周期性有砟轨道结构垂向弯曲振动波复频散分析.pdf
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1、第40 卷第4期2023年8 月文章编号:10 0 5-0 5 2 3(2 0 2 3)0 4-0 0 40-0 7周期性有碓轨道结构垂向弯曲振动波复频散分析华东交通大学学报Journal of East China Jiaotong UniversityVol.40 No.4Aug.,2023徐伟(中铁二十五局集团有限公司,广东广州5 10 6 0 0)摘要:轨道结构的周期性特征对于其内振动波的传播具有滤波特性,开展频散分析对于了解轨道结构的振动传递特性具有重要意义。鉴于此,以有碓轨道结构为研究对象,基于虚拟弹簧模型和能量泛函变分原理提出了能够考虑阻尼因素与材料频变效应的轨道周期结构复频散计
2、算新方法。通过与既有文献结果对比验证了文章方法的准确性,并利用该方法分析了扣件刚度频变效应、扣件阻尼和道确阻尼对轨道结构振动波复频散特性的影响规律。研究结果表明,刚度频变效应及扣件、道雄阻尼对于振动的衰减域及衰减速率有着较大的影响,轨道结构振动传递分析中必须予以考虑。关键词:有咋轨道结构;复频散;带隙特性;阻尼;材料频变效应中图分类号:U213本文引用格式:徐伟.周期性有诈轨道结构垂向弯曲振动波复频散分析 J.华东交通大学学报,2 0 2 3,40(4):40-47.文献标志码:AComplex Dispersion Analysis of Vertical Bending Vibration
3、 Wave ofPeriodic Ballasted Track StructureXuWei(China Reilway 25th Bureau Group Co.,Ltd.,Guangzhou 510600,China)Abstract:The periodic characteristics of the track structure have filtering characteristics for the propagation ofvibration waves within the structure,and dispersion analysis is important
4、for understanding the vibration trans-mission characteristics of the track structure.Based on the virtual spring model and the energy functional varia-tion principle,we propose a new method to calculate the complex dispersion of the periodic structure of the railbased on the virtual spring model and
5、 the energy functional variation principle,which can consider the dampingfactor and the material frequency variation effect.The accuracy of the method is verified by comparing with theexisting literature,and the method is used to analyze the influence law of fastener stiffness frequency variationeff
6、ect,fastener damping and ballast damping on the vibration wave complex dispersion characteristics of trackstructure.The results show that the stiffness frequency variation effect and the fastener and ballast damping havea large influence on the attenuation domain and the attenuation speed of the vib
7、ration,which must be consideredin the vibration transmission analysis of the track structure.Key words:ballasted track structure;complex dispersion;band gap properties;damping;material frequency effectCitation format:XU W.Complex dispersion analysis of vertical bending vibration wave of periodic bal
8、lastedtrack structureJ.Journal of East China Jiaotong University,2023,40(4):40-47.收稿日期:2 0 2 3-0 2-13基金项目:江西省防灾减灾及应急管理重点实验室项目(2 0 2 12 BCD42011)第4期列车和轨道接触产生的振动,既可能对钢轨结构造成损伤,影响列车的运行安全,又会产生辐射噪声对沿线居民的生活带来影响。因此,振动控制一直是轨道交通中迫切需要解决的问题之一。振动是以弹性波的形式在结构中传播的,研究轨道结构振动传播规律对于轨道结构的振动控制具有重要意义。轨道结构可视为由相同的结构单元沿纵向规律排
