三角函数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,高中数学必修4,教材分析与教学建议,第1页,数学教育方法关键是学生再创造.教师不应该把数学看成一个已经完成了形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而是应该创造适当条件，让学生在学习数学过程中，用自己体验，用自己思维方式，重新创造相关数学知识.,第2页,课堂教学内容组织主要形式为：,问题情境,学生活动,意义建构,回顾反思,数学理论,数学利用,第3页,三角函数,平面上向量（简称平面向量）,三角恒等变换,第4页,三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象主要数学模型，在数学和其它领域中含有主要作用在本模块中，学生将经过实例，逐步了解三角函数概念及其基本性质，认识三角函数与实际生活联络，体会三角函数在处理含有周期改变规律问题中作用,课标要求,第5页,向量是近代数学中主要和基本数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数一个工具，有着极其丰富实际背景在本模块中，学生将了解向量丰富实际背景，了解平面向量及其运算意义，能用向量语言和方法表述和处理数学和物理中一些问题，发展运算能力和处理实际问题能力,第6页,三角恒等变换在数学中有一定应用，同时有利于发展学生推理能力和运算能力在本模块中，学生将利用向量方法推导基本三角恒等变换公式，由此出发导出其它三角恒等变换公式，并能利用这些公式进行简单恒等变换，发展学生推理和运算能力,第7页,本章结构,内容和要求,本章内容定位,教学提议,第8页,第一章 三角函数（约16课时）,第9页,一、本章结构,弧度,周期现象,任意角,三角函数,三角函数线,同角三角函数关系,诱导公式,三角函数图象性质,综合利用,第10页,二、内容与要求,（1）任意角、弧度,了解任意角概念和弧度制，能进行弧度与角度互化,（2）三角函数,借助单位圆了解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义,第11页,二、内容与要求,借助单位圆中三角函数线推导出诱导公式（/2,正弦、余弦、正切），能画出,y,=sin,x,y,=cos,x,y,=tan,x,图象，了解三角函数周期性,借助图象了解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（-/2，/2）上性质（如单调性、最大和最小值、图象与,x,轴交点等）,第12页,了解同角三角函数基本关系式：sin2,x,+cos2,x,=1，sin,x,/cos,x,=tan,x,结合详细实例，了解,y,=,A,sin（,x,+,）实际意义；能借助计算器或计算机画出,y,=,A,sin（,x,+,）图象,观察参数,A,，,，,对函数图象改变影响,会用三角函数处理一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期改变现象主要函数模型,第13页,1引言,提供背景：,自然界广泛地存在着周期性现象，圆周上一点运动是一个简单又基本例子,提出问题：,用什么样数学模型来刻画周期性运动？,明确任务,：,建构这么数学模型,教学起点是,：,对周期性现象数学（分析）研究,教材定位是,：,展示对周期现象进行数学研究过程，即建构刻画周期性现象数学模型（思维）过程,三、本章内容定位,第14页,2教科书特点,苏教版教材把本章定位为“展示建构刻画周期性现象数学模型（思维）过程”，为了确保这个定位落实，或者说，作为定位详细表达，教材形成了鲜明特点,第15页,采取以问题链为线索展现方式,既然教材要展示“思维过程”，而思维是从问题开始，思维过程就是不停地提出问题，处理问题过程所以教材采取了以问题链展开展现方式注意提出问题步骤，注意问题间逻辑联络，强化目标（建构刻画周期性现象数学模型）指向作用,第16页,任意角三角函数概念无疑是本部分关键概念苏教版教材和其它教材一样是在讲了“任意角”、“弧度制”以后，经过对锐角三角函数考查后建立起任意角三角函数概念应该指出，尽管在建立三角函数概念程序上看起来是相同，只是在详细处理方法上有些“微妙“差异，可是不应该小看了这里差异，因为这些差异正是对教材不一样定位表现,案例：任意角三角函数,第17页,教材中,问题链,（1）720是怎样一个角？