广东省汕头市2011届高三数学第一次模拟考试-理.doc

2011年汕头市第一次学业水平测试
理科数学试题及答案
本试卷共21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2. 设集合，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（ ）
A． B． C． D．

－1
0
1
2
3

0.37
1[。
2.72
7.39
20.09

1
2
3
4
5
4．根据表格中的数据，可以判定函数 的一个零点所在的区间为，则的一个值为（ ）

A．0 B．-1
C．2 D．1

甲

乙
3 5
1
4 6
6 6 0
2
1 4 5
5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
图2
6．若函数（，，）在 一个周期内的图象如图2所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则（ ）
A． B． C． D．
7．下面为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
俯视图：
半径为1的圆
图3
正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形
侧视图： 上半部分是半径为1的圆，下半部分是高为1的矩形

A. B. C. D.
8．图3中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高
为和的两矩形所构成．设函数是图中
阴影部分介于平行线及之间的那一部分的面积，
则函数的图象大致为 （ ）

二、 填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分）
（一） 必做题(9～13题)
9．二项式的展开式中常数项是第 ▲ 项。
10．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n，向量=(m,n),=(3,6),则向量与共线的概率为[ ▲ ．]
11、若平面区域是一个梯形，则实数的取值范围是[ ▲ ．

12．若双曲线－=1的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为　 ▲ ．
结束
输入
开始
输出, k

是
否
k=0

k= k+1

13．按下列程序框图运算：
若输入，则输出k= ▲ ；
若输出k=3，则输入的取值范围是 ▲ ．

A
P
M
N
B
C
Q
（二） 选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如图，正的边长为2，点分别是边的中点，直线与的外接圆的交点为、Q，则线段= ．

15．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，圆的极坐标方程为，过极点的一条直线与圆相交于，两点，且∠，则= ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分l2分）
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为
且
（Ⅰ）求的大小;
（Ⅱ）若 求△ABC。

17．（本小题满分12分）
日销售量
1
1.5
2
频数
10
25
15
频率
0.2

某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：

（Ⅰ）填充上表；
（Ⅱ）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.
①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：
千元），求的分布列.

18．(本小题满分14分)
如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求正方形ABCD的边长；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。

19.（本小题满分14分）
给定椭圆： ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．
（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程
（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点(0, )，使得过点作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。

20.（本小题满分14分）
设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中．
(Ⅰ)求数列的首项和公比；
(Ⅱ)当时，求；
(Ⅲ)设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

21.(本小题满分14分)
已知函数是函数的极值点。
（Ⅰ）当时，求a的值，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当R时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.
（Ⅲ）是否存在这样的直线，同时满足：
①是函数的图象在点处的切线
②与函数 的图象相切于点，
如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由。
汕头市2011年普通高中高三教学质量测评
理科数学试题答案和评分初步标准
一、选择题：ABCD BCDC
1．A．解：因为，
所以复数的虚部是
2．B．解：因为，且，“”是“”的必要不充分条件。
3．C；解：，；
∴=1，因此．
4．D 由表可知 时 零点在内。
5．B 解：计算得=20，，所以选B。
6．C 解：由图像知，所以，又

7．D 解：根据题意，该几何体图为圆柱和一个1/4的球的组合体，所以体积为。
8．C 解：由图2中阴影部分介于平行线及之间的那一部分的
面积的增速知C答案符合。
三、 填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分
（二） 必做题(9～13题)
9． 5 。 解：即，所以常数项是第5项。
10． . 解：向量与共线得，符合要求的(m,n)有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，则向量与共线的概率为。
11、 解：平面区域是一个梯形，
则图形如右图，所以实数的取值范围是。
12、 解：双曲线－=1的渐近线为
即，圆的圆心（2,0）到的距离为,得，
所以双曲线的离心率。
13． 4， （3分）； （2分）
解：若输入，则k=4时，，则输出k=4；
若输出k=3，则k=2时，当k=3时
所以输入的取值范围是。
（三） 选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．
解：设，则,由相交弦定理可得
即.
15．______．
解：圆的直角坐标系方程为：，圆心（0,1）到直线的距离为，则弦长=。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分l2分）
解：(1) ……………… 2分
即 ……………… 4分
……………… 5分
……………… 6分
(2) 若 由余弦定理得 …… 2分
所以 ……………… 6分
17．（本小题满分12分）
解：(1 ) 求得0.5 0.3. …… 2分
(2) ①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率 …… 1分
设5天中该种商品有天的销售量为1.5吨，则～B（5,0.5） …… 2分
…… 4分
②的可能取值为4,5,6,7,8，则

