高三数学第二轮专题01函数(1).doc

高三数学第二轮专题1：含有绝对值的函数问题（１）
江苏省梁丰高级中学 顾云良
一、 复习要点
函数是高考的难点，特别是含有绝对值的函数问题难度都比较大，当涉及到最值问题（定轴定区间、定轴变区间、变轴定区间、变轴变区间）时，分类讨论与数形结合是常用方法.
二、基础训练
1.在上为增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】.
2.关于的方程的实数解的个数为 .
【答案】1个.
3.有4个根，则实数的取值范围是 .
【答案】.
4.若不等式a＋≥在x∈(，2)上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】.
三、典型例题
例题1已知.
（1）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；
（2）若在R上恒为增函数，试求的取值范围.
【分析】(1)是一个具体清晰的函数，讨论去掉绝对值就可以了，（2）必须结合图像进行分析.
【解答】（1）当时， .
(ⅰ)时，，
当时，；当时，.
(ⅱ)当时，
当时，；当时， .
综上所述，当或4时，；当时， .
（2），
在上恒为增函数的充要条件是，解得 .
【反思】对于既有自变量又有参变量的问题，应该充分利用数形结合思想进行分析.

例2 已知函数，.
（1） 若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求函数在区间[-2,2]上的最大值.
【分析】本题是含有绝对值的二次型函数，涉及最值问题，去掉绝对值后，就属于二次函数（动轴定区间、定轴变区间）的最值问题了.
【解答】(1)方程即，
，显然是方程的根，所以方程
无解或者只有一个解（这种情况不成立），.
（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，
①当时，（*）显然成立，此时；
②当时，（*）可变形为，令
因为当时，，当时，，所以，故此时.
综合①②，得所求实数的取值范围是.
（3）解法一：去掉绝对值后单独讨论.,
当.
（ⅰ）当即时，；
(ⅱ)当即时，；
(ⅲ)当即时，.
当.
（ⅰ）当即时，；
(ⅱ)当即时，；
(ⅲ)即时，.
综上所述：当时，；
当时，；
当时，；
当时，.

解法二：考虑到对称轴是关于轴对称的，所以两个图像整体研究，注意到两个函数图像都经过（1,0）.
（ⅰ）当时，即，此时，
.
(ⅱ)当时，即，此时，在 单调递减，
.

(ⅲ)当，即时，
，在 单独递减，
.
(ⅳ)当时，，，在 单独递减，.
【反思】本题是改编题，分段函数的性质是高考考查的重要知识点，该试题立足基础考查了分类讨论、数形结合的思想方法.对学生思维能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力较高.

课后练习： 班级 姓名
1.函数在上是增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】.
2. 已知t为常数，函数在区间上的最大值为2，则实数 ．
【答案】1.
3. 已知f（x）=|x2－4|+x2+kx，若f(x)在(0,4)上有两个不同的零点x1，x2，则k的取值范围是 .
【答案】.
4.已知函数，关于的方程，给出下列四个命题：
① 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
② 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③ 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④ 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中真命题的序号为 ．
【答案】①②③④.
5.若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
6.设是实数，函数（）．
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，求满足不等式的的取值范围；
（3）求函数的值域（用表示）．
【分析】分类讨论没有统一的标准，可以理解为：“当运算不能进行时，需要讨论”.
【解答】(1)函数不是奇函数.
（2） ，，即
；
当，不等式*即；
当，此时两根均由负根，而.
综上所述：当，；当，.
（3） 令，则
当时，，上单调递增，.
当时，
，
恒过，当时，；
当时，.
综上所述：当时，的值域为；
当时，的值域为；
当时，的值域为.
【反思】分类讨论时，有时候对变量（如、）进行讨论，有时候要对参数（如）进行讨论.

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