2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必须掌握的典型题.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必须掌年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必须掌握的典型题握的典型题 单选题 1、若正实数,，满足+=1，则3+3的最小值为（）A2B26C5D43 答案：C 分析：化简3+3=3+3+3=3+3+3，然后利用基本不等式求解即可 根据题意，若正实数,，满足+=1，则3+3=3+3+3=3+3+3 233+3=5，当且仅当=3=34时等号成立，即3+3的最小值为 5；故选：C 小提示：此题考查基本不等式的应用，属于基础题 2、若()2 4成立的一个充分不必要条件是1+12 0，则实数a的取值范围为（）A(,4B1,4C(1,4)D(1,4 答案：D 分析：解一元二次不等式分式不等式求得题设条件为真时对应的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.由()2 4，可得：2 +2；由1+12=32 0，则(2)(3)02 0，可得2 3；()2 3，可得1 1，则+41的最小值是（）A5B6C32D22 答案：A 分析：由于 1，所以 1 0，则+41=(1)+41+1，然后利用基本不等式可求出其最小值 由于 1，所以 1 0 所以+41=1+41+1 2(1)4(1)+1=5，当且仅当 1=41，即=3时取等号.故选：A.4、已知xR，则“(2)(3)0成立”是“|2|+|3|=1成立”的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要 答案：C 分析：先证充分性，由（2）(3）0 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|2|+|3|即可，再证必要性，若|2|+|3|=1，即|2|+|3|=|（2）（3）|，再根据绝对值的性质可知（2）(3）0 充分性：若（2）(3）0，则 2x3，|2|+|3|=2+3 =1，必要性：若|2|+|3|=1，又|（2）（3）|=1，|2|+|3|=|（2）（3）|，由绝对值的性质：若ab0，则|+|=|，（2）(3）0，所以“（2）(3）0成立”是“|2|+|3|=1成立”的充要条件，故选：C 5、设,为实数，且 0 ，则下列不等式正确的是（）A2 B D 0 答案：D 分析：题目考察不等式的性质，A 选项不等式两边同乘负数要变号；B,C 选项可以通过举反例排除；D 选项根据已知条件变形可得 已知 0 ,对各选项逐一判断：选项 A：因为0 ,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得2 0,0 ,所以 ,即 0,所以选项 D 正确.故选：D.6、已知=2，=7 3，=6 2，则，的大小关系为（）A B C D 答案：B 分析：通过作差法，=2+3 7，确定符号，排除 D 选项；通过作差法，=22 6，确定符号，排除 C 选项；通过作差法，=(7+2)(6+3)，确定符号，排除 A 选项；由 =2+3 7，且(2+3)2=5+26 7，故 ；由 =22 6且(22)2=8 6，故 ；=(7+2)(6+3)且(6+3)2=9+218 9+214=(7+2)2，故 .所以 ，故选：B.7、设，为正数，且+=2，则4+1+1+1的最小值为（）A134B94C74D95 答案：B 分析：将+=2拼凑为+14+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.+=2，(+1)+(+1)=4，即+14+14=1，4+1+1+1=(4+1+1+1)(+14+14)=+1+1+14(+1)+54 2+1+1+14(+1)+54=94，当且仅当+1+1=+14(+1)，且+=2时，即 =53，=13时等号成立.故选：B.8、已知 0，0，且+=2，则下列结论中正确的是（）A2+2有最小值 4B有最小值 1 C2+2有最大值 4D+有最小值 4 答案：A 分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可 解：0，0，且+=2，对于 A，2+2=12(+)(2+2)=2+2+2=4，当且仅当=1时取等号，所以 A 正确，对于 B，因为2=+2，所以 1，当且仅当=1时取等号，即有最大值 1，所以 B 错误，对于 C，因为2+2 22 2=22+=4，当且仅当=1时取等号，即2+2有最小值 4，所以 C错误，对于 D，因为(+)2=+2 2(+)=4，当且仅当=1时取等号，即+有最大值4，所以 D 错误，故选：A 9、不等式32 2 0的解集是（）A|23 1 B|1 23 C|23 或 1D|1 或 23 答案：C 分析：利用一元二次不等式的解法求解即可 解：32 2=(3+2)(1)0 解得：23或 1.故选：C.10、若 53，则3+435的最小值为（）A7B43C9D23 答案：C 分析：利用基本不等式即可求解.解：53，3 5 0，则3+435=(3 5)+435+5 2(3 5)435+5=9，当且仅当3 5=2时，等号成立，故3+435的最小值为9，故选：C 11、已知 0，0，若+4=4，则+的最小值是（）A2B2+1C94D52 答案：C 分析：将+4=4，转化为1+4=4，由+=14(+)(1+4)=14(5+4)，利用基本不等式求解.