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1.4 流体流动阻力
本节重点：直管阻力与局部阻力的计算，摩擦系数的影响因素。
难点：用因次分析法解决工程实际问题。
流动阻力的大小与流体本身的物理性质、流动状况及壁面的形状等因素有关。
化工管路系统主要由两部分组成，一部分是直管，另一部分是管件、阀门等。相应流体流动阻力也分为两种：
直管阻力：流体流经一定直径的直管时由于内摩擦而产生的阻力；
局部阻力：流体流经管件、阀门等局部地方由于流速大小及方向的改变而引起的阻力。
1.4.1 流体在直管中的流动阻力
1. 阻力的表现形式
如图1-24所示，流体在水平等径直管中作定态流动。
在1-1′和2-2′截面间列柏努利方程，

因是直径相同的水平管，
（1-34）
若管道为倾斜管，则
（1-34a）
由此可见，无论是水平安装，还是倾斜安装，流体的流动阻力均表现为静压能的减少，仅当水平安装时，流动阻力恰好等于两截面的静压能之差。
2. 直管阻力的通式
在图1-24中，对1-1′和2-2′截面间流体进行受力分析：
由压力差而产生的推动力为 与流体流动方向相同
流体的摩擦力为 与流体流动方向相反。
流体在管内作定态流动，在流动方向上所受合力必定为零。

整理得 （1-35）
将式(1-35)代入式（1-34）中，得
（1-36）
将式（1-36）变形，把能量损失表示为动能的某一倍数。

令
则 （1-37）
式（1-37）为流体在直管内流动阻力的通式，称为范宁（Fanning）公式。式中为无因次系数，称为摩擦系数或摩擦因数，与流体流动的Re及管壁状况有关。
根据柏努利方程的其它形式，也可写出相应的范宁公式表示式：
压头损失 （1-37a）
压力损失 （1-37b）
值得注意的是，压力损失是流体流动能量损失的一种表示形式，与两截面间的压力差意义不同，只有当管路为水平时，二者才相等。
应当指出，范宁公式对层流与湍流均适用，只是两种情况下摩擦系数不同。以下对层流与湍流时摩擦系数分别讨论。
3. 层流时的摩擦系数
流体在直管中作层流流动时，管中心最大速度如式（1-35）所示。
将平均速度及代入上式中，可得

（1-38）
式（1-38）称为哈根-泊谡叶（Hagen-Poiseuille）方程，是流体在直管内作层流流动时压力损失的计算式。
结合式（1-34），流体在直管内层流流动时能量损失或阻力的计算式为
（1-39）
表明层流时阻力与速度的一次方成正比。
式（1-39）也可改写为
（1-39a）
将式（1-39a）与式（1-37）比较，可得层流时摩擦系数的计算式
（1-40）
即层流时摩擦系数λ是雷诺数Re的函数。
4．湍流时的摩擦系数
（1）因次分析法
层流时阻力的计算式是根据理论推导所得，湍流时由于情况要复杂得多，目前尚不能得到理论计算式，但通过实验研究，可获得经验关系式，这种实验研究方法是化工中常用的方法。在实验时，每次只能改变一个变量，而将其它变量固定，如过程涉及的变量很多，工作量必然很大，而且将实验结果关联成形式简单便于应用的公式也很困难。若采用化工中常用的工程研究方法——因次分析法，可将几个变量组合成一个无因次数群（如雷诺数Re即是由d、ρ、u、μ四个变量组成的无因次数群），用无因次数群代替个别的变量进行实验，由于数群的数目总是比变量的数目少，就可以大大减少实验的次数，关联数据的工作也会有所简化，而且可将在实验室规模的小设备中用某种物料实验所得的结果应用到其它物料及实际的化工设备中去。
因次分析法的基础是因次一致性原则，即每一个物理方程式的两边不仅数值相等，而且每一项都应具有相同的因次。
因次分析法的基本定理是白金汉（Buckinghan）的π定理：设影响某一物理现象的独立变量数为n个，这些变量的基本因次数为m个，则该物理现象可用N＝（n－m）个独立的无因次数群表示。
根据对摩擦阻力性质的理解和实验研究的综合分析，认为流体在湍流流动时，由于内摩擦力而产生的压力损失与流体的密度ρ、粘度μ、平均速度、管径、管长及管壁的粗糙度ε有关，即
（1-41）
7个变量的因次分别为：
[p]=M-2L-1 []=ML-3 [u]=M-1
[d]=L [l]=L []=L []=M-1L-1
基本因次有3个。根据π定理，无因次数群的数目
N=n-m=7-3=4个
将式（1-41）写成幂函数的形式：

