复变函数教程1省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,复变函数与积分变换,历史,复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他一篇论文中考虑了由复变函数积分导出两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他关于流体力学论文中，就已经得到了它们。所以，以后人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在,柯西,和,黎曼,研究流体力课时，作了更详细研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。,1/45,单复变函数理论基础是在19世纪由柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼所奠定。柯西积分理论，魏尔斯特拉斯无穷级数理论和黎曼共形（保角）映射理论组成优美单复变函数论。,复变函数论在数学领域许多分支都有深刻应用，已经深入到微分方程、积分方程、,概率论,和数论等学科，对它们发展很有影响。复变函数论在实际应用方面，包括面很广，有很多复杂计算都是用它来处理。比如物理学上有很多不一样稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量一个区域，对它们计算就是经过复变函数来处理。俄国数学家茹柯夫斯基在设计飞机时候，就用复变函数论处理了飞机机翼结构问题。,2/45,问题提出,1，已知 求,2，欧拉公式（数学中美学高峰）：,3，Fermat-Torricelli问题：已知平面中若干个点，求另外一点使得它与给定点距离之和最小。,4，Fermat问题，经典平面几何难题。,5，电位、电力线问题：已知两电板（平直或者弯曲）电位，求两电板之间电位及电力线方,向。,3/45,第一章 复数与复变函数,第二章 解析函数,第三章 复变函数积分,第四章 级数,第五章 留数,第六章 保角（共形）映射及其应用,第七章 Fourier,Laplace变换,4/45,第一章 复数与复变函数,复数及其代数运算,复数表示,复数乘幂与方根,复平面点集与区域,复变函数,复变函数极限与连续,5/45,复数,有许多原因使得数概念必须越出实数域而引进复数。最早要求引进复数是为了解三次方程，但通常为轻易了解故，都是从二次方程引入。实数域内没有提供解二次方程完整理论，就如解,这么简单方程都没有实数解。,摆在面前有两种方案可供选择：1，干脆宣告此方程无解；2，扩充数概念，引进一个新数（虚想之数），并记此数为“i”，称为虚数单位。历史上曾有不少数学家持第一个态度，然而更多则采取第二种开放态度，引进复数。,6/45,复数及其代数运算,1)复数：形如 z=x+i y数称为复数，其中x,y是任意实数，分别称为复数z实部和虚部，记为,两个复数相等，当且仅当其实部和虚部分别相等。,2)定义两个复数加法、乘法运算以下：,7/45,减法、除法运算则定义为加法、乘法运算逆运算：,能够验证这些运算满足关于加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律以及乘法对加法分配率。这么，按代数结构而言，复数全体组成了一个代数域，称为复数域。,8/45,3)共轭复数.对于复数 ，称 为其共轭复数。称 为其模，记作 。,轻易验证,9/45,4)复平面,一对有序实数（x，y）,平面上一点P,复数 z=x+i y,x,y,z=x+i y,O,实轴、虚轴、复平面,Z 平面,10/45,5)复数几个表示法,几何表示：,平面上一矢量与一复数z组成一一对应，复,数加减与矢量加减一致。,x,y,O,加法运算,11/45,x,y,O,减法运算,12/45,复数三角形式,利用极坐标来表示复数z,，,则复数 z 可表示为,三角式,：,复数,模,复数,幅角,13/45,讨论：,复数幅角不能唯一地确定。任意非零复数都有没有穷多个幅角。通常把,幅角称为Arg z主值。记为,2）复数“零”幅角没有意义，其模为零。,3）当 r=1时，复数z称为单位复数。,利用复数三角形式或指数形式作乘除法比较方便。,14/45,设,定理,注意,多值性,x,y,O,15/45,例：已知正三角形两个顶点为,求三角形另一个顶点。,x,y,O,解得,16/45,复数乘幂,n个相同复数z乘积成为zn次幂,复数方根,为已知复数，n为正整数，则称满足方程,全部w值为zn次方根，而且记为,17/45,当k0，1，2，n1时，得到n个相异根：,18/45,例：,即,19/45,复数球面表示与扩充复平面,z,P,N,球极平面射影法,取一个在原点O与z平面相切球面，过O点作z平面垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。,P,对于平面上任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。