,（2）含有相同终边角彼此之间有什么关系？,（3）在本章引言中，我们用（,r,，,l,）表示点,P,，那么,r,，,l,与之间含有怎样关系？,（4）用怎样数学模型建立(,x,，,y,)与(,r,，)之间关系？,（5）怎样将锐角三角函数推广到任意角？,第18页,以“数学地研究”普通程序来组织、选取教学内容,实际问题,建立数学模型,数学模型进行研究,利用数学模型处理实际问题,第19页,教材充分发挥学习“函数”一章 经验在建构“刻画周期性现象数学模型”中作用，在结构上尽可能地与“函数”一章相同,为了突出“建构研究应用”这一根本，教材对传统教学内容做了“强干削枝”处理如抽出“三角变换”内容，另立一章；,把6种三角函数减为3种等等,意图：,首先能够让学生利用已经有经验，掌握学习主动权，发觉数学知识联络，加深对知识了解；另首先又突出了基本数学思想和数学地研究问题方法，有利于正确数学观念形成,第20页,突出周期性,本章研究对象是周期性现象，建构是“刻画周期性现象数学模型”，在教材中，突出了周期性，把它看成是教材出发点和归属,教材P4引言中“日出日落，寒来暑往等”,生活中摩天轮运动,圆周上点运动,“周而复始”,“周期现象”,“三角函数应用”,第21页,案例：三角函数性质,在很多教材中，总是经过作出三角函数图象，然后再由图象观察得到三角函数性质对此，苏教版教材做了不一样处理,第22页,已知,f,(1)3，,f,(37)?,“周而复始，重复出现”,x,y,O,4,2,5,8,1,3,第23页,对于 ，假如存在一个非零常数,T,，使得定义域内每一个,x,，都满足：,f,(,x,T,),f,(,x,)，则函数,f,(,x,)叫做周期函 数,T,叫做这个函数周期,函数,f,(,x,),x,y,O,4,2,5,8,第24页,x,y,O,4,2,5,注：,定义域向数轴两端无限延伸；,周期有没有数个,不是全部周期函数都有最小正周期,8,最小正,周期；,第25页,三角函数周期性：,f,(,x,)sin,x,f,(,x,)cos,x,f,(,x,)tan,x,tan(,k,)tan,，,k,Z,最小正周期：2,最小正周期：2,最小正周期：,第26页,T,4,T,4,T,4,T,例 求以下函数周期：,f,(,x,)sin,x,；,g,(,x,)sin(,x,)；,h,(,x,)2sin(,x,)；,f,(,x,),A,sin(,x,)，其中,A,0，,0,第27页,加强几何直观，强调形数结合思想,三角函数基础是几何中相同形和圆，而研究方法又主要是代数，所以三角函数集中地表达了形数结合思想，在代数和几何之间建立了初步联络,在本章中，充分渗透了数形结合思想,首先是以形助数，突出了几何直观对了解抽象数学概念作用,（1）,在三角函数及其性质学习中，注意充分发挥单位圆直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角三角函数，了解三角函数周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数图象,第28页,（2）经过角终边之间对称关系来研究诱导公式,（3）借助三角函数图象了解三角函数在一个周期上单调性、最大和最小值、图象与轴交点等性质；,另首先以数助形，比如应用三角函数周期性来简化函数图象作图,第29页,案例 诱导公式推导,提出问题：由三角函数定义能够知道：终边相同角同一三角函数值相等除此以外还有一些角，它们终边含有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间三角函数值之间含有什么样关系呢？