(每个1分) …… 9分
的分布列:

4
5
6
7
8
p
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
…… 10分

18．(本小题满分14分)
解：（1） AE是圆柱的母线底面BEFC, …… 1分
又面BEFC …… 2分
又ABCD是正方形
又面ABE …… 3分
又面ABE …… 4分
（2）四边形为矩形，且ABCD是正方形 EFBC
四边形EFBC为矩形 BF为圆柱下底面的直径 …… 1分
设正方形ABCD的边长为，则AD=EF=AB=
在直角中AE=2，AB=，且BE2+AE2= AB2，得BE2=2-4
在直角中BF=6，EF=，且BE2+EF2= BF2，的BE2=36-2 …… 2分
解得=，即正方形ABCD的边长为 …… 3分
（3）解法一：如图以F为原点建立空间直角坐标系,
则A(，0，2),B(，4，0),E(，0，0),
(，0， 2),(，4，0),
(，0，0) …… 1分
设面AEF的法向量为(，，)，则
… 3分
令，则即(，，) …… 4分
设直线与平面所成角的大小为，则
…… 6分
所以直线与平面所成角的正弦值为。 …… 7分

解法二：如图以E为原点建立空间直角坐标系,
则A(0，0，2),B(4，0，0),F(0，，0),
(-4，，0), (0，，-2),
(0，，0) …… 1分
设面AEF的法向量为(，，)，则
…… 3分
令，则即(，，) …… 4分
设直线与平面所成角的大小为，则
…… 6分
所以直线与平面所成角的正弦值为。 …… 7分
19.（本小题满分14分）
解：（1）由题意得：得，半焦距 …… 2分
则椭圆的方程为 ．．．．3分
“伴随圆”的方程为 ．．．．5分
（2）假设y轴上存在点(0, )，
则设过点且与椭圆有一个交点的直线为：， …… 1分
则　　整理得 ．．．．．．．3分
所以，解 ① ．．．．5分
又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，
则有 化简得 ② ．．．．7分
联立①②解得，，所以
所以y轴上存在点(0, ) ．．．．9分
20.（本小题满分14分）
⑴由已知，所以； ．．．．1分
，所以，解得； ．．．．2分
所以数列的公比； ．．．．3分
⑵当时，， ．．．．1分
，………………………①，
，……………………②， ．．．．2分
②－①得，
所以， ．．．．4分
．．．．．5分
⑶， ．．．．1分
因为，所以由得，．．．．2分
注意到，当n为奇数时，； ．．．．3分
当为偶数时，， ．．．．4分
所以最大值为，最小值为． ．．．．5分
对于任意的正整数n都有，
所以，解得， ．．．．6分
21.(本小题满分14分)
解：（1）,
． ．．．．1分
由已知得，解得a=1． ……2分
．
当时，，当时，．又， ．．．．3分
当时，在，上单调递增，在上单调递减． ………4分
（2）由（1）知，当时，单调递减，
当，单调递增，. ………………2分
要使函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个不同的交点.
①当时，m=0或； ．．．．3分
②当b=0时，； ．．．．4分
③当. ．．．．5分
（3）假设存在， 时，

函数的图象在点处的切线的方程为： ．．．．1分
直线与函数的图象相切于点，
，，所以切线的斜率为
所以切线的方程为
即的方程为： …………2分
得
得其中 ．．．．3分
记其中

令 ．．．．4分

1

+
0
-

极大值

又，

所以实数b的取值范围的集合： …………5分

- 14 -
用心 爱心 专心