陕西省西安市五校联考高考数学第三次模拟考试-理.doc

长长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学
高2012届第三次模拟考试
数学（理）试题

注意事项：
（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．
（2）答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．
（3）选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
（4）非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
（5）考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．
第一卷（选择题 共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
　1．命题“存在”的否定是 （ ）
A．存在 B．不存在
C． 对任意 D．对任意
2．已知与之间的几组数据如下表:
X
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则与的线性回归方程必过 （ ）
A． B． C． D．
3． 已知．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
　　Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　Ｄ．
4．在数列中，（为虚数单位），，则的值为 （ ）
A．-2 B．0 C．2 D． 2i
5．函数，则此函数图像在点处的切线的倾斜角为　（　　）
Ａ．０　　　　　　Ｂ．锐角　　　　　　Ｃ．直角　　　　　Ｄ．钝角
6．已知集合，集合
集合A与B的关系是 （ ）
A． B． C． D．
7．若变量满足约束条件，，则取最小值时， 二项展开式中的常数项为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 若存在，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
9．在中, 已知向量, ,
则的面积为 ( )
A． B． C． D．
10． 已知点、，是直线上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是 （ ）
A． 与一一对应 B．函数无最小值，有最大值
　　　C．函数是增函数 D．函数有最小值，无最大值
二、填空题 (共5小题, 每题5分,计25分.将正确的答案填在题后的横线上)
11．观察下列式子：，， ，由此可归纳出的一般结论是 ．
12．阅读右面的程序，当分别输入时，
输出的值　　　　．
13．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）
的作用而处于平衡状态．已知成角，且大小
为2和4，则的大小为 ．
14．如图，一个三棱锥的三视图的轮廓都是边长为1的正
方形，则此三棱锥外接球的表面积 ．
　15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题评分）
A．对于实数，若，，则的最大值 ．
　B．圆（为参数）的极坐标方程为　　　　　　　．
Ｃ．如图，切圆于点，割线经过圆心，，则 .
三、解答题 (共6小题，计75分。需写清详细解答步骤或证明过程)
16．(本小题12分)已知四个正实数前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个与第三个的和为8，第二个与第四个的积为36.
(Ⅰ) 求此四数；
（Ⅱ）若前三数为等差数列的前三项，后三数为等比数列的前三项，令，求数列的前项和．
17．(本小题12分)如图，已知的半径是１，点Ｃ在直径AB的延长线上, , 点P是上半圆上的动点, 以为边作等边三角形，且点D与圆心分别在的两侧．
　(Ⅰ) 若，试将四边形的面积表示成的函数；
(Ⅱ) 求四边形的面积的最大值．
18．(本小题12分) “剪刀、石头、布”游戏的规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”， “剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，如果所出的拳相同，则为和局．现甲乙二人通过“剪刀、石头、布”游戏进行比赛．
(Ⅰ) 设甲乙二人每局都随机出“剪刀”、“石头”、“布”中的某一个，求甲胜乙的概率；
（Ⅱ）据专家分析，乙有以下的出拳习惯：① 第一局不出“剪刀”；② 连续两局的出拳方法一定不一样，即如果本局出“剪刀”，则下局将不再出“剪刀”，而是选“石头”、“布”中的某一个．假设专家的分析是正确的，甲根据专家的分析出拳，保证每一局都不输给乙．在最多５局的比赛中，谁胜的局数多，谁获胜．游戏结束的条件是：一方胜３局或赛满５局，用Ｘ表示游戏结束时的游戏局数，求Ｘ的分布列和期望．
19．(本小题12分)如图，在四棱锥中，底面为
平行四边形，底面，，，
，，E在棱上，
(Ⅰ) 当时，求证： 平面；
(Ⅱ) 当二面角的大小为时，
求直线与平面所成角的正弦值．
20． (本小题13分)设动点
到定点的距离比到轴的距离大．记点的轨迹为曲线C．
　（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）设圆M过，且圆心M在P的轨迹上，是圆Ｍ 在轴的截得的弦，当Ｍ 运动时弦长是否为定值？说明理由；
（Ⅲ）过作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形面的最小值．
21． (本小题14分)已知，函数（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）设数列的通项，是前项和，证明：．

长长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学
高2012届第三次模拟考试
数学（理）答案
一、选择题：DCAADBADAB
二、填空题
11. 12. 13. 14.
15. A 、6 B、 C、
三、解答题
16．解：(1)设此四数为
由题意知, 所求四数为2,4,6,9
(2) 利用错位相减求和得
17．解：　(1)在中，由余弦定理，得

=

=．
(2)当,即时,．
答：　四边形面积的最大值为
18．解：(1) 甲胜乙的概率为P=
(2) 第一局乙不出“剪刀”，则只能出“石头”或“布”，此时甲应该出“布”，才能保证不输给乙，甲胜的概率为；不妨设乙第一局出的“石头”，则乙第二局只能出“剪刀”或“布”，此时甲应出“剪刀”,，才能保证不输给乙，则甲胜的概率为；同理第三、四、五局甲胜的概率也为．
　　　　Ｘ的可能取值为3,4,5

Ｘ的分布列为　略
期望
19．解：在中,,
又,以A为坐标原点，所在直线为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则 , ,

(1)

(2) ,底面，

为二面角的平面角,即=,此时Ｅ为的中点

　　　　设平面的法向量为　计算可得

　　　　即直线与平面所成角的正弦值为．
　　20．解：(1) 由题意知，所求动点为以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为；
(2) 设圆心，半径
圆的方程为
令得
即弦长为定值；
　　　　(3)设过F的直线方程为 ,
由得
由韦达定理得
同理得
四边形的面积.
21．解：(1)
若时, 函数在区间是减函数 ;
时 函数在区间是减函数,是增函数;
综上所述 略
(2)由（1）可知，时，函数在定义域的最小值为0，
在上成立
令得
令

8
用心 爱心 专心