复变函数4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,4.4解析函数零点孤立性与唯一性定理,4.4.1 级析函数零点孤立性,4.4.2 唯一性定理,4.4.3 最大与最小模原理,第1页,定义4.7,设,f,(,z,)在解析区域,D,内一点,a,值为零,即：,f,(,a,),=,0,，则称,a,为,解析函数,f,(,z,)一个零点,.,假如在|,z-a,|,R,内,解析函数,f,(,z,)不恒为零,我们将它在点,a,展成幂级数,此时,幂级数系数,无须全为零.故必有一正数,m,(m,1,),使得,合乎上述条件,m,称为零点,a,阶(级),a,称为,f,(,z,),m（级）零点,.尤其是当m=1时,a,也称为,f,(,z,),简单零点.,4.4.1,解析函数零点及其孤立性,第2页,定理4.17,不恒为零,解析函数,f,(,z,)以,a,为,m,级零点充要条件为:,其中,(4.14),在点,a,邻域|,z-a,|,R,内解析,且,证实：,设,f,(,z,)以,a,为,m,级零点,则：,第3页,在,a,点解析，且,设,(,z,),在,a,点解析,第4页,例4.15：考查函数,f,(z)=,z-,sin,z,在原点,z,=o性质,例4.16：求函数sin,z,-1全部零点，并指出它们阶（级）,第5页,定理4.18 如在|,z-a,|R内解析函数,f,(,z,)不,恒为零,a,为其零点,则必有,a,一个邻域,使得,f,(,z,)在其中无无异于,a,零点.(简单来说就是,不,恒为零解析函数零点必是孤立.),其中 在点a邻域|z-a|R内解析,且,(2)零点孤立性,证 设a为,f,(,z,),m,级零点,于是,由定理(4.17),从而 在点,a,连续.于是由例1.28知存在一邻域|,z-a,|,r,使得 于其中恒不为零.故,f,(,z,),在其中无异于,a,其它零点.,第6页,(2)在,K,内有,f,(,z,)一列零点,z,n,(,z,n,0)收敛于,a,证 因为,f,(,z,)在点,a,连续,且,f,(,z,n,)=0,让,n,趋于无穷取极限,即得,f,(,a,)=0.故,a,是一个非孤立零点.由定理4.18必,f,(,z,)在K内恒为零.,推论4.19,设,(1),f,(,z,)在邻域,K:|z-a|0).,在L上依次取一串点,a=a,0,a,1,a,n-,1,a,n,=b,a,t-1,a,t,使相邻两点间距离小于定数,R,(0,R,d,).显然,由推论4.19,在圆,K,0,:|,z-a,0,|,R,内,K,0,在圆,K,1,:,|z-a,1,|R,再用,推论4.19,即知在,K,1,内,这么继续下去,直到最终一个含有点b为止,在该圆,K,n-1,内,尤其说来,f,(,b,)=0.因为,b,是,D,内任意点,故证实了,D,内,a,n-1,K,n-1,b,a,n-1,a,1,a,2,第9页,推论4.21,设在区域D内解析函数,f,1,(,z,)及,f,2,(,z,)在D内某一子区域(或一小段弧)相等,则它们在D内恒等.,推论4.22,一切在实轴上成立恒等式,在,z,平面上,也成立,只要这个恒等式两边在,z,平面上都是解,析.,例4.18,应用唯一性定理，在|,z,|1内展开Ln(1+,z,),主值枝成,z,幂级数,第10页,4.4.3最大(小)模原理,定理4.23(最大模 原理)设f(z)在区域D内解析,则,|f(z)|在D内任何点都不能到达最大值,除非在D内,f(z)恒等于常数.,证 假如用M表|f(z)|在D内最小上界,则,必0M+.假定在D内有一点z,0,函数f(z)模,在z,0,到达它最大值,即|f(z,0,)|=M.,(1)应用平均值定理(定理3.12)于以z,0,为中心,而且连同它周界一起都全含于区域D内一个,圆|z-z,0,|R,就得到,第11页,(4.15),因为,而,以下用反证法说明这一点:,假如对于某一个值,=,0,有：,那么依据|f(z)|连续函数保号性：,第12页,z,0,在这个区间之外,总是,在这么情况下,由(4.15)得,所以,我们已经证实了:在以,点,z,0,为中心每一个充分小,圆上,|,f,(,z,)|=,M,.,自相矛盾,z,0,z,0,z,0,z,0,z,0,|,f,(,z,)|=,M,.,在,z,0,点足够小邻域K内(K及其周界全含于D内)有,让R连切趋近于零,第13页,(2)由第二章习题(一)6(3),必f(z)在K内为常数.,推论4.24 设(1)f(z)在有界区域D内解析,在,闭域 上连续;,(2),则除f(z)为常数情景外,|f(z)|M,(z,D,).,(3)由,唯一性,定理,必f(z)在D内为一常数.,*,例4.19,f,(,z,),A,(,K,),A=,z|z|,1,则,f,(z)在圆|z|0,s.t.当|z|=R时，|,f,(z)|,a,但,f,(0),a,第14页,有可能是考题！,第15页,