,第30页,问题,终边位置关系,对称位置关系,三角函数值之间关系,诱导公式,第31页,四、教学提议,准确把握教学要求,（1）与过去教材相比，新教材强调了三角函数是一个“数学模型”,第32页,（2）与以往三角函数内容相比较，本章提出了对三角函数作为刻画现实世界数学模型认识要求，加强了对借助单位圆了解三角函数概念、性质，以及经过建立三角函数模型处理实际问题等内容,第33页,（3）“标准”删减了任意角余切、正割、余割，已知三角函数求角，反三角函数符号等内容,“标准”降低了对任意角概念，弧度制概念，同角三角函数基本关系式，诱导公式，三角函数奇偶性要求,第34页,这么处理，把重点放在使学生了解三角函数及其基本性质、体会三角函数在处理含有周期改变规律问题中作用上，而对一些细枝末节内容不再作过多要求,教课时应该把握好这种改变，遵照“标准”所要求内容和要求，不要随意补充已被删减知识点也不要引进那些繁琐、技巧性高变换题目,比如：求定义域、值域;,已知 sin,a,=,m,求其它三角函数值;,用诱导公式进行复杂变换问题等,第35页,（4）不过也不能放松基本技能训练，应该让学生记牢并熟练地使用诱导公式，同角三角函数关系式，能用五点法画出正（余）弦函数图象等，因为这是利用三角函数处理问题基础,第36页,注意从数学模型角度来认识三角函数，突出数学思想方法在数学模型建构中作用,（1）要突出数学模型思想教学中应该充分利用章引言提供情境，引导学生利用学习函数经验，自觉地参加建构刻画周期现象数学模型活动，使学生从学习之初就建立起从数学模型角度看三角函数意识，在此基础上，要充分注意利用三角函数模型处理实际问题教学，使学生经历利用三角函数模型描述周期现象、处理实际问题全过程,第37页,（2）要充分发挥形数结合思想方法在本章利用发挥单位圆、三角函数线、图象作用,第38页,（3）利用和深化函数思想方法,三角函数是学生在高中阶段系统学习又一个基本初等函数，教学中应该注意引导学生以数学l中学到研究,函数方法,为指导来学习本章知识，即在函数观点指导下，学习三角函数，这对深入了解三角函数概念，了解函数思想方法对提升学生在学习过程中数学思维水平都是十分主要,第39页,案例：用集合与对应函数观点看三角函数，这是一个“多对一”函数；用函数研究中基本问题（对应关系、定义域、值域、表示方法、图象，性质等）来了解学习三角函数进程；在讨论,y,=,A,sin(,x,+,)图象时，渗透函数变换与图象变换(平移、伸缩)关系（需要注意分寸）,第40页,以问题为中心，充分发挥理性思维在建构数学模型中作用,恰当地使用信息技术,第41页,案例：三角函数应用,第42页,例1在图中，点O为做简谐运动物体平衡位置，取向右方向为物体位移正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时,（1）求物体对平衡位置位移,x,(cm)和时间,t,(s)之间函数关系；,（2）求该物体在,t,5s时位置,用什么模型描述物体运动？,怎样确定模型中参数？,已知条件“物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时”怎样应用？,第43页,例1在图1中，点O为做简谐运动物体平衡位置，取向右方向为物体位移正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时,第44页,回顾说明：,注意简谐振动中振幅、周期、频率、初相意义；,本题难点在于初相确实定；,书写函数解析式时，需要依据自变量实际意义，书写定义域.,第45页,图2,例2如图2，某地一天从614时,温度改变曲线近似满足函数,y,A,sin(,x,),b,（1）求这一天该时段最大温差；,（2）写出这段曲线函数解析式,第46页,例3二分之一径为3m水轮如图3所表示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，假如当水轮上点P从水中出现（图中点P,0,）开始计算时间,（1）将点P距离水面高度z（m）表示为时间t(s)函数；,时刻t时，物体位于何处？,时刻t时，物体距离水面高度如,何计算？,怎样确定,？,第47页,第48页,（2）点P第一次抵达最高点大约要多少时间？