9、布的周期性结构。周期性特征对于内部振动波的传播具有滤波特性,在特定的频率范围内弹性波因为衰减而无法在结构中传播,也被称为带隙特性 2。对轨道结构开展频散分析对于了解其振动传递特性具有重要意义。频散分析从波传播的角度,仅建立一个周期单元的分析方式,因此具有直观、建模工作量小、计算效率高等优点。频散分析也成为了研究轨道结构传播规律以及轨道结构振动控制的重要分析方式 3-6。频散分析根据其计算模式的不同,可以分为实频散和复频散。实频散是通过给定实波数,求解频率,这种模式求解思路清晰,能够得到弹性波的传播特性,但无法知道衰减。求解实频散的方法很多,常见的求解方法有传递矩阵法 7 、平面波展开法 8 、
10、有限元法 9 、能量法 3,10 等。然而在实际的轨道结构中,往往需要得到结构的衰减特性来判断减振性能,而这是实频散所不能反映的。复频散是通过给定频率,求解复波数。相比于实频散而言,通过复频散结构能够直接获取周期轨道结构波的衰减规律,在进行阻尼、频变效应分析时更加直观,具有更大的应用价值。复频散是通过频率求解波数,这在传统的频散求解方式中是一种逆向求解问题,会导致原本简单的线性问题转化为非线性问题,因此求解难度大。相比于实频散,复频散的求解方式相对较少。目前,复频散的主要求解方法有传递矩阵法,平面波展开法叫和有限元法 12 等。这些方法在各自领域中都有较好的使用,但也有着各自的局限性。传递矩阵
11、法的传递矩阵中不含有波数,因此能够简单的求解出复频散。但仅适用于简单的一维问题。平面波展开法主要用于二维周期结构的复频散求解问题,该方法思路清晰,但在组元参数速度差异较大时,收敛速度较慢;有限元法虽具有很好的几何适用性,但其计算精度依赖于网格划分精度,这不利于大量的参数扫描或参数徐伟:周期性有轨道结构垂向弯曲振动波复频散分析率高的复频散求解方法。能量法可以将求解微分方程问题转化为对泛函极值问题的求解,能够简化耦合问题的计算。但传统的能量法在构建位移函数时难度较大,且其位移函数中含有波数项,在扫描波数计算的过程中,需要不断地进行重复性计算。通过引入虚拟弹簧 13 来模拟复杂结构中的各类边界条件,
12、将约束转化为虚拟弹簧的弹性势能,使得波数项仅存在于周期边界的弹性势能,再将弹性势能中的含波数项与无波数项分离,便可以通过给定频率求解得到复频散。本文将基于能量法,结合虚拟弹簧模型,提出一种新的复频散结构求解方法。并利用该方法对周期性有碓铁路轨道结构垂向振动弯曲波的复频散阻尼效应、频变效应进行分析。1理论计算根据文献 13 ,通过引入虚拟弹簧模型来模拟复杂的边界耦合条件,约束便转化为了系统中的弹性势能,再将含有波数项的虚拟弹簧刚度矩阵与不含波数项的矩阵分开,在每次扫描波数时,便仅需计算虚拟弹簧的刚度矩阵,无需其他穴余计算。那么,在进行频散复频散求解即根据给定频率求解波数时,将虚拟弹簧刚度矩阵中的
13、含波数项与无波数项分开,使得复平面内复杂的非线性微分振动方程求解转化为线性方程求解特征值问题,在保证计算准确性的前提下简便计算。1.1有轨道模型论述有诈轨道结构中主要包括钢轨、扣件、轨枕与道。为同时考虑剪切效应与弯曲效应且减小误差,本文将用连续Timoshenko梁模型来表示钢轨。因本文主要分析垂向振动的波传播规律,文中扣件与道均被考虑为支撑弹簧与黏性阻尼的并联系统;轨枕考虑为集中质量块,如图1所示。轨道结构为沿纵向线对称的重复周期性结构,因此,本文仅取一个元胞中的单侧结构进行分析,最小周期的长度为扣件的间隔1。如图2 所示,相邻的周期单元之间设置虚拟弹簧,将转角弹簧和线弹簧同时连接上一单元的
14、末端与下一单元的首端,二者分别用以满足转角与位移的周期边界条件。建立一个平面直角坐标系,其中沿钢轨纵向为x轴,钢轨的垂向位移与转角分别表示为w,,轨枕等效为41改变。因此有必要发展一种具有良好适用性、计算效42Ballast7777Fig.1 Physical model of ballast track structureTrackFasterSleeperCell图2 有碓轨道结构计算模型Fig.2 Calculation model of ballast track structure集中质量其垂向振动位移可以表示为。根据能量法计算原理,钢轨的位移场函数由形函数f(x)和与时间相关的系数
15、(t)表示为Nn=1N-Zai(0)f,(a)=aijf-fl2n=1式中:N为形函数的个数;上标H为Hermite转置;ai=;(t),(t),(t),2=(t),(t),n2(t)。令=(1,z,u)。1.2构建能量泛函本文的计算基于能量泛函变分原理,其中系统的总能量为系统的应变能与外力做功之和,因此,下文将对钢轨的应变能与动能、扣件的势能、轨枕的动能、道诈的势能以及虚拟弹簧的势能进行计算。轨道为沿纵向对称的结构,取一条钢轨进行分析,将钢轨考虑为Timshenko梁,根据能量泛函变分原理,可以得到钢轨因垂向振动变形而产生的应变能、动能可以表示为12dx+1UB=kiGMAb2012KBEB