,20/45,从几何上能够看出：,Z平面上每个以原点为圆心圆周对应于球面上某一个纬圈，这个圆周以外点则对应于对应纬圈以北点，而且若点z模越大，球面上对应点则越靠近北极N。,由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点,扩充复平面 复平面 。要求：,约定无穷远点实部、虚部及幅角都没有意义；另外,等也没有意义。,N,21/45,复平面点集与区域,（1）邻域,（2）去心邻域,（3）内点,点z是点集E内点,存在z某个r邻域含于E内，即,（4）外点,点z是点集E外点,存在z某个r邻域不含E内点,22/45,（5）边界点,点z 任意邻域现有 E 点，又有非 E 点.,（6）开集,点集E中点全是内点,（7）闭集,开集余集,空集和整个复平面既是开集，又是闭集。,（8）连通集,E中任意两点能够用有限个相衔接线段组成折线连接起来，而此折线全在,E,中。,（9）区域,非空连通开集,23/45,（10）有界区域,假如存在正数M，使得对于一切D中点z，有,（11）,简单曲线、光滑曲线,点集,称为z平面上一条有向曲线。,则称 D为有界区域。,24/45,简单曲线：,简单闭曲线：,光滑曲线：,（12）单连通区域,设D为复平面上区域，若在D内任意简单闭曲线内部仍属于D，则称D为,单连通区域,，不然称,多连通区域,。,没有交叉点。,25/45,平面图形复数表示,很多平面图形能用复数形式方程（或不等式）来表示；也能够由给定复数形式方程（或不等式）来确定所表示平面图形。,例：,Z平面上以原点为中心、R为半径圆周方程为,Z平面上以 为中心、R为半径圆周方程为,26/45,例：,（1）连接z,1,和z,2,两点线段参数方程为,（2）过两点 z,1,和z,2,直线L参数方程为,（3）z,1、,z,2，,z,3,三点共线得充要条件为,27/45,例：,考查以下方程（或不等式）在平面上所描绘几何图形。,（1）,该方程表示到点2i和2距离相等点轨迹，所以方程表示曲线就是连接点2i 和2线段垂直平分线，它方程为y=x。,（2）,设 z=x+iy,28/45,（3）,表示实轴方向与由点i 到 z 向量之间交角,主值，所以满足方程点全体是自 i 点出发且与实轴,正向夹角为45度一条半射线。（不包含 i点）,（4）,29/45,例：指出不等式,中点z轨迹所在范围。,解：,因为,所以,于是有,30/45,它表示在圆,外且属于左半平面全部点集合,31/45,复 变 函 数,复变函数定义,设 D 是复变数z一个集合，对于 D 中每一个z，按照一定规律，有一个或多个复数w值与之对应，则称w为定义在 D 上,复变函数,，记做,单值函数 f(z):,对于D中每个z，有且仅有一个w与之对应。,多值函数 f(z):,对于D中每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。,32/45,定义：,我们主要考虑,单值函数,f(z)是,单射,（或一对一映射）,对于任意,f(z)是,满射,f(z)是,双射,f(z)既是,单射，又是满射。,33/45,例,：,34/45,35/45,36/45,1,-,1,-,1,-,10,-,8,-,6,-,4,-,2,x,2,4,6,8,v,=10,1,y,-,10,-,8,-,6,-,4,-,2,u,=0,2,4,6,8,u,v,10,10,-,10,-,10,37/45,复变函数极限与连续,函数极限,定义：设函数w=f(z)定义在z,0,去心邻域,假如有一确定数A存在，对于任意给定,对应地必有一正数,使得当 时有,那么称A为f(z)当z 趋向z,0,时极限，记作,38/45,几何意义,：当变点z一旦进入z,0,充分小去心邻域时，它,象点 f(z)就落入A预先给定小邻域内。,关于极限计算，有下面定理。,注意,：z趋于z,0,方式是任意，就是说，不论z从什么方向，以何种方式趋向于z,0,，f(z)都要趋向于同一个常数。,39/45,定理一,定理二,40/45,例,证实函数,当z趋于0时极限不存在。,解法一,令z=x+iy,则,所以极限不存在。,41/45,解法2,利用复数三角表示式,当z沿着不一样射线,趋于零时，f(z)趋于不一样值。,如,极限不存在。,42/45,函数连续,假如,那么f(z)在z,0,处连续。,假如 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z)在 D 内连续。,定理,：f(z)在z,0,处连续充分必要条件是 u(x,y),v(x,y),在（x,0,，y,0,）处连续。,连续函数四则运算、复合运算都成立,。,有界闭区域上连续函数最值定理。,43/45,例：,一致连续 （同学们结合微积分中定义尝试给出）,44/45,作业,1，求问题1解答,2，求问题3解答。,3,证实：若|z,1,|=|z,2,|=|z,3,|=1,z,1,+z,2,+z,3,=0,则z,1,，z,2,，z,3,是内接于单位圆|z|=1一个正三角形三顶点。,4，如右上图，在锐角三角形中求一点，使得它与三顶点连线距离最短，则中间三线组成角度相等。,45/45,