,第49页,例4海水受日月引力，在一定时候发生涨落现象叫潮汐，普通早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋下面给出了某港口在某季节天天几个时刻水深,（1）选取一个三角函数来近似描述这个港口水深和时间,函数关系,，并给出在整点时水深近似数值(准确到0.001)；,第50页,为何是“12”？,为何是,=,0？,第51页,（2）一条货船吃水,深度,（船底与水面距离）为4m，安全条例要求最少要有1.5m安全间隙（船底与海底距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？,第52页,（2）一条货船吃水深度（船底与水面距离）为4m，安全条例要求最少要有1.5m安全间隙（船底与海底距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？,第53页,（3）,若船,吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m速度降低，那么该船在什么时间必须停顿卸货，将船驶向较深水域？,怎样求交点坐标？,第54页,三角函数作为描述现实世界中周期现象一个数学模型，能够用来研究很多问题，在刻画周期改变规律、预测未来等方面发挥着十分主要作用,详细，我们能够利用搜集到数据，作出对应“散点图”，经过观察散点图并进行函数拟合而取得详细函数模型，最终利用这个函数模型来处理对应实际问题,实际问题通常包括复杂数据所以往往需要使用,计算机或计算器,第55页,第二章 平面向量,（约12课时）,第56页,一、本章结构,平面向量,几何表示,向量运算,加法,数乘,数量积,向量应用,背景,符号表示,坐标表示,减法,第57页,二、内容和要求,（1）平面向量实际背景及基本概念,经过力和力分析等实例，了解向量实际背景，了解平面向量和向量相等含义，了解向量几何表示,第58页,二、内容和要求,（2）向量线性运算,经过实例，掌握向量加、减法运算，并了解其几何意义,经过实例，掌握向量数乘运算，并了解其几何意义，以及两个向量共线含义,了解向量线性运算性质及其几何意义,第59页,（3）平面向量基本定理及坐标表示,了解平面向量基本定理及其意义；,掌握平面向量正交分解及其坐标表示；,会用坐标表示平面向量加、减与数乘运算；,了解用坐标表示平面向量共线条件,了解向量非正交分解,第60页,（4）平面向量数量积,经过物理中“功”等实例，了解平面向量数量积含义及其物理意义；,体会平面向量数量积与向量投影关系；,掌握数量积坐标表示式，会进行平面向量数量积运算；,能利用数量积表示两个向量夹角，会用数量积判断两个平面向量垂直关系,了解向量投影概念（教材中链接）,线段定比分比及应用不作要求,第61页,（5）向量应用,经历用向量方法处理一些简单平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题过程，体会向量是一个处理几何问题、物理问题等工具，发展运算能力和处理实际问题能力,第62页,三、本章内容定位,对一个含有丰富几何背景与物理背景近代数学模型研究,（1）向量是含有深刻几何背景和物理背景数学模型.,第63页,三、本章内容定位,（2）向量是近代数学中主要、基本概念，也是一个基本主要数学工具,向量既是代数对象，又是几何对象,作为代数对象，向量能够运算；,作为几何对象，向量有方向，能够刻画直线、平面等几何对象；,第64页,向量有长度，能够刻画长度、面积、体积等几何度量问题；,向量由大小和方向两个原因确定：,大小反应了向量数特征，,方向反应了向量形特征,向量是集数形于一身数学概念，是数学中数形结合思想经典表达,第65页,三、本章内容定位,向量是抽象代数、线性代数、泛函分析中基本数学模型，是了解这些数学内容基础,第66页,三、本章内容定位,向量也是主要物理模型平面力场、平面位移场以及二者混合产生做功问题，都能够用向量空间来刻画和描述,向量不但沟通了代数与几何联络，而且，表达了近当代数学思想，它在高中数学中主要地位是不言而喻,第67页,教材特点,1按照数学模型研究普通程序展开教材：,（1）和函数、三角函数类似，本章也是对一个数学模型研究教材也是按照对数学模型研究普通程序即“建构模型研究模型应用模型”次序展开这么编写次序不但符合向量知识发展过程，而且能够唤起学生在函数、三角函数学习中取得经验，在助于发挥学生在学习中主动权,第68页,（2）本章首先现实依据学生生活经验，创设丰富情境，从大量实际 