全国高中数学联赛试题及解析 苏教版5.doc

1985年全国高中数学联赛试题
第一试
1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分)
⑴ 假定有两个命题：
甲：a是大于0的实数；乙：a>b且a－1>b－1．那么( )
A．甲是乙的充分而不必要条件 B．甲是乙的必要而不充分条件
C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
⑵PQ为经过抛物线y2=2px焦点的任一弦，MN为PQ在准线l上的射影，PQ绕l一周所得的旋转面面积为S1，以MN为直径的球面积为S2，则下面结论中，正确的是( )
A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1≥S2 D．有时S1>S2，有时S1=S2，有时S1<S2
⑶ 已知方程arccos－arccos(－)=arcsinx，则( )
A．x= B．x=－ C．x=0 D．这样的x不存在．
⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(m≠0，n≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是( )
⑸ 设Z、W、λ为复数，|λ|≠1，关于Z的方程－λZ=W有下面四个结论：
Ⅰ．Z=是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解；
Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )
A．只有Ⅰ、Ⅱ正确 B．只有Ⅰ、Ⅲ正确 C．只有Ⅰ、Ⅳ正确 D．以上A、B、C都不正确
⑹ 设0<a<1，若x1=a，x2=a，x3=a，…，xn=a，……，则数列{xn}( )
A．是递增的 B．是递减的 C．奇数项递增，偶数项递减 D．偶数项递增，奇数项递减
二．填空题(本题满分24分，每小题6分)
⑴ 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若角A、B、C的大小成等比数列，且b2－a2=ac，则角B的弧度为等于 ．
⑵ 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非负整数解共有 组．
⑶ 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 ．
⑷ 对任意实数x，y，定义运算x*y为x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数都有x*d=x，则d= ．
第二试
(本试共有4题，每题满分15分)
1．在直角坐标系xoy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的坐标均为一位的正整数．OA与x轴正方向的夹角大于45°，OB与x轴正方向的夹角小于45°，B在x轴上的射影为B¢，A在y轴上的射影为A¢，△OBB¢的面积比△OAA¢的面积大33.5，由x1，y1，x2，y2组成的四位数=x1∙103+x2∙102+y2∙10+y1．试求出所有这样的四位数，并写出求解过程．
2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2．求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角．
3．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．
4．平面上任给5个点，以λ表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：λ≥2sin54°．
1985年全国高中数学联赛试题
第一试
1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分)
⑴ 假定有两个命题：
甲：a是大于0的实数；乙：a>b且a－1>b－1．那么( )
A．甲是乙的充分而不必要条件 B．甲是乙的必要而不充分条件
C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解：由于a>b且a－1>b－1成立时，必有a>0，b<0．故由乙可得甲，故选B
⑵PQ为经过抛物线y2=2px焦点的任一弦，MN为PQ在准线l上的射影，PQ绕l一周所得的旋转面面积为S1，以MN为直径的球面积为S2，则下面结论中，正确的是( )
A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1≥S2 D．有时S1>S2，有时S1=S2，有时S1<S2
解：设PQ与x轴夹角=θ，|PF|=ρ1，|QF|=ρ2，则|PM|=ρ1，|QN|=ρ2．
则S1=π(PM+QN)∙PQ=π(ρ1+ρ2)2，S2=π|MN|2=π(ρ1+ρ2)2sin2θ．
∴ S1≥S2，当且仅当θ=90°时等号成立．选C．
⑶ 已知方程arccos－arccos(－)=arcsinx，则( )
A．x= B．x=－ C．x=0 D．这样的x不存在．
解：即arcsinx=2 arccos－π．设arccos=θ，则cosθ=，sinθ=．
∴ sin2θ=2sinθcosθ=．即2θ为锐角．∴2θ－π<－．故选D．
⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程与 (m≠0，n≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是( )
解：由y2=－x，若m、n均为正数，则此抛物线开口向左，且mx2+ny2=1表示椭圆，m<n，||<1．
此时抛物线与直线y=－x的交点横坐标应>－1．故否定B、D．
若m、n符号相反，则抛物线开口向右．且mx+ny2=0图形是双曲线，m<0，n>0，m=－n．故选A．
⑸ 设Z、W、λ为复数，|λ|≠1，关于Z的方程－λZ=W有下面四个结论：
Ⅰ．Z=是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解；
Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )
A．只有Ⅰ、Ⅱ正确 B．只有Ⅰ、Ⅲ正确 C．只有Ⅰ、Ⅳ正确 D．以上A、B、C都不正确
