【步步高】2014届高三数学大一轮复习-专题三-三角函数与平面向量的综合应用教案-理-新人教A版-.doc

专题三　三角函数与平面向量的综合应用

1． 三角恒等变换
(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．
(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．
(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围．
2． 三角函数的性质
(1)研究三角函数的性质，一般要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．
(2)在讨论y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t＝ωx＋φ，y＝Asin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的．
3． 解三角形
解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现．
4． 平面向量
平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．

1． 已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．
答案　－
解析　＝＝tan α.
根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
所以＝－.
2． 已知f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)的一条对称轴为y轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.
答案　
解析　f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)
＝2sin，由θ＋＝kπ＋ (k∈Z)及θ∈(0，π)，可得θ＝.
3. 如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|∈)图象
的一部分，则f(x)的解析式为____________．
答案　f(x)＝2sin＋1
解析　由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1.
由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈，得φ＝.
由图象知ω(－π)＋φ＝2kπ－ (k∈Z)，
得ω＝－2k＋(k∈Z)．又>2π，
∴0<ω<1.∴ω＝.
∴函数f(x)的解析式是f(x)＝2sin＋1.
4． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，
连接EC、ED，则sin∠CED＝________.
答案　
解析　方法一　应用两角差的正弦公式求解．
由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°，
在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1，
∴CE＝，则sin∠CEB＝，cos∠CEB＝.
而∠CED＝45°－∠CEB，
∴sin∠CED＝sin(45°－∠CEB)
＝(cos∠CEB－sin∠CEB)
＝×＝.
方法二　利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解．
由题意得ED＝，EC＝＝.
在△EDC中，由余弦定理得
cos∠CED＝＝，
又0<∠CED<π，
∴sin∠CED＝
＝＝.
5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB
＝3，P是BC上的一个动点，当·取得最小值时，tan∠DPA的
值为________．
答案　
解析　如图，以A为原点，建立平面直角坐标系xAy，则A(0,0)，
B(3，0)，C(3,2)，D(0,1)，设∠CPD＝α，∠BPA＝β，
P(3，y) (0≤y≤2)．
∴＝(－3,1－y)，＝(－3，－y)，
∴·＝y2－y＋9＝2＋，
∴当y＝时，·取得最小值，此时P，
易知||＝||，α＝β.
在△ABP中，tan β＝＝6，
tan∠DPA＝－tan(α＋β)＝＝.

题型一　三角恒等变换
例1　设<α<，sin＝，求的值．
思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系．
解　方法一　由<α<，
得<α－<，又sin＝，
所以cos＝.
所以cos α＝cos[(α－)＋]
＝coscos －sinsin ＝，
所以sin α＝.
故原式＝＝cos α(1＋2sin α)＝.
方法二　由sin＝，得sin α－cos α＝，
两边平方，得1－2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝>0.
由于<α<，故<α<.
因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
故sin α＋cos α＝，
解得sin α＝，cos α＝.下同方法一．
探究提高　三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响．
已知cos＋sin α＝，则sin的值是 (　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　C
解析　cos＋sin α＝⇒sin α＋cos α＝⇒sin＝，
所以sin＝－sin＝－.
题型二　三角函数的图象与性质
例2　(2011·浙江)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ<，y＝
f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，
点P的坐标为(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．
思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决．
解　(1)由题意得T＝＝6.
因为P(1，A)在y＝Asin(x＋φ)的图象上，
所以sin(＋φ)＝1.
又因为0<φ<，所以φ＝.
(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．

