【全程复习方略】2013版高中数学-3.9正弦定理、余弦定理的应用课时提能训练-苏教版.doc

【全程复习方略】2013版高中数学 3.9正弦定理、余弦定理的应用课时提能训练 苏教版
(45分钟 100分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1.如果在测量中，某渠道斜坡坡度为，设α为坡角，那么cosα等于______.
2.(2012·常州模拟)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好km，那么x的值为______.
3.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为_______.
4.(2011·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离是______千米.
5.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为______.
6.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4 m,仰角∠ABE
=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值，算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,则H=______m.
7.一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是______海里/小时.
8.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为______.

二、解答题(每小题15分，共45分)
9.(2012·南京模拟)随着重工业的飞速发展，某市需要在C、D两地之间架设高压电线.如图，A、B两地间的距离是千米，B、C两地间的距离是千米，且A、B、C、D在同一平面上，∠DAB=45°，∠DBA=∠ABC=30°.假设考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是C、D两地距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？
10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处之间的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离.
11.据气象台预报，距S岛正东方向300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270 km及以内的地区将受到台风的影响.
问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.
【探究创新】
(15分)如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB＝120 km，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．有一辆车(称甲车)以每小时96 km的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车(称乙车)以每小时120 km的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A，乙车从车站B同时开出.
(1)计算A，C两站距离及B，C两站距离；
(2)若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换；
(3)求10点时甲、乙两车的距离．
(参考数据：)

答案解析
1.【解题指南】坡度是坡角α的正切值，可根据同角三角函数关系式求出
cosα.
【解析】因为则代入sin2α+cos2α=1得：
答案：
2.【解析】如图，设出发点为A,
则有AC2=AB2+BC2-
2AB·BC·cos30°，
解得：x=.
答案：
3.【解析】设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最长边，其对应角最大.
而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，则为锐角，那么它为锐角三角形.
答案：锐角三角形
4.【解析】由正弦定理得，∴AC=.
答案：
5.【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得.
【解析】如图，设塔高为h米，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，

则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得：
OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD·cos∠OCD，
即－2h×10×cos120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去).
答案：10米
6.【解题指南】用H，h表示AD，AB，BD后利用AD=AB+BD即可求解.
【解析】由
及AB+BD=AD，得
解得=124(m).
因此，算出的电视塔的高度H是124 m.
答案：124
7.【解题指南】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB＝10海里，∠OCB＝60°，∠OCA＝75°.我们只需计算出OC的长，即可得出船速.
【解析】在直角三角形OCA和OCB中，显然有＝tan∠OCB＝tan60°，且＝tan∠OCA＝tan75°，
因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan75°－tan60°)，即有

由此可得船的速度为5÷0.5＝10(海里/小时).
答案：10
8.【解析】在△ABD中，设BD＝x，
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解之得x1＝16，x2＝－6(舍去).
由正弦定理得
∴
答案：
【方法技巧】三角形中的几何计算问题
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之即可.
9.【解析】在△ABD中，∠ADB=180°-45°-30°=105°，
AB=，∠DAB=45°.
由正弦定理得，
BD= (千米).
在△BCD中，∠CBD=60°，BD=
由余弦定理得，CD2=BD2+CB2-2BD·CBcos60°
=300+1 200-
∴CD=30(千米),
∴至少应该准备的电线长度为：30×1.2=36(千米).
答：至少应该准备36千米长的电线.
10.【解析】(1)在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，B＝45°.
由正弦定理，得
＝24 (n mile).
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，
解得CD＝(n mile).
11.【解题指南】设B为台风中心，则B为AB边上的动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.
【解析】如图，设台风中心经过t小时到达B点，
由题意：

∠SAB＝90°－30°＝60°，
在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，
由余弦定理得：
SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB
＝3002＋(30t)2－2×300×30tcos60°，
若S岛受到台风影响，则应满足条件：
|SB|≤270，即SB2≤2702，
化简整理得t2－10t＋19≤0，
解之得
所以从现在起，经过小时S岛开始受到影响，小时后影响结束，持续时间： (小时).
所以S岛会受到台风影响，从现在起经过小时受到台风影响，且持续时间为26小时.
【探究创新】
【解析】(1)在△ABC中，∠ACB＝60°.
∵
∴

≈132(km).
(2)能.理由如下：甲车从车站A开到车站C约用时间为(小时)＝60(分钟)，即9点到C站，至9点零10分开出．乙车从车站B开到车站C约用时间为=1.1(小时)＝66(分钟)，即9点零6分到站，9点零16分开出．则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上.
(3)10点时甲车离开C站的距离为×96=80(km)，乙车离开C站的距离为×120=88(km)，两车的距离等于

- 7 -