解：原式两端取共轭：Z－=，乘以λ再取共轭：－|l|2Z=W，相加，由|l|≠1，得方程有唯一解Z=．选A．
⑹ 设0<a<1，若x1=a，x2=a，x3=a，…，xn=a，……，则数列{xn}( )
A．是递增的 B．是递减的 C．奇数项递增，偶数项递减 D．偶数项递增，奇数项递减
解：作y=ax的图象，在图象上取点x1，x2，x3，x4，由0<a<1，知x1<x3<x2，即A、B错，C正确．选C．
二．填空题(本题满分24分，每小题6分)
⑴ 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若角A、B、C的大小成等比数列，且b2－a2=ac，则角B的弧度为等于 ．
解：由余弦定理，b2－a2=c2－2accosB．故ac=c2－2accosB．即a=c－2acosB．ÞsinA=sin(A+B)－2sinAcosB.=sin(B－A)．
∴ 由b>a，得B>A．ÞA=B－A，ÞB=2A，C=4A．
或A+B－A=π(不可能)
∴ B=π．
⑵ 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非负整数解共有 组．
解：x1=1时，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1，共有9解；
x1=0时，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3，共有9+A+C=9+72+84=165解．
∴ 共有174解．
⑶ 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 ．
解：把这些数mod 11得1，4，－3，－1，5，－3，－1，3，－3，－1．
依次累加，得：1，5，2，1，6，3，2，5，2，1．其中相等的和有7对(3对1，3对2，1对5)，这表示原数列中共有7组相邻数之和能被11整除．
⑷ 对任意实数x，y，定义运算x*y为x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数都有x*d=x，则d= ．
解：ax+bd+cxd=x．取x=0，代入得，bd=0，但d≠0，故b=0
a+2b+2c=3，2a+3b+6c=4．Þa=5，c=－1．取x=1代入，得d=4．
经验算：x*y=5x－xy，对于一切x，有x*4=5x－4x=x成立．故d=4．
第二试
(本试共有4题，每题满分15分)
1．在直角坐标系xoy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的坐标均为一位的正整数．OA与x轴正方向的夹角大于45°，OB与x轴正方向的夹角小于45°，B在x轴上的射影为B¢，A在y轴上的射影为A¢，△OBB¢的面积比△OAA¢的面积大33.5，由x1，y1，x2，y2组成的四位数
=x1∙103+x2∙102+y2∙10+y1．试求出所有这样的四位数，并写出求解过程．
解：x2y2－x1y1=67．x1<y1，x2>y2．且x1，y1，x2，y2都是不超过10的正整数．
∴ x2y2>67，Þ x2y2=72或81．但x2>y2，故x2y2=91舍去．∴ x2y2=72．x2=9，y2=8．
∴ x1y1=72－67=5．Þx1=1，y1=5，∴ =1985．
2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2．求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角．
解：设AB=1，则BE=，A1F=，故B1E=，B1F=，EF=．
∴ S=·=．
而△B1EF在平面A1C1上的射影面积=．
∴ cosθ=，即所求角=arc cos．
又解：设平面B1EF与平面AD1交于FG，(G在AD上)，则由平面AD1∥平面BC1，得FG∥B1E．于是，延长GF、D1A1交于P，则P为截面与平面A1C1的公共点，故PB1为所求二面角的棱．AG=A1H=，A1P=，PB1=．
作GH⊥A1D1于H，则GH⊥平面A1C1．作HK⊥PB1，连GK．则∠GKH为所求二面角的平面角．
∵ HK∙PB1=A1B1∙HP．∴ HK=，tan∠GKH=．即所求角=arc tan．
3．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．
证明：用32个点表示这32个队，如果某两队比赛了一场，则在表示这两个队的点间连一条线．否则就不连线．
由于，这些队比赛场次最多30场，最少0场，共有31种情况，现除A城甲队外还有31个队，这31个队比赛场次互不相同，故这31个队比赛的场次恰好从0到30都有．就在表示每个队的点旁注上这队的比赛场次．
考虑比赛场次为30的队，这个队除自己与同城的队外，与不同城有队都进行了比赛，于是，它只可能与比赛0场的队同城；再考虑比赛29场的队，这个队除与同城队及比赛0场、1场(只赛1场的队已经与比赛30场的队赛过1场，故不再与其它队比赛)的队不比赛外，与其余各队都比赛，故它与比赛1场的队同城；依次类推，知比赛k场的队与比赛30－k场的队同城，这样，把各城都配对后，只有比赛15场的队没有与其余的队同城，故比赛15场的队就是A城乙队．即A城乙队比赛了15场．
4．平面上任给5个点，以λ表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：λ≥2sin54°．
证明 ⑴ 若此五点中有三点共线，例如A、B、C三点共线，不妨设B在A、C之间，则AB与BC必有一较大者．不妨设AB≥BC．则≥2>2sin54°．
⑵ 设此五点中无三点共线的情况．
① 若此五点的凸包为正五边形．则其五个内角都=108°．五点的连线只有两种长度：正五边形的边长与对角线，而此对角线与边长之比为2sin54°．
② 若此五点的凸包为凸五边形．则其五个内角中至少有一个内角≥108°．设∠EAB≥108°，且EA≥AB，则∠AEB≤36°，
∴= ≥=2cosE≥2cos36°=2sin54°．
③ 若此五点的凸包为凸四边形ABCD，点E在其内部，连AC，设点E在△ABC内部，则∠AEB、∠BEC、∠CEA中至少有一个角≥120°>108°，由上证可知，结论成立．
④ 若此五点的凸包为三角形ABC，则形内有两点D、E，则∠ADB、∠BDC、∠CDA中必有一个角≥120°，结论成立．
综上可知，结论成立．