复变函数4-2省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第二节 幂级数,一、幂级数概念,二、幂级数敛散性,三、幂级数运算和性质,四、,小结与思索,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1/31,1,一、幂级数概念,特殊情形,这种级数称为以,a,为心,幂级数,.,当,时，,2/31,2,二、幂级数敛散性,求幂级数,收敛范围与和函数.,解,级数部分和为,3/31,3,级数,收敛,级数,发散.,且有,收敛范围为一单位圆域,在此圆域内,级数绝对收敛,4/31,4,1.,收敛定理,(阿贝尔Abel定理),假如级数,在,收敛,那末对,级数必绝对收敛,假如,在,级数发散,那末对满足,级数必发散,.,满足,阿贝尔介绍,5/31,5,证,由收敛必要条件,有,因而存在正数,M,使对全部,n,6/31,6,而,由正项级数比较判别法知:,收敛.,另一部分证实请课后完成.,证毕,7/31,7,2.,收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数,其收敛半径情况有三种:,(1)对全部正实数都收敛.,由阿贝尔定理知:,级数在复平面内处处绝对收敛.,幂级数收敛范围是一个圆域，级数在圆内绝,对收敛，,在圆外发散。,该圆称为幂级数,收敛圆，,该圆半径称为幂级数收敛半径。,8/31,8,比如,级数,对任意固定,z,从某个,n,开始,总有,于是有,故该级数对任意,z,均收敛.,9/31,9,(2)对全部正实数除,z,=0 外都发散.,此时,级数在复平面内除原点外处处发散,.,(3)既存在使级数发散正实数,也存在使级数收,敛正实数.,比如,级数,通项不趋于零,如图:,故级数发散.,10/31,10,.,.,收敛圆,收敛半径,幂级数,收敛范围是以原点为中心圆域.,幂级数,收敛范围?,11/31,11,问题,:幂级数在收敛圆周上敛散性怎样?,比如,级数:,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处绝对收敛.,在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出普通结论,要对详细级数进行详细分析.,注意,12/31,12,（D）不能确定,若幂级数,收敛半径为,2,，,该级数在,处敛散性为(),那么,（A）绝对收敛,（B）条件收敛,（C）发散,练习：,D,13/31,13,3.,收敛半径求法,方法,1,:,比值法,:,那末收敛半径,即,(极限不存在),即,14/31,14,方法2:,根值法,那末收敛半径,说明:,(与比值法相同),假如,15/31,15,例1,试求幂级数,收敛半径及收敛圆.,解,(1)因为,收敛圆为|,z,|1.,16/31,16,(2)因为,收敛圆为|,z,-2,|1.,(3)因为,幂级数在整个复平面都解析.,17/31,17,故收敛半径,(4),收敛圆为|,z,|1/,e,.,18/31,18,三、幂级数运算和性质,1.幂级数有理运算,19/31,19,例2,把函数,表成形如,幂,级数,其中,是不相等复常数.,解,把函数,写成以下形式:,代数变形,使其分母中出现,凑出,20/31,20,级数收敛,且其和为,21/31,21,例3,解,22/31,22,例,4,求级数,收敛半径与和函数.,解,23/31,23,定理四,设幂级数,收敛半径为,那末,(2),在收敛圆,内导数可将其幂,级数逐项求导得到,是收敛圆,内解析函数,.,(1),3.,复变幂级数在收敛圆内性质,24/31,24,(3),在收敛圆内能够逐项积分,简言之,:,在收敛圆内,幂级数和函数解析,;,幂级数可逐项求导,逐项积分.,(惯用于求和函数),即,25/31,25,例,5,求级数,收敛半径与和函数.,解,利用逐项积分,得:,所以,26/31,26,五、小结与思索,这节课我们学习了幂级数概念和阿贝尔定,理等内容，应掌握幂级数,收敛半径求法,和,幂级,数运算性质.,27/31,27,思索题,幂级数在收敛圆周上敛散性怎样断定?,28/31,28,因为在收敛圆周上,确定,能够依复数项级,数敛散性讨论.,思索题答案,29/31,29,放映结束，按Esc退出.,作业:P72 1(3)(4),2(1)(3)(5),30/31,30,阿贝尔,挪威数学家,，,是公认椭圆函数,论创始人之一。是分析学严格,化推进者。,Niels Abel 1802-1829,31/31,31,