背景中抽象出向量概念（数学模型），然后用数学方法研究向量及其运算性质，最终再利用数学模型去处理实际问题,第69页,意图：,这么处理表达了数学知识产生和发展过程，突出了数学来龙去脉，有利于学生了解数学本质，形成对数学完整认识，到达培养学生创新思维和理性思维目标，同时也有利于数学应用意识发展,第70页,案例 向量概念及表示,第71页,小狗向西北方向逃窜，假如金钱豹向正东方向追请问:金钱豹能追上小狗吗？,第72页,在四台发动机推进下，返回舱速度由,8米秒,快速下降到,1米秒,，如同一片羽毛，轻轻地落在草地上,着陆场总指挥隋起胜从耳机中听到了费俊龙声音：“我是神舟六号，我已着陆”,费俊龙、聂海胜隔着舷窗，在向人们招手返回舱内柔和灯光，映着他们微笑这一刻，距他们离开大地4天又19个多小时，他们总行程为325万余公里（注：费俊龙 身高1.68米）,神舟六号载人飞船,现实生活中，还有哪些量只有大小没有方向？哪些量现有大小又有方向？,第73页,距离、身高、时间、质量等,位移、力、速度、加速度、电场强度等,现有大小又有方向量叫向量.,数量只有大小，是一个代数量，能够进行代数运算、比较大小；,向量,定义：,区分：,数量,向量,向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.,第74页,（3）以问题为中心，用问题链为线索揭示知识发生过程,第75页,2突出向量物理背景和几何背景,（1）教科书尤其注意从丰富物理背景和几何背景中引人向量概念,接着教材又以位移为原型，建立了向量概念，接着用有向线段给出了向量儿何背景，并定义向量模、单位向量等概念,意图：,能够使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中作用，使学生建立起了解和利用向量概念背景支撑,第76页,（2）在相关向量运算中，教材也注意突出向量运算原型,以位移“积累”为原型定义向量加法和数乘；,以功为原型定义向量数量积,在研究向量线性运算时，充分发挥有向线段几何背景作用如用有向线段来解释数乘几何意义,在向量基本定理中，提供力分解和速度分解背景,（3）在向量应用中，揭示它丰富背景,第77页,3突出运算关键地位,（1）运算是向量关键内容，对中学生来说，依据现实原型，自觉地“结构”运算，还是第一次即使学生对运算并不陌生，不过，他们眼中运算只有数运算、字母（式）运算现在要学习向量运算，这对于运算了解时一个突破,第78页,（2）教材在处理向量运算内容时，注意和数运算进行类比，这么既能够有效地利用学生相关数运算经验，而且能够帮助学生发展对运算认识,比如：和数进行类比，在建立了向量运算以后，研究向量运算（加、减、数乘等等）和它们满足运算律，在定义了运算以后，探讨运算应用，就都是很自然了,类比推理,第79页,（3）和数学中概念一样，数学对象运算也是一个数学模型，它也有一个建构过程，它一样是从原型中抽象出来教材尤其注意展示这个建构过程,如：向量加法就是从位移积累，从分力和协力关系中抽象出来,尤其地，向量数量积是以功为原型抽象出来,第80页,（4）向量既是代数对象，又是几何对象，因而向量含有各种表示方法作为代数对象，向量能够用一个“符号”表示；作为几何对象，向量能够用有向线段表示在学习了向量基本定理以后，还能够用坐标来表示实际上，向量每一个表示方法，都建立了一个,语言,对向量运算也能够用不一样语言来表示在教材中，先用几何语言即有向线段来表示向量线性运算然后再用代数语言来坐口号言来表示这么就使向量成为联络代数和几何桥梁，成为处理现实问题和数学问题工具,（5）向量是经过运算来处理问题,第81页,4突出向量与相关知识联络，突出向量工具作用,（1）教材尤其注意联络实际，注意向量与相关学科（如：力学、物理学、几何、代数、三角）联络注意用向量方法处理各类问题,（2）在例题和习题中都安排了向量在相邻领域内应用题,例：,P84 