高三数学理二轮专题复习：两角和与差的三角函数人教实验版(B).doc

高三数学理二轮专题复习：两角和与差的三角函数人教实验版（B）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
二轮专题复习：两角和与差的三角函数

二、高考要求
1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2、掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）
3、能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

三. 热点分析
1、近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.
2、对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从近几年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题
3、基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.
4、立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.

【典型例题】
例1 已知，求的范围。
【解析】设=，（A、B为待定的系数），则
=
比较系数∴=
从而可得：

例2 设，求的解的终边相同的角的集合。
【解析】先写出A与B的交集，再写出终边相同的角的集合。
设，则；所以
∴，即，由于
∴；因此
因此所有与的角的终边相同的角的集合为

例3 已知 的最值。
【解析】∵ ∴-， ∴
∵ ∴
即
∴
y =
当sina∈[，1]时，函数y递增，∴当sin=时，ymin=；
当sina∈(，0)时，函数y递减，∴当sina=0时，ymin=
∴ 故当无最大值。

例4 求值
【解析】

例5 已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________.
【解析】解法一：∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜.π＜α+β＜,
∴sin(α－β)=
∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)

解法二：∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－,
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－
sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－
∴sin2α=

例6 不查表求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.
【解析】解法一：sin220°+cos280°+sin20°cos80°
= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°
=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)
=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°
=1－cos40°－(1－cos40°)=
解法二：设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°，y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，
则x+y = 1+1－sin60°=；
x－y = －cos40°+cos160°+sin100°=－2sin100°sin60°+sin100°=0
∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.

例7 设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.
【解析】由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得：

∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞
故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，
y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.

例8 求值：.
【解析】原式的分子

，
原式的分母=
，
所以，原式＝１.

例9 已知，求的值.
【解析】解法1：令，则原题等价于：“已知，求的值. ”
两式分别和差化积并相除得：，所以.
分别将已知两式平方并求和得：,
所以，.
解法2：由平方相加得：.
上述两式平方相减得：.
将上式前两项和差化积，得：，
结合，可解得：.
所以，.

例10 已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围.
【解析】已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式.
任取，且，则不等式恒成立，即恒成立.
化简得
由可知：，所以
上式恒成立的条件为：.
由于

且当时，，所以 ,
从而 ,
有 ,
故的取值范围为.

例11

【解析】∵ A+B+C=π，

例12 在中，分别是角的对边，设，求的值
【解析】由条件，，依据正弦定理，得

在∴

∴
∴； 即

【模拟试题】
1. 的值为 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知=，是第三象限角，则= （ ）
A. C. C. -2 D.
3. 若=，，则的值为 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
4. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若，且，则下列关系正确的是 （ ）
A. B. C. D. 不正确
6. 函数的值域是 （ ）
A. [-2，2] B. [-1，2] C. [-1，1] D. [，2]
7. 若则的值为 （ ）
A. B. C. D.
8. sin50°(1+°)的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
9. 已知sinα=，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_________.
10. 设α∈()，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则sin(α+β)=_________.
11. 已知，求的值
12. 在DABC中，已知三边满足试判定三角形的形状。
13. 在中，分别是角的对边，设，求的值。
14. 在ΔABC中，已知，

【试题答案】
1. B 2. C 3. B 4. B 5. B 6. B 7. D 8. A
9. 解析：∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－，则tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－,

答案：
10. 解析：α∈(),α－∈(0, ),又cos(α－)=.

答案：
11. 解：原式==
∵，上式两边平方，得：
∴；又∵
∴
∴
∴，∴原式
12. 解一：由条件
得

∴DABC为（A为直角或B为直角）
解二：

∴ ∴△ABC为
13. 解：由条件和正弦定理
，∴
∵，∴
又；
∵
∴
∴
14.
∴sin A +sin C +sin A cos C+ cos A sin C=3sinB.
∴sin A +sin C+ sin（A+C）=3sinB.

∴sin A+ sin C=2sinB.

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