安徽省望江县2013届高三数学上学期第五次月考试题-理-新人教A版.doc

望江中学2012—2013学年高三第五月考
数学试题 (理科)
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卷的表格内。
1．复数的的共轭复数是( )
A． B．— C．i D．—I
2．定义运算（ ）
A．(0, 1) B．(-¥, 1) C．(0, 1) D．[1, +¥]
3．已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等
式的最小整数是（ ）
A．5　　　　 B．6　　 C．7　　　 D．8
x
A
B
P
y
O

4. 函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（ ）
A. B. C. D.
5．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ②若；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α； ④若
其中，真命题的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．已知O为原点，点A，B的坐标分别为（a，0），（0，a），a是正的常数，点P在线段AB上，且，则的最大值是 （ ）
A．a 　　 B．2a 　　 　 C．a2 　 D．3a

7．已知函数f(x)的导函数的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是右图中的( )
8. 已知向量与向量的夹角为，若向量且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9．已知定义在R上的函数f(x)不恒为零,且满足，,
则f(x) （ ）
A．是奇函数，也是周期函数 B．是偶函数，也是周期函数
C．是奇函数，但不是周期函数 D．是偶函数，但不是周期函数
10．如左图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界
上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可有
是右图中的( )

第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
11. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 。
12．点所在平面区域的面积是 。

13．三视图如下的几何体的体积为 。

14．由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列，，，…中找出一个无穷等比的子数列，使它所有项的和为，则此子数列的通项公式为__________．
15. 设是正数，且，，，则 。
三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。
16．（12分）已知函数以，其相邻两个最值点的横坐标之差为2π．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c满足（2a-c）cosB=bcosC，求函f（A）的值域．

17.(12分) 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，是的中点.
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角余弦值；　　　　　　　　

18．（ 12分）某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课。对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：
（Ⅰ）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（Ⅱ）某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．

19. （13分）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）求证：.

20.（12分）若椭圆的离心率等于，抛物线的焦点在椭圆的顶点上。
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过的直线与抛物线交P , Q两点，又过P , Q作抛物线的切线， 当时，求直线的方程.

21．（13分）已知

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）当n取何值时，bn取最大值，并求出最大值；
（Ⅲ）若恒成立，求实数t的取值范围．

参考答案

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
A
D
C
A
C
B
A
二、填空题
11． 12. 4 13. 1 14. 错误！未找到引用源。 15.
三、解答题
16．（1）
∵
∴的单调递增区间为
（2）∵
∴

∵
∴
17. 证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
.
（Ⅰ）证明：因
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.　 　
（Ⅱ）解：因

18．解:(1) 3名学生选择的选修课互不相同的概率: ;
(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为,则,
,,.
所以的分布列为

0
1
2
3

数学期望
19. （Ⅰ）解：由已知得：.
由为偶函数，得为偶函数，
显然有.
又，所以，即.
又因为对一切实数恒成立，
即对一切实数，不等式恒成立.
显然，当时，不符合题意.
当时，应满足

注意到 ，解得.
所以.
（Ⅱ）证明：因为，所以.
要证不等式成立,
即证.
因为,
所以
.
所以成立.
20.解：(1)由椭圆方程得，，所以， …2分
由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即
所以 抛物线方程为 ………………5分
(2) 可判断直线的斜率存在，设直线的方程为
设坐标为
联立 整理得
21． 解：（I）∵，，，
∴． ．
又，可知对任何，，所以．…………2分
∵，
∴是以为首项，公比为的等比数列．………4分
（II）由（I）可知= （）．
∴．
．……………………………5分
当n=7时，，；
当n<7时，，；
当n>7时，，．
∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．……8分
（III）由，得 （*）
依题意（*）式对任意恒成立，
①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．…………9分
　　　　 　②当t<0时，由，可知（）．
　　　　　　 而当m是偶数时，因此t<0不合题意．…………10分
　　　　 　③当t>0时，由（）,
∴　∴． （）……11分
　　　　　　 设 （）
　　　　　　∵ =,
　　　　　　∴．
　　　　　　∴的最大值为．
　　　　　　所以实数的取值范围是．

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