例1 物理中力合成问题,P84 例2 几何问题,P85 习题2.5 2 速度问题,第82页,四、教学提议,1明确教学要求,第83页,2让学生参加建构活动,（1）要让学生参加建构向量及其运算活动，经历建构过程，引导学生认识到向量是一个描述现实问题数学模型,（2）要让学生了解向量物理背景、几何背景，知道它原型,（3）经过建构活动，让学生熟悉向量及其运算几何意义，物理意义，这是灵活利用向量处理问题基础,第84页,3让学生明确研究向量问题基本思绪,（1）向量是代数对象作为代数对象，向量能够运算，而且正是因为有了运算，向量威力才得到充分发挥；,（2）向量又是几何对象，所以向量能够刻画儿何元素(点、线、面，利用向量方向能够与三角函数发生联络,第85页,（3）因为向量“一身二任”，所以几何图形许多性质会表现为向量运算性质，这么我们就能够经过向量运算来描述和研究几何元素之间关系（如直线平行、垂直等），确定几何图形长度、面积、夹角等等,在贯通向量教学全过程中，都要向学生讲清本章研究总思绪，让学生明确向量研究基本思绪尤其是在学完本章后，更应引导学生反思，因为这对于向量方法了解 是至关主要,第86页,（4）让学生了解向量方法实质,建立平面几何与向量联络，用向量表示问题中包括几何元素，将平面儿何问题抟化为向量问题;,经过向量运算，研究几何元素之间关系，如距离、夹角等问题;,把运算结果“翻译”成几何关系,第87页,案例 平面向量数量积,第88页,活动一：,创设问题情景，引出新课,问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量哪些运算？这些运算结果是什么？,向量加法、减法及数乘运算,问题2：请同学们继续回想，我们是怎么引入向量加法运算？我们又是按照怎样次序研究了这种运算？,物理模型概念性质运算律应用,第89页,活动二：探究数量积概念,第90页,|,F,|,|,s,|cos,A,B,O,s,F,a,b,W,|,F,|,|,s,|cos,|,a,|,|,b,|cos,第91页,|,F,|,|,s,|cos,A,B,O,s,F,a,b,W,|,a,|,|,b,|cos,|,F,|,|,s,|cos,对于两个非零向量,a,和,b,，作,a,，,b,，则,AOB,(0,180)叫做向,量,a,与,b,夹角,OA,OB,第92页,数量积定义：,已知两个非零向量,a,和,b,，它们夹,角是,，我们把数量|,a,|,b,|cos,叫做向量,a,和,b,数量积,（或内积），记作,a,b,，即,a,b,|,a,|,b,|cos,要求,：零向量与任一向量数量积为0,第93页,问题3：向量数量积运算与线性运算结果有什么不一样？影响数量积大小原因有哪些？,线性运算结果是向量，而数量积结果则是数，这个数值大小不但和向量与模相关，还和它们夹角相关,第94页,问题：已知向量,a,与,b,夹角为,，|,a,|4，|,b,|3，分别在以下条件下求,a,b,：,(1),45；,(2),90；,(3),120,第95页,问题：已知|,a,|4，|,b,|3，分别在以下条件下求,a,b,：,(1),a,b,；(2),a,b,第96页,(1)当,0,时，,a,与,b,同向，此时，,a,b,|,a,|,b,|；,(2)当,180,时，,a,与,b,反向，此时，,a,b,|,a,|,b,|；,(3)当,90,时，则称向量,a,与,b,垂直，,记作,a,b,此时，,a,b,0；,(4),a,a,|,a,|,2,或|,a,|,a,a,第97页,活动三：探究数量积运算规律,第98页,问题：,向量,a,与,b,夹角为45，|,a,|4，|,b,|3，试求：,a,b,，,b,a,，(2,a,),b,，,a,(2,b,)和2(,a,b,),第99页,运算律,(1),a,b,b,a,；,(2),(,a,),b,a,(,b,),(,a,b,),a,b,；,(3)(,a,b,),c,a,c,b,c,思索：向量数量积是否满足结合律？