因为+4=4，所以1+4=4，所以+=14(+)(1+4)=14(5+4)，14(5+24)=94，当且仅当1+4=4=4，即=32=34 时，等号成立，故选：C 12、已知正实数,满足4+1+1=1，则+2的最小值为（）A6B8C10D12 答案：B 分析：令+2=+1 1，用+1分别乘4+1+1=1两边再用均值不等式求解即可.因为4+1+1=1，且,为正实数 所以+1=(+1)(4+1+1)=4+1+4(+1)+1 5+2+14(+1)+=9，当且仅当+1=4(+1)+即=+2时等号成立.所以+2+1 9,+2 8.故选：B.双空题 13、若 0，则+1的最小值为_，此时=_ 答案：2 1 分析：由基本不等式可得 因为 0，所以+1 2 1=2，当且仅当=1，即=1时等号成立 所以答案是：2；1 14、若正数、满足+=2，则的最大值为_；1+4的最小值为_.答案：1 92 解析：利用基本不等式可求得的最大值，将代数式+2与1+4相乘，展开后利用基本不等式可求得1+4的最小值.由于正数、满足+=2，由基本不等式可得+2，即 (+2)2=1，当且仅当=1时，等号成立，即的最大值为1；1+4=12(+)(1+4)=12(5+4)12(5+24)=92.当且仅当=2时，等号成立，即1+4的最小值为92.所以答案是：1；92.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、已知正数x，y满足+2=3，则当=_时，+的最小值是_ 答案：12 1 分析：首先根据正数x,y满足+2=3，得到=231 0，求得 13，之后对式子进行变形+=231+=4231，令=3 1换元，将式子化简求得+=19(4+1+5)，之后利用基本不等式求得结果.正数x,y满足+2=3，所以=231 0，可得 13，所以+=231+=4231，令=3 1则=1+3且 0，+=4(+13)2+13=42+5+19=19(4+1+5)19(5+24 1)=1,当且仅当4=1即=12，此时=12取最小值 1，所以答案是：12；1.小提示：该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，属于简单题目.16、已知54，则函数=4+14-5当=_时，函数有最小值为_ 答案：32#1.5 7 分析：由54，得4-50，利用基本不等式即得.54，4-50，=4+14-5=(4-5)+14-5+52+5=7，当且仅当4-5=14-5，即=32时等号成立.所以答案是：32；7.17、已知，+，当(+2)=1时，的最大值为_，+2的最小值为_.答案：12 2 分析：利用基本不等式求解即可，由于(+2)=1 ()(22)，从而可求出的最大值，由于(+2)=12 2 (+2)12(+2)(+22)2，从而可求出+2的最小值(+2)=1 ()(22)，解得 12，等号当且仅当=1，=12时成立；(+2)=12 2 (+2)12(+2)(+22)2，所以(+2)3 8，进而+2 2，等号当且仅当=1，=12时成立.所以答案是：12，2 小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 解答题 18、一批救灾物资随51辆汽车从某市以km/h的速度匀速直达灾区已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2800km，那么这批物资全部到达灾区最少需要多长时间？答案：最少需要10小时 分析：计算出全程所需时间，利用基本不等式可求得结果.当最后一辆车子出发时，第一辆车子走了502800=16小时，最后一辆车走完全程共需要400小时，所以一共需要16+400小时，由基本不等式16+400 216400=10，当且仅当16=400，即=80时等号成立，故最少需要10小时 19、求下列函数的最值（1）求函数=2+21(1)的最小值.（2）若正数，满足+3=5，求3+4的最小值.答案：（1）2+23；（2）5.分析：（1）化为=(1)+31+2，再根据基本不等式可求出结果；（2）化为3+4=35+125+135，再根据基本不等式可求出结果.（1）=(1)2+2(1)+31=(1)+31+2 23+2，当且仅当(1)2=3即=3+1时等号成立，故函数的最小值为2+23.（2）由+3=5得15+35=1，则3+4=(3+4)(15+35)=35+125+135135+23625=5，当且仅当125=35,即=12，=1时等号成立，故3+4的最小值为 5.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20、汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘察测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：m）与车速（单位：km h）之间分别有如下关系：甲=0.1+0.012，乙=0.05+0.0052.问：甲、乙两车有无超速现象？答案：甲车没超速，乙车超速 分析：分别解不等式甲=0.1+0.012 10，即可得出结论.由甲=0.1+0.012 12可得2+10 1200 0，解得0 10可得2+10 2000 0，解得 40，所以，甲车没超速，乙车超速.