例析数学思想在初中数学解题中的作用7.doc

例析数学思想在初中数学解题中的作用
高芳民
（甘肃省宁县新庄初级中学 745203）
【提要】：数学思想和方法是解决数学问题的金钥匙，它不但能提高学生解决数学问题的能力，而且能培养学生的数学思维和素养。从而优化解题过程，降低解题难度，加快解题速度起到事倍功半的作用。
【关键词】：数学思想 初中数学 解题 作用
一、数形结合的思想
数形结合的思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种数学思想方法。在解决反比例函数有关问题中，有时起到事倍功半的效果。

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例1已知反比例函数的图象，如图示，试写出其关系式 ？
分析：通过观察图象可以看出反比例函数图象只在第三象限,且经过A点，只要把A点坐标代入即能求出其关系式。
解：设反比例函数关系式为（）A
由图象知：
当时代入得
所以反比例函数的关系式为 又因图象在第三象限，则自变量。
点评：本题由函数图象（形），知点的坐标(数),进而求得函数解析式，达到数与形的有机结合使抽象的数学直观化，形象化。有助于理解题意，探究思路，检测解题效果。
二、函数与方程的思想
函数是方程的引申，方程是函数的特例。因此利用函数与方程之间的对立统一关系，能进一步提高分析问题和解决问题的能力，对于三角函数中的某些问题，运用函数与方程的思想求解，常可使问题化难为易，得到巧妙的解法。
A
B
C
D
例2、图示在Rt ABC中D是BC上一点，BD=a
求AC的长？
分析：通过观察分析要求AC的长，必解Rt ACD和Rt ABC
解:设AC=x
在Rt ADC中 a
在 Rt ABC中
点评：本题利用三角函数双解直角三角形，设未知数列方程求得所求线段的长，从而使函数与方程有机的结合，达到解决问题的目的。
三、分类讨论的思想
分类讨论的思想是按一定标准将所学对象分成若干个问题，从而获解的思想，它有三个原则即“不越级、不重复、不遗漏”在解含绝对值的一元二次方程中运用分类讨论可将绝对值方程转化为一般方程再求解。
例3： 解方程
分析：要解这个方程，先利用绝对值的意义，对未知数进行分类讨论去掉绝对值化为一般方程求解。
解：①时，原方程可化为解得或x=-1(舍去)
②x<0时，原方程可化为解得或（舍去）
综上所述，原方程的解为或
点评：本题充分运用了实数绝对值的意义进行分类讨论将含绝对值的方程转化为一元二次方程，再求解。
四、整体的思想
整体的思想是从问题的整体结构出发实施整体变形，整体运算的思想，要特别注意这种思想的灵活应用，它可以使许多常规解法较复杂的问题得到易简合理的解决。
例4、解方程
分析：将可看做整体，从而利用因式分解将方程化为 进而转化为两个一元二次方程再求解。
解：原方程可化为： 或
解这两个方程得原方程的解为：
点评；本题充分运用整体的数学思想，利用因式分解的方法将方程转化为两个一元二次方程达到降次，进而求得方程的解，化繁为简，收到事半功倍的作用。
五、转化与化归的思想
转化与化归的思想是指将待求问题转化为已知问题的一种数学思想，化一般为特殊，化未知为已知，在解一元高次方程时常用转化化归来求解。
例5、解方程
解：设则原方程可化为：解这个方程得，或
当 时
当时 这个方程无实数解。
原方程的解为：
点评：本题利用换元的数学方法将高次方程转化化归为一元二次方程求得原方程的解。
六、建模的思想
数学建模就是用数学方法解决实际问题，是用数学语言和方法通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力数学手段。
例6：某商店将进货8元的商品按每件10元出售，每天可以销售200件，现采用提高售价减少进货量的方法增加利润。已知这种商品每涨0.5元，销售量就减少10件。问：每件商品应提高多少元每天才能获得最大利润？
解：设每件商品提高x元，每天获得利润y元。
由题意可得:y=(x+2)(200－20x)=－20（x－4）²+72 故当x=4时，y最大
即每件商品提高4元时才能获得最大利润。
点评：本题据实际问题将其进行二次函数建模，利用二次函数求最值的方法求得实际问题有最大值时，每件商品提高的价格。
七、隐含条件的思想
隐含的思想就是没有明文表达出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表示，但是该条件是常规，是真理，是数学事实。
例7：已知 |x-1|=1-x 求 x的取值范围
错解：由题意可知：x-1<1 所以x<1
分析：错解忽视了0的绝对值也可是它的相反数0，即0的绝对值也为它的相反数0
正解：由实数的绝对值意义可知;X-10 所以X1
点评:本题充分挖掘概念和性质的隐含条件，达到解题的目的。从而培养了学生批判的数学思想。
总之，数学思想是数学知识的神经中枢，又是知识转化为能力的桥梁。因此要提高学生的数学素质，指导学生学习数学方法的养成中，必须牢牢地抓住“数学思想”这一数学链条的教学环节，才能提高学生数学思维和解决问题的能力，进而培养学生的创新意识。

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