,第100页,案例 向量应用,第101页,向量是现有大小又有方向量，它现有代数特征，又有几何特征经过向量能够实当代数问题与几何问题相互转化，所以向量是数形结合桥梁同时，向量也是处理许多物理问题有力工具,第102页,一、向量在物理中应用,第103页,例如图所表示，无弹性细绳,OA,，,OB,一端分别固定在,A,，,B,处，同质量细绳,OC,下端系着一个称盘，且使得,OB,OC,，试分析,OA,，,OB,，,OC,三根绳子受力大小，判断哪根绳受力最大,受力分析,第104页,解 设,OA,，,OB,，,OC,三根绳子所受力分别为,a,，,b,，,c,，则,a,b,c,a,，,b,协力为,c,a,b,，,c,|,c,|,如图，在,OB,C,A,中，,因为,OB,OC,，,所以|,OA,|,OB,，,|,OA,|,OC,即,a,b,，,a,c,，所以细绳,OA,受力最大,第105页,二、向量在数学中应用,第106页,例2 用向量法证实：直径所正确圆周角是直角,已知：如图，线段,AB,为,O,直径，点,C,为圆周,上异于,A,、,B,任意一点求证：,ACB,是直角,A,B,C,O,第107页,即,OC,AB=,0，,所以,OC,AB,即,OA,(,OC,OB,),=,0,，,OB,(,OC,OA,),=,0,例3 已知：,OA,BC,，,OB,AC,求证：,OC,AB,证：因为,OA,BC,，,OB,AC,全部,OA,BC,=,0,，,OB,AC=,0,得,OC,(,OB,OA,),=,0，,第108页,例3 已知：,OA,BC,，,OB,AC,求证：,OC,AB,你能否画出一个几何图形来解释例3？,你知道向量等式,OABC,=,OA AC,给出是什么几何关系吗？,第109页,第三章 三角恒等变换,（约8课时）,第110页,C,C,+,S,S,+,C,2,T,2,T,T,+,S,2,一、本章结构,第111页,二、内容和要求,（1）经历用向量数量积推导出两角差,余弦公式过程，深入体会向量方法作用,第112页,二、内容和要求,（2）能从两角差余弦公式导出两角和与差正弦、余弦、正切公式，二倍角正弦、余弦、正切公式，了解它们内在联络,第113页,二、内容和要求,（3）能利用上述公式进行简单恒等变换（包含引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）（简单三角函数式化简、求值及恒等式证实指三角函数变形次数普通不超出三次，整个解题中三角函数公式使用普通不超出5个）,第114页,本章主要教学内容是三角函数式恒等变换只包括一个角恒等变换在三角函数中已经做了研究,（1）是（在第1章基础上）对三角函数这一数学模型（运算）性质深入研究；,（2）是用演绎方法（借助于运算），建立数学知识体系一个范例,三、本章内容定位,第115页,说明：,（1）三角恒等变换公式实质上是三角函数运算性质，而运算性质是函数主要性质；是对函数研究一个方面（能够和对数函数、指数函数类比）；,（2）假如不研究三角变形就不能发挥三角工具价值；,（3）三角变换公式繁多，但相互之间存在着紧密逻辑联络，从一个公式出发，就能够推出其它公式这种类似于公理化结构，在中学数学中是不可多得另首先，三角恒等变换也是一个演绎推理方式，应该充分发挥它在培养学生推理能力方面作用,第116页,教材特点：,（1）把演绎知识结构放在“对周期性现象作数学研究”大背景下展开,（2）本章教学内容是按照三角变换公式之间逻辑联络展开,第117页,C,C,+,S,S,+,C,2,T,2,T,T,+,S,2,本章中三角变换公式都是由余弦差角公式推导出来，化归思想是推导这些公式主导思想在教学中，不论是在推导公式时，还是在应用公式时，都应该自始至终地落实这一思想,第118页,这是一个逻辑演绎体系，为了突出三角函数主干内容，尤其是突出三角函数作为描述周期改变数学模型这一本质，在教科书中，这个演绎体系是放在对周期现象进行研究大背景下建立,在引言中就从周期运动合成角度提出三角变换课题，在讨论了和差角公式以后，教科书又经过链接（,P111,），给出了正弦函数、余弦函数叠加问题结论本章就组成了一个相对完整数学发觉和应用过程,意图：有利于学生从总体上了解三角变换,第119