16、=2pApwdx+2式中:UB、EBVA b v Pb 分别为钢轨应变能、动能、横截面积与密度;l为截面惯性矩;kb为剪切系数;E为钢轨华东交通大学学报Track的杨氏模量;G,为剪切模量(G=E/2(1+u),为钢轨7FasterSleeper7777图1有碓轨道结构物理模型kisrXkst2小2023年泊松比);KB、M B分别为钢轨的刚度矩阵、质量矩阵。本文中轨枕被等效为集中质量块,则其动能ER可由下式计算得到01Er=mul=2式中:m,、M r 分别为轨枕的等效质量、质量矩阵,0 1为2 Nx2N的零矩阵。本文将扣件、有道床等效为支撑弹簧,扣件kst与道诈的垂向刚度系数可分别表示为k
17、sl,ks2。考虑扣件及道诈的阻尼效应时,扣件刚度和道诈刚度采Ballast用复刚度形式,则二者的刚度可以表示为k=kr(1+imr),*=ks(1+in),其中mr和m分别为扣件和道诈的阻尼损耗因子,则其垂向弹性势能为1kslW2一u21U.2*2s2u22k2HH式中:Ks1,K2分别为扣件与道碓的弹性势能矩阵。(1)本文选择虚拟弹簧模型来模拟轨道结构满足HHw2dxx(2)HMa(3)2(4)mr1Ki2101周期性结构的条件,各元胞结构之间的虚拟弹簧都需要满足沿x轴的位移与转角条件,k为沿x轴波数,则x轴约束条件与虚拟弹簧的弹性势能可以表示为w(0)=w(l)e-hkl 1(0)=(l
18、)e-ikl 1Up=2kh l(0)-(1)/+h.sl/(0)-()e/1(8)式中:Up为道势能;ks,ks分别为虚拟弹簧的位移与转角系数;K为扣件的刚度矩阵。令入=e-kl,则可以得到虚拟弹簧的刚度矩阵为Kp=ksw(0)-w(l)w(0)-w(1)j+kr(0)-(1)(0)-(1)H(9)综上,该模型单个周期单元的系统总能量泛函便可以得到,再由Lagrange方程=0otd可得(Kg+K,i+K,2+Kp-wM)=0式中:M=Mg+MR。那么,通过扫描波数kx,并对式(11)特征值求解就可以得到轨道结构的实频散。(5)1=HK.2(6)2(7)(10)第4期1.3复频散计算复频散的
19、求解模式频散是通过已知频率,得到对复波数,这是一种逆向求解问题。此时边界条件约束内存在未知波数k时,直接求解复平面内的非线性问题计算较为复杂。因此,为解决这一难题,把虚拟弹簧刚度矩阵K中的含有波数项与不含波数项分开,便能够将非线性微分振动方程求解转化为易于求解的线性方程求解特征值问题,可以得到Ks=入Ki+-K2+K3入而后,将上式代人式(10),整理可以得到(Ki+入(0)+K2)=0为便于求解,再针对上式运用降阶法,令入=n,即 入-n=0,可以得到(K亚()(0-K)一入01由于频率是已知的,那么通过对上式进行特征值求解即可求得入,则复波数k,也可得到,进而得到结构频散复频散。Tab.1
20、 Material parameters of double-layer ballasted track structure modelParameterRail density PiRail quality mrVertical stiffness of fasteners krBallast vertical stiffness ksRail moment of inertia l,Elastic modulus of rail E8642徐伟:周期性有碓轨道结构垂向弯曲振动波复频散分析(11)(12)0(13)00表1双层有碓轨道结构模型材料参数ValueParameter7 850 k
21、g/m3Rail cross-sectional area Ab160/kgFastener spacing l75 kN/mmElastic modulus of track slab Ep140 kN/mmRail shear coefficient kb3 217 cm4Rail Poissons ratio 210 CPa-The 1orderThe 2mlorder-The 3rd order432数值分析本文采用虚拟弹簧来模拟周期边界条件约束,弹簧刚度系数的理论值应趋于无穷大,但在实际计算中无法达到,须取一个相对大的值代入计算,但取值过大又会超过计算机的计算量程导致计算结果出错,若
22、是取值偏小则无法达到准确性要求。其次,矩阵维度即形函数的个数越多钢轨形变位移的拟合效果越好,但过多也会增加计算成本。因此,矩阵维度与虚拟弹簧刚度的取值很大程度上影响着计算的速度与准确性。2.1 收敛性分析考虑到计算中矩阵维度和虚拟弹簧刚度系数对计算效率性和结果精确性的影响,本节将以图1为结构对象,随机选取3 条频散曲线,采用控制变量法,分析在N,kst,ks取不同值时波数的收敛性,后二者因数值取值可以相同,统一以k替代。有碓轨道结构模型的各项参数见表15 。由图3 可知,在形函数个数N等于9,ks=10N/m,ks=10N/rad时,各阶对应波数的数值已经明显稳定,那么可以认为实际计算所求得的
23、解便已经收敛,后续计算也使用此参数。20()l10Value77.45 cm0.6 m36 CPa0.40.3The 1st orderThe 2nd orderThe 3l order0068N(a)Matrix dimension is variableFig.3 convergence analysis of ballast track structure model10图3 有碓轨道结构模型收敛性分析5kep(b)Virtual spring stiffness factor is variable10442.2准确性验证为和既有文献进行对比,在本节中,将扣件与道的阻尼均考虑为0,对有
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