通用版2023高中数学导数及其应用基础知识手册.pdf

1 (每日一练每日一练)通用版通用版 20232023 高中数学导数及其应用基础知识手册高中数学导数及其应用基础知识手册 单选题 1、如图所示，函数=()的图象在点处的切线方程是=+5,则(3)+(3)=（）A12B1C2D0 答案：B 解析：由导数的几何意义得出(3)，再求(3)+(3).由题中图象知(3)=3+5=2，由导数的几何意义知(3)=1，(3)+(3)=2 1=1 故选：B 2、已知函数()为偶函数，当 0的解析式，根据条件求()=2的点，再求点到直线的距离的最小值.当 0，0，因为函数是偶函数，所以()=()=ln 3，设点(2,2)，(2)=12 3=2，解得：2=1，2=3，此时点到直线=2+1的距离2=|231|5=25，因为2 1，所以曲线=()上的点到直线=2+1的最小距离为2=255.故选：B 3、函数yx2cos 2x的导数为（）Ay2xcos 2xx2sin 2x By2xcos 2x2x2sin 2x Cyx2cos 2x2xsin 2x Dy2xcos 2x2x2sin 2x 答案：B 解析：利用复合函数的导数运算法则计算即可 y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x 故选：B 3 解答题 4、已知函数()=322+（1）若=0，求曲线=()在点(1,(1)处的切线方程；（2）若()在=1处取得极值，求()的单调区间，以及其最大值与最小值 答案：（1）4+5=0；（2）函数()的增区间为(,1)、(4,+)，单调递减区间为(1,4)，最大值为1，最小值为14.解析：（1）求出(1)、(1)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由(1)=0可求得实数的值，然后利用导数分析函数()的单调性与极值，由此可得出结果.（1）当=0时，()=322，则()=2(3)3，(1)=1，(1)=4，此时，曲线=()在点(1,(1)处的切线方程为 1=4(1)，即4+5=0；（2）因为()=322+，则()=2(2+)2(32)(2+)2=2(23)(2+)2，由题意可得(1)=2(4)(+1)2=0，解得=4，故()=322+4，()=2(+1)(4)(2+4)2，列表如下：(,1)1(1,4)4(4,+)()+0 0+()增 极大值 减 极小值 增 所以，函数()的增区间为(,1)、(4,+)，单调递减区间为(1,4).当 0；当 32时，()0，得 12或 12；令()0，得12 0或(1)14或 14时，(1)=14 0,(12)=+14 0,(12)=14 0,(1)=+14 0，又(4)=643+3+=4(1 162)0，由零点存在性定理知()在(4,1)上存在唯一一个零点0，即()在(,1)上存在唯一一个零点，在(1,+)上不存在零点，此时()不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；当 14时，(1)=14 0,(12)=+14 0,(12)=14 0,(1)=+14 0，由零点存在性定理知()在(1,4)上存在唯一一个零点0，即()在(1,+)上存在唯一一个零点，在(,1)上不存在零点，此时()不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；综上，()所有零点的绝对值都不大于 1.方法二【最优解】：设0是()的一个零点，且|0|1，则=03+340 从而()=334 03+340=(0)(2+0+0234)令()=2+0+0234，由判别式=02 4(0234)=3 302 0，可知()=0在 R 上有解，()的对称轴是=02 12,12(1)=1+0+0234=(0+12)2 0(1)=1 0+0234=(012)2 0，所以()在区间1,02上有一根为1，在区间02,1上有一根为2，进而有|1|1,|2|1，所以()的所有零点的绝对值均不大于 1 方法三：设0是函数()的一个绝对值不大于 1 的零点，且=03+340,|0|1设()=3+34，则()=32+34，显然()在区间(1,12)内单调递减，在区间(12,12)内单调递增，在区间(12,1)内单调递减又(1)=14,(1)=14,(12)=14,(12)=14，于是()的值域为14,14 设1为函数()的零点，则必有()=13341+=0，于是14 =13+34114，所以413 31 1=(1 1)(21+1)2 0,413 31+1=(1+1)(21 1)2 0,解得1 1 1，即|1|1 综上，()的所有零点的绝对值都不大于 1 方法四：由（1）知，()=334+,()=3234，令()=0，得=12或=12则()在区间(,12)内6 递增，在区间(12,12)内递减，在区间(12,+)内递增，所以()的极大值为(12)=+14=(1),()的极小值为(12)=14=(1)（）若(12)(12)0，即 14或 1，不满足题意；（）若(12)(12)=0，即=14或=14，()有两个零点，不妨设一个零点为0=12，显然有|0|1，此时，()=334 14，则(1)=0，另一个零点为 1，满足题意；同理，若一个零点为0=12，则另一个零点为1（）若(12)(12)0，即14 0，(1)1 由|1|1,|2|1,12+12+22=22(1222+12+1)=22(12+12)2+34，得12+12+2234与22+12+1234=0矛盾，假设不成立 所以，()所有零点的绝对值都不大于 1【整体点评】（2）方法一：先通过研究函数的单调性，得出零点可能所在区间，再根据反证法思想即可推出矛盾，是通性7 通法；方法二：利用零点的定义以及零点存在性定理即可求出，是本题的最优解；方法三：利用零点的定义结合题意求出的范围，然后再由零点定义以及的范围即可求出所有零点的范围，从而证出；方法四：由函数的单调性讨论极大值极小值的符号，得出的范围，再结合零点存在性定理即可证出；方法五：设函数的一个零点为1，满足|1|1，再设另一个零点为2，通过零点定义找到1,2的关系，再根据一元二次方程存在解的条件以及反证法即可推出矛盾，从而证出