，以角速度w 旋转，试证明：略去重力时，绳中的张力分布为，式中r为到转轴的距离。
解: 在r处的张力T等于从r到l这一段绳子作圆周运动所需的向心力, 对dr这一段,所需向心力为: ;
积分之可得, 绳中的张力分布为 .

2-29 在顶角为2a 的光滑圆锥面的顶点上, 系一劲度系数为k的轻弹簧，下坠一质量为m的物体，绕锥面的轴线旋转。试求出使物体离开锥面的角速度w 和此时弹簧的伸长。
解: 当物体对锥面的正压力 N = 0时，物体离开桌面。此时物体的运动方程和所受的力分
别为 , , 和.
由此可得 , .

2-30 抛物线形弯管的表面光滑，可绕铅直轴以匀角速率转动。抛物线方程为y = ax2，a为常数。小环套于弯管上。求 (1) 弯管角速度多大，小环可在管上任意位置相对弯管静止。(2) 若为圆形光滑弯管，情形如何？
解: (1) 小环的受力和运动方程为
, ,
(式中Ｎ为弯管对小环的正压力，θ为弯管切线与ｘ轴的夹角) ;
由此解得 .
(2) 由上述运动方程可见，相对弯管静止的位置（平衡位置）应满足关系
, 即 .
对于轨迹为 的圆，有 ; 代入上式得
. 由此可见，不存在与ｙ（或ｘ）无关的平衡点。

2-31 在加速系中分析2—25题。
解: 以加速的考绳子作为参系，则Ｍ除受重力Mg和绳子的张力（等于ｍ和绳的摩察力）fr外，还受到惯性力-Ma的作用，因Ｍ相对静业，故其平衡方程为 ; 此外，ｍ受到重力mg、摩擦力fr和惯性力-ma的作用，获得的相对加速度为a’，故其运动方程为 ; 由此可解得与2-25题同样的结果：

2-32在加速系中分析2—26题。
解: 从机内看，存在惯性力，故运动方程为： , ; 由此解得 .

2-33在加速系中分析2—30题。
解: 在转动系中，存在惯性离心力 ，小环相对静止，由合力为零即可求得同样的结果。

2-34 列车在北纬30°自南向北沿直线行驶，速率为90 km/h，其中一车厢重50 t。问哪一边铁轨将受到车轮的旁压力。该车厢作用于铁轨的旁压力等于多少？
解: 由科里奥利力公式, 知此力作用在铁轨的东边﹔大小为