(试题附答案)高中数学第七章复数题型总结及解题方法.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第七章复数题型总结及解题方法（精选试题附答案）高中数学第七章复数题型总结及解题方法 单选题 1、若复数53i的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上（）A=2By+12 C=|D=22 1 答案：D 分析：将复数化为zabi 的形式即可求出A，将A的坐标代入选项的函数验证即可.因为53i=5(3+i)(3i)(3+i)3212i，所以a32，b12，所以A(12,32)，把点A的坐标分别代入选项，只有 D 选项满足.故选：D.2、已知=2+i，则i1+i=（）A1 2iB2+2iC2iD2i 答案：D 分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由=2+i，得=2 i，所以i1+i=2ii1+i=2(1i)(1i)(1+i)(1i)=2(12i+i2)2=2i.故选：D.3、已知z=x+yi，x，yR，i是虚数单位.若复数1+i是实数，则|z|的最小值为（）A0B52C5D2 答案：D 分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.解：复数1+=(+)(1)(1+)(1)+=+(+2)2是实数 +2=0 故=+2|=2+2=(+2)2+2=22+4+4=2(+1)2+2 2 当且仅当=1,=1时取等号|的最小值为2 故选：D 4、若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是1=1+3i和2=1 3i，则这个一元二次方程可以是（）.A2 2+2=0B2 2+4=0C32 2+1D2+2+4=0 答案：B 分析：设方程为2+=0(0)，根据韦达定理分别将,用表示，即可得出答案.解：设方程为2+=0(0)，则1+2=2，所以=2，12=4，所以=4，则方程为(2 2+4)=0(0)，故只有 B 选项符合题意.故选：B.5、已知复数=2 3i，若 (+i)是纯虚数，则实数=（）A23B23C32D32 答案：D 分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.解：(+i)=(2+3i)(+i)=2 3+(3+2)i是纯虚数，则2 3=03+2 0，解得=32.故选：D.6、设 ，则“=2”是“复数=(+2i)(1+i)为纯虚数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案：C 分析：求出=(+2i)(1+i)为纯虚数时的值，与=2比较，判断出结果 =(+2i)(1+i)=2+(+2)i，复数=(+2i)(1+i)为纯虚数，则 2=0，解得：=2，所以则“=2”是“复数=(+2i)(1+i)为纯虚数”的充要条件 故选：C 7、在复平面内,复数2i13i对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：A 分析：根据复数的运算法则，求得2i13i=12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.由题意，复数2i13i=(2i)(1+3i)(13i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，所以该复数在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限.故选：A.8、已知复数=2i20171+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：A 分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案 复数=2i20171+i=2i1+i=(2i)(1i)(1i)(1+i)=13i2=1232i，则=12+32i 所以复数在复平面内对应的点的坐标为(12,32)，位于复平面内的第一象限.故选：A 9、欧拉公式=cos+sin(为自然底数，为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数2在复平面内对应点所在的象限是（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：B 分析：根据欧拉公式有2=cos2+sin2，判断cos2,sin2即可确定2对应点所在象限.由题意知：2=cos2+sin2，而2 2 ，cos2 0，故2对应点在第二象限.故选：B 10、已知i是虚数单位，若=i+1+i为纯虚数，则实数=（）A1B1C2D2 答案：B 分析：由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解 因为=i+1+i=(+i)(1i)(1+i)(1i)=i+ii22=+12+12i为纯虚数，所以+12=012 0，=1 故选：B 填空题 11、复数sin1 cos1的辐角主值是_ 答案：1+32 分析：根据题意，结合复数的三角形式即可求解.由cos(32+1)=sin1，sin(32+1)=cos1，得sin1 cos1=cos(32+1)+isin(32+1)，因此复数sin1 cos1的辐角主值为1+32.