因次关系式：

根据因次一致性原则：
对于M：
对于L：
对于：
设b，e，f已知，解得：

即 （1-42）
式中 ——雷诺数Re，
——欧拉（Euler）准数，也是无因次数群。
、均为简单的无因次比值，前者反映了管子的几何尺寸对流动阻力的影响，后者称为相对粗糙度，反映了管壁粗糙度对流动阻力的影响。
式（1-42）具体的函数关系通常由实验确定。根据实验可知，流体流动阻力与管长成正比，该式可改写为：
（1-43）
或 （1-43a）
与范宁公式（1-37）相对照，可得
（1-44）
即湍流时摩擦系数λ是Re和相对粗糙度的函数，如图1-25所示，称为莫狄（Moody）摩擦系数图。
图1-25 摩擦系数λ与雷诺数Re及相对粗糙度的关系
根据Re不同，图1-25可分为四个区域；
（1）层流区 （Re≤2000），λ与无关，与Re为直线关系，即，此时，即与u的一次方成正比。
（2）过渡区（2000<Re<4000），在此区域内层流或湍流的λ～Re曲线均可应用，对于阻力计算，宁可估计大一些，一般将湍流时的曲线延伸，以查取λ值。
（3）湍流区（Re≥4000以及虚线以下的区域），此时λ与Re、都有关，当 一定时，λ随Re的增大而减小，Re增大至某一数值后，λ下降缓慢；当R e一定时，λ随的增加而增大。
（4）完全湍流区 （虚线以上的区域），此区域内各曲线都趋近于水平线，即λ与Re无关，只与有关。对于特定管路一定，λ为常数，根据直管阻力通式可知，，所以此区域又称为阻力平方区。从图中也可以看出，相对粗糙度愈大，达到阻力平方区的Re值愈低。
对于湍流时的摩擦系数λ，除了用Moody图查取外，还可以利用一些经验公式计算。这里介绍适用于光滑管的柏拉修斯（Blasius）式：
（1-45）
其适用范围为Re＝5×103～105。此时能量损失约与速度u的1.75次方成正比。
考莱布鲁克（Colebrook）式
此
式适用于湍流区的光滑管与粗糙管直至完全湍流区。
（2）管壁粗糙度对摩擦系数的影响
光滑管：玻璃管、铜管、铅管及塑料管等称为光滑管；
粗糙管：钢管、铸铁管等。
管道壁面凸出部分的平均高度，称为绝对粗糙度，以表示。绝对粗糙度与管径的比值即，称为相对粗糙度。工业管道的绝对粗糙度数值见教材。
管壁粗糙度对流动阻力或摩擦系数的影响，主要是由于流体在管道中流动时，流体质点与管壁凸出部分相碰撞而增加了流体的能量损失，其影响程度与管径的大小有关，因此在摩擦系数图中用相对粗糙度，而不是绝对粗糙度。
流体作层流流动时，流体层平行于管轴流动，层流层掩盖了管壁的粗糙面，同时流体的流动速度也比较缓慢，对管壁凸出部分没有什么碰撞作用，所以层流时的流动阻力或摩擦系数与管壁粗糙度无关，只与Re有关。
流体作湍流流动时，靠近壁面处总是存在着层流内层。如果层流内层的厚度δL大于管壁的绝对粗糙度，即δL>时，如图1-26（a）所示，此时管壁粗糙度对流动阻力的影响与层流时相近，此为水力光滑管。随Re的增加，层流内层的厚度逐渐减薄，当δL<时，如图1-26（b）所示，壁面凸出部分伸入湍流主体区，与流体质点发生碰撞，使流动阻力增加。当Re大到一定程度时，层流内层可薄得足以使壁面凸出部分都伸到湍流主体中，质点碰撞加剧，致使粘性力不再起作用，而包括粘度μ在内的Re不再影响摩擦系数的大小，流动进入了完全湍流区，此为完全湍流粗糙管。
图1-26 流体流过管壁面的情况

例 分别计算下列情况下，流体流过φ76×3mm、长10m的水平钢管的能量损失、压头损失及压力损失。
（1） 密度为910kg/、粘度为72cP的油品，流速为1.1m/s；
（2） 20℃的水，流速为2.2 m/s。
解：（1）油品：