由题意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)．
连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得
cos∠PRQ＝＝＝－，解得A2＝3.又A>0，所以A＝.
探究提高　本题确定φ的值时，一定要考虑φ的范围；在三角形中利用余弦定理求A是本题的难点．
已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A，B，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．
解　(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π，又因为当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋ (k∈Z)，φ＝2kπ＋ (k∈Z)，
所以f(x)＝2sin＝2sin.
故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋ (k∈Z)，解得x＝k＋，由≤k＋≤，解得≤k≤，又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.
题型三　三角函数、平面向量、解三角形的综合应用
例3　已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．
思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC中，求出∠A的范围，再求f(A)的取值范围．
解　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2
＝sin ＋＝sin＋，
∵m·n＝1，∴sin＝.
cos＝1－2sin2＝，
cos＝－cos＝－.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.
∴cos B＝，∵0<B<π，∴B＝.∴0<A<.
∴<＋<，sin∈.
又∵f(x)＝sin＋.
∴f(A)＝sin＋.
故函数f(A)的取值范围是.
探究提高　(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．
(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0.
(1)判断△ABC的形状；
(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求a，b，c的值．
解　(1)因为lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0，
所以＝≠1，所以sin 2A＝sin 2B且a≠b.
因为A，B∈(0，π)且A≠B，
所以2A＝π－2B，即A＋B＝且A≠B.
所以△ABC是非等腰的直角三角形．
(2)由m⊥n，得m·n＝0.所以2a2－3b2＝0.①
由(m＋n)·(n－m)＝14，得n2－m2＝14，
所以a2＋9b2－4a2－b2＝14，即－3a2＋8b2＝14.②
联立①②，解得a＝，b＝2.所以c＝＝.
故所求的a，b，c的值分别为，2，.

高考中的平面向量、三角函数客观题

典例1：(5分)(2012·山东)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
考点分析　本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想．
解题策略　根据整体思想，找出角x－的范围，再根据图象求函数的最值．
解析　由题意－≤－≤.
画出y＝2sin x的图象如图，知，
当x－＝－时，ymin＝－.
当x－＝时，ymax＝2.
故ymax＋ymin＝2－.
答案　A
解后反思　(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)可看作由函数y＝Asin t和t＝ωx＋φ构成的复合函数．
(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到．
典例2：(5分)(2012·天津)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ等于 (　　)
A. B. C. D．2
考点分析　本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力．
解题策略　根据平面向量基本定理，将题中的向量，分别用向量，表示出来，再进行数量积计算．
解析　＝－＝(1－λ)－，
＝－＝λ－，
·＝(λ－1)2－λ2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝.
答案　B
解后反思　(1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础；
(2)本题在求解过程中利用了方程思想．

方法与技巧
1．研究三角函数的图象、性质一定要化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后利用数形结合思想求解．
2．三角函数与向量的综合问题，一般情况下向量知识作为一个载体，可以先通过计算转化为三角函数问题再进行求解．
失误与防范
1．三角函数式的变换要熟练公式，注意角的范围．
2．向量计算时要注意向量夹角的大小，不要混同于直线的夹角或三角形的内角．

A组　专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． (2012·大纲全国)△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则等于 (　　)
A.a－b B.a－b
C.a－b D.a－b
答案　D
解析　利用向量的三角形法则求解．
如图，∵a·b＝0，∴a⊥b，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝.
又CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，
∴AD＝.∴＝＝(a－b)＝a－b.
2． 已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x,2cos x)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是(　　)
A. B．π C．2π D．4π
答案　B
解析　f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝1＋cos 2x＋sin 2x
＝1＋sin，T＝＝π.
3． 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为 (　　)
A.， B.， C.， D.，
答案　C
解析　由m⊥n得m·n＝0，即cos A－sin A＝0，
即2cos＝0，
∵<A＋<，∴A＋＝，即A＝.
又acos B＋bcos A＝2Rsin Acos B＋2Rsin Bcos A
＝2Rsin(A＋B)＝2Rsin C＝c＝csin C，
所以sin C＝1，C＝，所以B＝π－－＝.
4． 已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cos α，sin α)，则向量与向量的夹角的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意，得：＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，所以
点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量与圆相
切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选D.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． (2012·北京)在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．
答案　
解析　利用正弦定理及三角形内角和性质求解．
在△ABC中，由正弦定理可知＝，
即sin B＝＝＝.
又∵a>b，∴∠B＝.
∴∠C＝π－∠A－∠B＝.
6． 在直角坐标系xOy中，已知点A(－1,2)，B(2cos x，－2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x∈[0，π]，若⊥，则x的值为______．
答案　或
解析　因为＝(2cos x＋1，－2cos 2x－2)，＝(cos x,1)，
所以·＝(2cos x＋1)cos x＋(－2cos 2x－2)·1
＝－2cos2x＋cos x＝0，
可得cos x＝0或cos x＝，所以x的值为或.
7． 已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则＝________.
答案　－
解析　由题意知，f′(x)＝cos x＋sin x，由f′(x)＝2f(x)，
得cos x＋sin x＝2(sin x－cos x)，得tan x＝3，
所以＝
＝＝＝－.
三、解答题(共22分)
8． (10分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈.
(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．
解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，
2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，
由||＝||，可得2＝2，
即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.
又α∈，∴α＝.
(2)由·＝－1，
得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
∴sin α＋cos α＝.①
又＝＝2sin αcos α.
由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－.∴＝－.