所以答案是：1+32.12、若非零复数,满足2+2=0，则(+)2020+(+)2020的值是_.答案：1 分析：由题设有=13i2、+1=()2易得()3=1，同理()3=1，而+=，+=，由此可知(+)2020+(+)2020=+，即可求值.由题设有：()2+1=0，解得=13i2，且+1=()2，()3=1，即()3=1，同理有()3=1，+=(+)(+)2=2+2+2+2，+=(+)(+)2=2+2+2+2，又2+2=0，+=2=，+=2=，(+)2020+(+)2020=()2020+()2020=()3673+1+()3673+1=+=1，所以答案是：1.13、复数z满足(1 i)=2i（i为虚数单位），则的虚部为_.答案：1 分析：根据复数的运算法则直接求出 Z，然后求可得.因为=2i1i=2i(1+i)(1i)(1+i)=i(1+i)=1+i，所以=1 i 所以的虚部为1 所以答案是：1.14、已知复数z满足|=1，则|2|（其中i是虚数单位）的最小值为_.答案：1 分析：复数满足|=1(为虚数单位），设=cos+sin，0，2)利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出 解：复数满足|=1(为虚数单位），设=cos+sin，0，2)则|2|=|cos+(sin 2)|=2+(sin 2)2=5 4sin 1，当且仅当sin=1时取等号 所以答案是：1 小提示：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 15、已知复数满足|=1，则|+2 2|的最大值为_.答案：22+1 分析：利用复数的几何意义求解.解：因为复数满足|=1，所以复数所对应的点在以原点为圆心，以 1 为半径的圆上，而|+2 2|表示圆上的点到点（-2，2）的距离，圆心到点（-2，2）的距离为22，所以|+2 2|的最大值为22+1，所以答案是：22+1 解答题 16、已知O为坐标原点，向量1 2 分别对应复数1，2，且1=3+5+(10 2)i，2=21+(2 5)i()，若1+2是实数.(1)求实数a的值；(2)求以12为邻边的平行四边形的面积.答案：(1)=3(2)118 分析：（1）由已知结合1+2为实数求得的值，（2）求得1、2 对应的点的坐标，再由1 2 的值计算夹角的正余弦，则可求面积（1）由1=3+5+(10 2)i，得 1=3+5(10 2)i，则1+2=3+5+21+(2 10)+(2 5)i的虚部为 0，2+2 15=0 解得：=5或=3 又 +5 0，=3（2）由（1）可知1=38+i，2=1+i 1=(38，1)，2=(1,1)1 2=58所以cos1,2 =5873642=5146，所以sin1,2 =11146，所以以12为邻边的平行四边形的面积=|1|2|sin1,2 =118 17、已知复数满足|=1，且2 2+2 =0()，求负实数的值.答案：=152 解析：设=cos+isin,，代入2 2+2 =0()，得到：(cos )2 sin2=,()=0.求解a，即得解.设=cos+isin,.因为2 2+2 =0，所以(cos+sin)2 2(cos+sin)+2 =0，则(cos )2 sin2=,()=0.当cos=时，sin2=，由sin2+cos2=1，解得=152；当sin=0时，则(1 )2=或(1+)2=，因为 0，所以此时无解.综上所述，=152.小提示：本题考查了复数的三角形式及四则运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于较难题.18、把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3 3i；（2）2 2i.答案：（1）3 3i=23(cos116+isin116)（2）2 2i=2(cos74+isin74)解析：（1）先根据模公式=2+2 求出模来，再根据其对应的点是(3,3)在第四象限，求出arg(3 3i)=116，最后写成三角形式.（2）先根据模公式=2+2 求出模来，再根据其对应的点是(2,2)在第四象限，求出arg(2 2i)=74，最后写成三角形式.（1）=32+(3)2=23.因为与3 3i对应的点在第四象限，所以arg(3 3i)=116，所以3 3i=23(cos116+isin116).（2）=(2)2+(2)2=2.因为与2 2i对应的点在第四象限，所以arg(2 2i)=74，所以2 2i=2(cos74+isin74).小提示：本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.19、已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+2i，2+i，1 2i，求第四个顶点所对应的复数 答案：2 i 分析：根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可 设复数1+2i，2+i，1 2i对应的点分别为,则(1,2)，(2,1)，(1,2)，所以=(3,1),=(1,3)，所以 =3+3=0，所以=90 设第四个点为(,)，则按照,的顺序才能构成正方形，所以=，即(3，1)=(1 ，2 )即1 =32 =1，解得=2=1，则(2,1)，对应的复数为2 i，所以答案是：2 i