聊城市中考数学专题复习讲义-求阴影部分图形面积新题型.doc

中考数学分类汇编——求阴影部分图形面积新题型
近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积的知识，出现了一批考查应用与创新能力的新题型，归纳起来主要有：
一、规律探究型
例1 宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）．
（1）如图1，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积．

（2）如图2，分别以等边△O1O2O3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？
（3）如图3，分别以正方形O1O2O3O4的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？（2005年黄冈市中考题）
分析 （1）利用“S阴=S菱形AO1BO2=4S弓形”即可；（2）利用“S阴=S△O1O2O3+3S弓”即可；（3）直接求解比较困难，可利用求补法，即“S阴=S正方形O1O2O3O4-S空白”，考虑到四个圆半径相同，若延长O2O1交⊙O1于A，则S空白=4SO1AB，由（1）根据对称性可求SO1BO4，再由“SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4”，这样S空白可求．
解答 （1）设两圆交于A、B两点，连结O1A，O2A，O1B，O2B．
则S阴=S菱形AO1BO2+4S弓．
∵S菱形=2S△AO1O2，△O1O2A为正△，其边长为r．
∴S△AO1O2=r2，S弓=-r2=-r2．
∴S阴=2×r2+4（r2-r2）=r2-r2．
（2）图2阴影部分的面积为S阴=S△O1O2O3+3S弓．
∵△O1O2O3为正△，边长为r．
∴S△O1O2O3=r2，S弓=-r2．
∴S阴=r2+3（-r2）=r2-r2．
（3）延长O2O1与⊙O1交于点A，设⊙O1与⊙O4交于点B，由（1）知，SO1BO4=（r2-r2）．
∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4
=-（r2=r2）
=-r2+r2．
则S阴=S正方形O1O2O3O4-4SO1AB
=r2-4（-r2+r2）
=r2+r2-r2=（+1-）r2．
二、方案设计型
例2 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．

小明的设计方案：如图1，其中花园四周小路的宽度相等，经过解方程，我得到路的宽为2m或12m．
小颖的设计方案：如图2，其中花园中每个角上的扇形都相同．
（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．
（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0．1m）
（3）你还有其它的设计方案吗？请在右边的矩形中画出你的设计草图，并加以说明．（2004年新疆建设兵团中考题）
分析 （1）由小明的设计知，小路的宽应小于矩形荒地宽的一半，由此判断即可；（2）可由“花园面积为矩形面积一半”列方程求x；（3）可由图形对称性来设计．
解 （1）小明的结果不对．
设小路宽xm，则得方程
（16-2x）（12-2x）=×16×12
解得：x1=2，x2=12．而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不合题意．
（2）由题意，4×=×16×12
x2=，x≈5.5m．
（3）方案有多种，下面提供5种供参考：

三、网格求值型
例3 图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．
（1）直接写出单位正三角形的高与面积；
（2）图1中的ABCD含有多少个单位正三角形？ABCD的面积是多少？
（3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；
（4）求出图2中四边形EFGH的面积．（2005年吉林省中考题）

分析 （1）由正三角形边角关系来求；（2）仔细观察图1便可找到答案；（3）考虑到图1中AB=3，BC=4，∠B=60°，可作△ABC的高AK，构造直角三角形，再利用解直角三角形知识即可求得；（4）可利用网格构造特殊格点图形，再由求补法计算四边形EFGH面积．
解：（1）单位正三角形的角为，面积为，
（2）ABCD含有24个单位正三角形，故其面积为24×=6．
（3）如图1，过A作AK⊥BC于K，在Rt△ACK中，AK=，KC=．
∴AC===．
（4）如图3，构造EQSR，过F作FT⊥QG于T，则S△FQG=FT·QG=××4=3．
同理可求
S△GSH=，S△EHR=6，SEQSR=18．
∴S四边形EFGH= SEQSR -S△FQG-S△GSH-S△EHR=18 -3--6=8．
四、图形对称型
例4 如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过C、E和D、F，则图中阴影部分的面积是_________．（2005年河南省中考题）

分析 由题意知，图中两半圆和两抛物线组成的图形关于y轴对称，故y轴左侧阴影部分面积等于半圆B中的空白面积，所以所求阴影部分面积为半圆B的面积，即S阴=·12=．
解答：．
五、图形变换型
例5 如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线L上，依次为B、C′、D″，依次为B、C′、D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°．这样点A走过的曲线依次为、、，其中交CD于点P．
（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；
（2）求的长；
（3）求图中 部分的面积S；
（4）求图中 部分的面积T．（2005年吉林省中考题）

分析 （1）要求A′C′，因长宽分别为2和1，利用勾股定理即可；（2）要求，因所对圆心角为∠ABA′=90°，半径AB=2，利用弧长公式即可；（3）因△A′C′D′≌△A″C′D″，故S=S扇形A`C``A``；（4）连PB，则PB=AB=2，又BC=1，故∠PBC=60°，∠ABP=30°，欲求T，由“T=S扇形ABP+S△BCP”即可．
解答 （1）A′C′==（cm）．
（2）=×2=（cm）．
（3）S=S扇形A`CA``==（cm）
（4）连结BP，在Rt△BCP中，BC=1，BP=2，
∴∠BPC=30°，CP=，∴∠ABP=30°，
∴T=S扇形ABP+S△PBC=×22+=（+）cm2．
六、实际应用型
例6 在栽植农作物时，一个很重要的问题是“合理密植”．如图是栽植一种蔬菜时的两种方法，A、B、C、D四珠顺次连结成为一个菱形，且AB=BD；A′、B′、C′、D′四株连结成一个正方形，这两种图形的面积为四株作物所占的面积，两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．在株距都为a，其他客观因素也相同的条件下，请从栽植的行距，蔬菜所占的面积，充分生长后空隙地面积三个方面比较两种栽植方法．哪种方法能更充分地利用土地．

分析：本题立意很新，要合理密植，充分利用土地，只需分别计算并比较两种方案的行距、阴影面积以及S和S．对应值小的即为合理密植．
解 连结AC交BD于点O．在菱形ABCD中，有AB=AD，AC⊥BD，BO=BD．
∵AB=BD=a，∴BO=OD=a．
在Rt△AOD中，AO==a．
∴S菱形ABCD=2×BD·AO=a2，
S正方形A`B`C`D`=a2．
设方法（1）中空隙地面积为S1，方法（2）中空隙地面积为S2．
则S1=S菱形ABCD-S☉A=a2-a2，
S2=S正方形A`B`C`D`-S☉A`=a2-a2．
∵<1，
∴AO<A′B′，
S菱形ABCD<S正方形A`B`C`D`，S1<S2．
∴栽植方法（1）比栽植方法（2）能更充分地利用土地．

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