页,（3）利用问题链，展现公式发觉和推导过程,在传统教学中，往往把三角变换单纯地视为基本技能训练，强调重复练习和操作，强调三角变换详细方法和技巧，造成了公式头绪多，练习习题难，技巧方法刁现象和过去相比，教科书更重视公式发觉和推导过程，重视学生在三角变换中思维过程，重视这些过程中思维活动，和指导这些活动思想方法这和传统教学是有显著区分,第120页,依据课程标准要求，教科书降低了对三角变换要求尤其是不再要求用,积化和差、和差化积、半角公式等作复杂恒等变形,，而把推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换基本训练，防止任意加大三角变换难度，预防在三角变换中深挖洞现象,第121页,（4）,注意从运算角度对待三角变换,注意从运算角度对待三角变换把三角变换看成是三角函数运算这么就使三角变换和运算（包含向量运算）发生了联络,在教科书中，三角变换公式都是经过运算方法推导和证实在本章最终更从运算角度提出和差化积、积化和差研究课题,第122页,（5）注意,突出向量和三角函数联络,教科书利用向量数量积推导出两角差余弦公式过程，并由此公式作为出发点，推导出两角和与差正弦、余弦、正切公式，二倍角正弦、余弦、正切公式,第123页,案例 两角和与差三角函数,第124页,如图，有一个小山坡,OA,，,OA,长度为,a,，,AC,OC,，,AOC,15，求坡脚线,OC,长度？,O,A,C,如图，,OC,OA,cos,15,a,cos,15.,问题1：你会算,cos,15吗？,问题2：还有其它方法算,cos,15吗？,第125页,如图，向量,a,(cos45,，sin45,）,b,(cos60,，sin60,)，试分别,计算,a,b=,|,a,|,|,b,|cos及,a,b=x,1,x,2,+y,1,y,2,，比较两次计算,结果，你能发觉什么？,x,y,O,45,60,P,1,P,2,cos(60,-,45,)=cos60,cos45,+,sin60,sin45,第126页,问题,3,：这个表示式揭示了哪些角三角函数间关系？,揭示了,60,和,45,正余弦与,15,余弦之间关系,.,问题,4,：以上关系能否推广到任意两个角,与,之间呢？即cos(,)能否用,与,三角函数来表示？,cos(,)cos,cos,+sin,sin,第127页,问题,5：怎样证实？,问题,6：若借助于向量证实，要,结构怎样两个向量?,令,a,(cos,，sin,)，,b,(cos,，sin,),a,b,|,a|,|,b|,cos(,)cos(,)，,a,b,cos,cos,sin,sin,，,故cos(,)cos,cos,sin,sin,x,y,O,P,1,P,2,问题7：还有其它方法吗？（距离法）,第128页,问题,8：怎样推导两角和余弦cos(),公式？,cos(,)cos(,(,),=cos,cos(,)+sin,sin(,),=cos,cos,sin,sin,两角差余弦公式,cos(,)cos,cos,sin,sin,两角和余弦公式,cos(,+,)cos,cos,sin,sin,第129页,四、教学提议,1准确地把握教学要求,依据课程标准要求，教科书降低了对三角变换要求尤其是不再要求用积化和差、和差化积、半角公式等作复杂恒等变形，而把推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换基本训练，防止任意加大三角变换难度，不要随意补充已被删减内容，也不要引进那些繁琐，技巧性高难题，更不要一味在细微耒节上做文章但要注意基础训练,第130页,2对公式,a,sin,x,b,cos,x,处理,相关形如,a,sin,x,b,cos,x,三角函数式化简普通结论，是超出教学普通要求而书本第98页例3到思索是作为和差角公式逆向应用，所以在习题中处理也仅仅作为差角公式应用，不宜过多地加深拓宽,辅助角仅限于特殊角,第131页,3.对几个三角恒等式处理，力争让学生经历探索过程，不要求作比较复杂恒等变形,“重过程，轻结论”,4设计数学探究或数学建模活动,第132页,第133页,第134页,第135页,