9． (12分)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsin A.
(1)求B的大小；
(2)求cos A＋sin C的取值范围．
解　(1)由a＝2bsin A，
根据正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，
所以sin B＝，由△ABC为锐角三角形可得B＝.
(2)由(1)可知A＋C＝π－B＝，故C＝－A.
故cos A＋sin C＝cos A＋sin
＝cos A＋sin＝cos A＋cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝
＝sin，
由△ABC为锐角三角形可得，0<C<，
故0<－A<，解得<A<，
又0<A<，所以<A<.
故<A＋<，所以<sin<，
所以<sin<，
即cos A＋sin C的取值范围为.
B组　专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． (2012·江西)已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f，则 (　　)
A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．a＋b＝1 D．a－b＝1
答案　C
解析　将函数整理，利用奇函数性质求解．
由题意知f(x)＝sin2
＝＝，令g(x)＝sin 2x，
则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋，
a＝f(lg 5)＝g(lg 5)＋，b＝f＝g＋，
则a＋b＝g(lg 5)＋g＋1＝g(lg 5)＋g(－lg 5)＋1＝1，故a＋b＝1.
2． 已知a＝，b＝(1，)，则|a＋tb| (t∈R)的最小值等于 (　　)
A．1 B. C. D.
答案　B
解析　方法一　a＋tb＝，
∴|a＋tb|2＝2＋2
＝4t2＋2t＋1＝42＋，
∴当t＝－时，|a＋tb|2取得最小值，
即|a＋tb|取得最小值.
方法二　如图所示，＝a，＝b，在OB上任取一点T，使得
＝－tb (t<0)，则|a＋tb|＝||，显然，当AT⊥OB时，取最小值．
由·＝(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝0，
得t＝－，∴当t＝－时，|a＋tb|取得最小值.
3． 在△ABC中，·＝3，△ABC的面积S△ABC∈，则与夹角的取值范围是
(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　记与的夹角为θ，·＝||·||·cos θ＝3，||·||＝，S△ABC＝||·||·sin(π－θ)＝||·||sin θ＝tan θ，由题意得tan θ∈，所以θ∈，正确答案为B.
二、填空题(每小题5分，共15分)
4． (2011·安徽)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，则f(x)的单调递增区间是__________．
答案　(k∈Z)
解析　由∀x∈R，有f(x)≤知，当x＝时f(x)取最值，∴f＝sin＝±1，
∴＋φ＝±＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋2kπ或φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
又∵f>f(π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，
∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－＋2kπ(k∈Z)．
不妨取φ＝－，则f(x)＝sin.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
∴＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，
∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
5．若0<α<，－<β<0，cos＝，
cos＝，则cos＝________.
答案　
解析　∵0<α<，∴sin＝，
∵－<β<0，∴sin＝，
则cos＝cos[－]
＝×＋×＝.
6． (2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初
始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向
滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
答案　(2－sin 2,1－cos 2)
解析　利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解．

设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝＝2.
设P(x，y)，
则x＝2－1×cos
＝2－sin 2，
y＝1＋1×sin＝1－cos 2，
∴的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．
三、解答题
7． (13分)已知f(x)＝loga(a>0且a≠1)，试讨论函数的奇偶性、单调性．
解　f(x)＝loga
＝loga.
故定义域为cos 2x≠1，即{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称且满足f(－x)＝f(x)，所以此函数是偶函数．
令t＝(1－cos 2x)，
则t的递增区间为(k∈Z)；
递减区间为(k∈Z)．
所以，当a>1时，f(x)的递增区间为(k∈Z)；递减区间为(k∈Z)．
当0<a<1时，f(x)的递增区间为(k∈Z)；递减区间为(k∈Z)．
17