流动为层流。摩擦系数可从图1-25上查取，也可用式（1-40）计算：

所以能量损失
压头损失
压力损失
（2）20℃水的物性：， Pa·s

流动为湍流。求摩擦系数尚需知道相对粗糙度，查表1-2，取钢管的绝对粗糙度为0.2mm，则
根据Re=1.53×105及＝0.00286查图1-25，得λ＝0.027
所以能量损失
压头损失
压力损失
5. 非圆形管道的流动阻力
对于非圆形管内的湍流流动，仍可用在圆形管内流动阻力的计算式，但需用非圆形管道的当量直径代替圆管直径。当量直径定义为
(1-46)
对于套管环隙，当内管的外径为d1，外管的内径为d2时，其当量直径为

对于边长分别为a、b的矩形管，其当量直径为

在层流情况下，当采用当量直径计算阻力时，还应对式（1-40）进行修正，改写为
（1-47）
式中C为无因次常数。
一些非圆形管的C值见教材。
注意，当量直径只用于非圆形管道流动阻力的计算，而不能用于流通面积及流速的计算。
1.4.2 局部阻力
局部阻力有两种计算方法：阻力系数法和当量长度法。
1. 阻力系数法
克服局部阻力所消耗的机械能，可以表示为动能的某一倍数，即
（1-48）
或 （1-48a）
式中ζ称为局部阻力系数，一般由实验测定。
常用管件及阀门的局部阻力系数见教材。注意表中当管截面突然扩大和突然缩小时，式（1-48）及（1-48a）中的速度u均以小管中的速度计。
当流体自容器进入管内，，称为进口阻力系数；当流体自管子进入容器或从管子排放到管外空间，，称为出口阻力系数。
当流体从管子直接排放到管外空间时，管出口内侧截面上的压强可取为与管外空间相同，但出口截面上的动能及出口阻力应与截面选取相匹配。若截面取管出口内侧，则表示流体并未离开管路，此时截面上仍有动能，系统的总能量损失不包含出口阻力；若截面取管出口外侧，则表示流体已经离开管路，此时截面上动能为零，而系统的总能量损失中应包含出口阻力。由于出口阻力系数，两种选取截面方法计算结果相同。
2．当量长度法
将流体流过管件或阀门的局部阻力，折合成直径相同、长度为的直管所产生的阻力即 （1-49）
或 （1-49a）
式中称为管件或阀门的当量长度。
同样，管件与阀门的当量长度也是由实验测定，有时也以管道直径的倍数表示。见教材。
1.4.3 流体在管路中的总阻力
前已说明，化工管路系统是由直管和管件、阀门等构成，因此流体流经管路的总阻力应是直管阻力和所有局部阻力之和。计算局部阻力时，可用局部阻力系数法，亦可用当量长度法。对同一管件，可用任一种计算，但不能用两种方法重复计算。
当管路直径相同时，总阻力：
（1-55）
或 （1-55a）
式中、分别为管路中所有局部阻力系数和当量长度之和。
若管路由若干直径不同的管段组成时，各段应分别计算，再加和。
例 如附图所示，料液由敞口高位槽流入精馏塔中。塔内进料处的压力为30kPa（表压），输送管路为φ45×2.5mm的无缝钢管，直管长为10m。管路中装有180º回弯头一个，90º标准弯头一个，标准截止阀（全开）一个。若维持进料量为5m3/h，问高位槽中的液面至少高出进料口多少米？
操作条件下料液的物性：， Pa·s
解：如图取高位槽中液面为1-1′面，管出口内侧为2-2′截面，且以过2-2′截面中心线的水平面为基准面。在1-1′与2-2′截面间列柏努利方程：

其中： z1=h； u1≈0； p1=0（表压）；
z2=0； p2=20kPa（表压）；
m/s
管路总阻力

取管壁绝对粗糙度mm，则
从图1-25中查得摩擦系数
由表1-4查得各管件的局部阻力系数：
进口突然缩小
180º回弯头
90º标准弯头
标准截止阀（全开）

J/kg
所求位差

本题也可将截面2-2′取在管出口外侧，此时流体流入塔内，2-2′截面速度为零，无动能项，但应计入出口突然扩大阻力，又，所以两种方法的结果相同。
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