第九课时诱导公式（一）.doc

第九课时 诱导公式（一）
教学目标：
理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明，培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
教学重点：
理解并掌握诱导公式.
教学难点：
诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式.
教学过程：
学习三角函数定义时，我们强调P是任意角α终边上非顶点的任意一点，至于α是多大的角，多小的角并不知道，那么由三角函数的定义可知：终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到公式一：
sin（k·360°＋α）＝sinα
cos（k·360°＋α）＝cosα
tan（k·360°＋α）＝tanα，(k∈Z）
公式的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.下面我们来看几个例子.
［例1］求下列三角函数的值.
(1)sin1480°10′ （2）cos （3）tan（－）
解：(1）sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）＝sin40°10′＝0．6451
(2)cos＝cos（＋2π）＝cos＝
(3)tan（－）＝tan（－2π）＝tan＝.
［例2］化简
利用同角三角函数关系公式脱掉根号是解决此题的关键，即
原式＝
＝＝＝cos80°
利用这组公式可以将求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.
初中我们学习了锐角三角函数，任意一个锐角的三角函数值我们都能求得，但90°到3600角的三角函数值，我们还是不会求，要想求出其值，我们还得继续去寻求办法：看能不能把它转化成锐角三角函数，我们来研究这个问题.
下面我们再来研究任意角α与－α的三角函数之间的关系，任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′，因为这两个角的终边关于x轴对称，所以点P′的坐标是（x，－y），由正弦函数、余弦函数的定义可得.
sinα＝y cosα＝x
sin（－α）＝－y cos（－α）＝x
所以sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα
则tan（－α）＝＝－tanα
于是得到一组公式(公式二)：
sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα
下面由学生推导公式三：
sin（180°－α）＝sinα
cos（180°－α）＝－cosα
tan（180°－α）＝－tanα
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y），由于角180°＋α的终边就是角α的反向延长线，所以角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称，由此可知，点P′的坐标是（－x，－y)，由正弦函数、余弦函数的定义可得：
sinα＝y，cosα＝x，sin（180°＋α）＝－y，cos（180°＋α）＝－x
∴sin（180°＋α）＝－sinα
cos（180°＋α）＝－cosα tan（180°＋α）＝tanα
于是我们得到一组公式(公式四)：
sin（180°＋α）＝－sinα
cos（180°＋α）＝－cosα
tan（180°＋α）＝tanα
分析这几组公式，它有如下的特点：
1.－α、180°－α、180°＋α的三角函数都化成了α的同名三角函数.
2.前面的“＋”“－”号是把看作锐角时原函数的符号.即把α看作锐角时，180°＋α是第三象限角，第三象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第三象限角的余弦是负值，等号右边放“－”号；把α看作锐角时，－α是第四象限角，第四象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第四象限角的余弦是正值，等号右边放“＋”号.
这也就是说，－α、180°－α、180°＋α的三角函数都等于α的同名三角函数且前面放上把α看作锐角时原函数的符号，可以简记为：
函数名不变，正负看象限
下面我们来看几个例子.
［例3］求下列三角函数值
(1)cos225° （2）sinπ
解：(1)cos225°＝cos（180°＋45°）＝－cos45°＝－；
(2)sinπ＝sin（π＋）＝－sin＝－sin18°＝－0．3090.(sin18°的值系查表所得)
［例4］求下列三角函数值
(1)sin（－） （2）cos（－240°12′）
解：(1)sin（－）＝－sin＝－；
(2)cos（－240°12′）＝cos240°12′＝cos（180°＋60°12′）
＝－cos60°12′＝－0．4970
［例5］化简
解：原式＝＝＝1
课堂练习：
课本P21练习1、2、3.
课时小结：
本节课我们学习了公式一～四，这几组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的，为了记牢公式，我们总结出了“函数名不变，正负看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多练习，以便掌握得更好，运用得更自如.
课后作业：
课本P24练习13、16、17.

诱导公式（一）
1．sin(－π)的值等于 （ ）
A. B.－ C. D.－
2．若cos165°＝a，则tan195°等于 （ ）
A. － B. － C. D.
3．已知cos(π＋θ)＝－，则tan(θ－9π)的值 （ ）
A.± B. C.± D.－
4．已知sin（π－α）＝log8，且α∈(－，0)，则tanα的值是 （ ）
A. B.－ C.± D. －
5．下列不等式中，不成立的是 （ ）
A.sin130°＞sin140° B.cos130°＞cos140°
C.tan130°＞tan140° D.cot130°＞cot140°
6．求：的值.

7．求下列各三角函数值.
（1）sin（－π） （2）sin（－1200°）
（3）tan(－π) (4)tan(－855°)
（5）cosπ (6)cos(－945°)

8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值.

诱导公式（一）答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．C 6．－
7．求下列各三角函数值.
（1）sin（－π） （2）sin（－1200°）
（3）tan(－π) (4)tan(－855°)
（5）cosπ (6)cos(－945°)
分析：求三角函数值的步骤为：①利用诱导公式三将负角的三角函数变为正角的三角函数.②利用诱导公式一化为0°到360°间的角的三角函数. ③进一步转化成锐角三角函数.
解:（1）sin（－π）＝－sinπ
＝－sin(4π＋π)＝－sinπ＝－sin（π＋）＝sin＝
(2)sin(－1200°)＝－sin1200°
＝－sin(3·360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－
(3)tan(－π)＝－tanπ
＝－tan(22π＋π－)＝－tan(π－)＝tan＝
(4)tan(－855°)＝－tan855°
＝－tan(2·360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1
(5)cosπ＝cos(4π＋)
＝cos＝cos(π－)＝－.
(6)cos(－945°)＝cos945°＝cos(2·360°+225°)
＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－.
8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值.
分析：依据已知条件求出cosθ，进而求得tan(10π－θ)的值.
解：由已知条件得
cos(θ－π)＝－，cos(π－θ)＝－，
∴cosθ＝ ∵π＜θ＜2π，
∴＜θ＜2π ∴ tanθ＝－
∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tanθ＝

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