2022年江苏省泰州市姜堰区第四中学九年级数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列说法正确的是（ ）
A．所有菱形都相似 B．所有矩形都相似
C．所有正方形都相似 D．所有平行四边形都相似
2．下列函数属于二次函数的是（　　）
A．y＝x﹣ B．y＝（x﹣3）2﹣x2
C．y＝﹣x D．y＝2（x+1）2﹣1
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
4．方程x=x(x-1)的根是（ ）
A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=2
5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．与轴有两个交点
6．若将抛物线的函数图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，可得到一个新的抛物线的图象，则所得到的新的抛物线的解析式为(　　)
A． B．
C． D．
7．抛物线y=(x-3)2+4的顶点坐标是（ ）
A．(-1，2) B．(-1，-2) C．(1，-2) D．(3，4)
8．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）

A． B．2 C． D．2
9．如图，是的外接圆，，点是外一点，，，则线段的最大值为（ ）

A．9 B．4.5 C． D．
10．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）
A．y=-3x2-1 B．y=-x2+1 C．y=x2+3 D．y=-x2-5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为_____．

12．在平面直角坐标系中，直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m ）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t=_____秒时，⊙P与坐标轴相切.

13．如图，⊙O与抛物线交于两点，且，则⊙O的半径等于_______．

14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是____．

15．函数中，自变量的取值范围是_____．
16．点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是_____．
17．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为_________．
18．二次函数y＝4(x﹣3)2+7的图象的顶点坐标是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）速滑运动受到许多年轻人的喜爱。如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为米，且坡面的坡度为.后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为.
（1）求新坡面的坡角及的长；
（2）原坡面底部的正前方米处是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙米。请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据：）

20．（6分）已知直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求抛物线解析式；
（2）点C（m，0）在线段OA上（点C不与A，O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE＝AD，求m的值；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与双曲线y=(k≠0)相交于A，B两点，且点A的横坐标是1．
(1)求k的值；
(2)过点P(0，n)作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y=x﹣2交于点M，与双曲线y= (k≠0)交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．

22．（8分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：
x（元）
15
20
30
…
y（袋）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
23．（8分）已知布袋中有红、黄、蓝色小球各一个，用画树状图或列表的方法求下列事件的概率.
（1）如果摸出第一个球后，不放回，再摸出第二球，求摸出的球颜色是“一黄一蓝”的概率.
（2）随机从中摸出一个小球，记录下球的颜色后，把球放回，然后再摸出一个球，记录下球的颜色，求得到的球颜色是“一黄一蓝”的概率.
24．（8分）中国古贤常说万物皆自然，而古希腊学者说万物皆数.同学们还记得我们最初接触的数就是“自然数”吧!在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特珠的自然数—“喜数”.
定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的倍（为正整数），我们就说这个自然数是一个“喜数”.
例如：24就是一个“4喜数”，因为
25就不是一个“喜数”因为
（1）判断44和72是否是“喜数”？请说明理由；
（2）试讨论是否存在“7喜数”若存在请写出来，若不存在请说明理由.
25．（10分）已知：如图（1），射线AM∥射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：AD+BC=CD；
（3）当 AD+DE=AB=时．设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．

26．（10分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，按下列要求画出图形．

（1）在图①中找到两个格点C，使∠BAC是锐角，且tan∠BAC＝；
（2）在图②中找到两个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据相似多边形的定义一一判断即可．
【详解】A．菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，故选项A错误；
B．矩形的对应边不一定成比例，对应角一定相等，故选项B错误；
C．正方形对应边一定成比例，对应角一定相等，故选项C正确；
D．平行四边形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似多边形的判定，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2、D
【分析】由二次函数的定义：形如，则是的二次函数，从而可得答案．
【详解】解：A．自变量x的次数不是2，故A错误；
B．整理后得到，是一次函数，故B错误
C．由可知，自变量x的次数不是2，故C错误；
D．是二次函数的顶点式解析式，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
3、A
【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．
【详解】解：如图，在Rt△ABC中，

∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝，
∴sinB＝＝
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4、D
【详解】解：先移项，再把方程左边分解得到x（x﹣1﹣1）=0，
原方程化为x=0或x﹣1﹣1=0，
解得：x1=0； x2=2
故选D．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧进行计算是解题关键．
5、B
【分析】根据二次函数基本性质逐个分析即可.
【详解】A.a=3， 开口向上，选项A错误
B. 顶点坐标是，B是正确的
C. 对称轴是直线，选项C错误
D. 与轴有没有交点，选项D错误
故选:B
【点睛】
本题考核知识点：二次函数基本性质：顶点、对称轴、交点.解题关键点：熟记二次函数基本性质.
6、C
【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向右平移1个单位可得到抛物线；由“上加下减”的原则可知，将抛物线先向下平移2个单位可得到抛物线．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7、D
【解析】根据抛物线解析式y=(x-3)2+4,可直接写出顶点坐标.
【详解】y=(x-3)2+4的顶点坐标是(3，4).
故选D.
【点睛】
此题考查了二次函数y=a(x-h)2+k的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k，顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=k.
8、C
【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE和a．
【详解】过点D作DE⊥BC于点E
.
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm1．.
∴AD=a.
∴DE•AD＝a.
∴DE=1.
当点F从D到B时，用s.
∴BD=.
Rt△DBE中，
BE=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC=a-1，DC=a，
Rt△DEC中，
a1=11+（a-1）1.
解得a=.
故选C．
【点睛】
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
9、C
【分析】连接OB、OC，如图，则△OBC是顶角为120°的等腰三角形，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可得 ，于是求OP的最大值转化为求PM的最大值，因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，据此求解即可.
【详解】解：连接OB、OC，如图，则OB=OC，∠BOC=2∠A=120°，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，
过点O作ON⊥PM于点N，则∠MON=60°，MN=PM，
在直角△MON中，，∴，
∴当PM最大时，OP最大，
又因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，此时PM=3+6=9，
所以OP的最大值是：.
故选：C.

【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难度，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，将求OP的最大值转化为求PM的最大值是解题的关键.
10、C
【解析】根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系逐一判断即可.
【详解】解: A. y=-3x2-1中,﹣3＜0, 二次函数图象的开口向下,故A不符合题意;
B. y=-x2+1中, -＜0, 二次函数图象的开口向下,故B不符合题意;
C. y=x2+3中, ＞0, 二次函数图象的开口向上,故C符合题意;
D. y=-x2-5中, -1＜0, 二次函数图象的开口向下,故D不符合题意;
故选:C.
【点睛】
此题考查的是判断二次函数图像的开口方向，掌握二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解决此题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是1cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，
根据题意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．
故答案是：（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
12、1，3，5
【分析】设⊙P与坐标轴的切点为D， 根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B、C的坐标，即可求出AB、AC的长，可得△OBC是等腰直角三角形，分⊙P只与x轴相切、与x轴、y轴同时相切、只与y轴相切三种情况，根据切线的性质和等腰直角三角形的性质分别求出AP的长，即可得答案.
【详解】设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A坐标为（4，m），
∴x=0时，y=-2，y=0时，x=2，x=4时，y=2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，-2），
∴AB=2，AC=4，OB=OC=2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°，
①如图，当⊙P只与x轴相切时，
∵点D为切点，⊙P的半径为1，
∴PD⊥x轴，PD=1，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD=PD=1，
∴BP=，
∴AP=AB-BP=，
∵点P的速度为个单位长度，
∴t=1，

②如图，⊙P与x轴、y轴同时相切时，
同①得PB=，
∴AP=AB+PB=3，
∵点P的速度为个单位长度，
∴t=3.

③如图，⊙P只与y轴相切时，
同①得PB=，
∴AP=AC+PB=5，
∵点P的速度为个单位长度，
∴t=5.

综上所述：t的值为1、3、5时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：1，3，5
【点睛】
本题考查切线的性质及一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上的点的坐标都适合该一次函数的解析式；圆的切线垂直于过切点的直径；熟练掌握切线的性质是解题关键.
13、
【分析】连接OA，AB与y轴交于点C，根据AB＝2，可得出点A，B的横坐标分别为−1，1．再代入抛物线即可得出点A，B的坐标，再根据勾股定理得出⊙O的半径．
【详解】连接OA，设AB与y轴交于点C，

∵AB＝2，
∴点A，B的横坐标分别为−1，1．
∵⊙O与抛物线交于A，B两点，
∴点A，B的坐标分别为（−1，），（1，），
在Rt△OAC中，由勾股定理得OA＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理以及二次函数图象上点的特征，求得点A的纵坐标是解题的关键．
14、1
【分析】根据菱形的面积公式即可求解．
【详解】∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面积为AC×BD=×6×8=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查菱形面积的求解，解题的关键是熟知其面积公式．
15、
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
16、（4，﹣3）
【解析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【详解】点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3）．
故答案为（4，﹣3）．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
17、
【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．
【详解】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为．
故答案为.
【点睛】
本题考查的是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关．
18、（3，7）
【分析】由抛物线解析式可求得答案．
【详解】∵y=4（x﹣3）2+7，
∴顶点坐标为（3，7），
故答案为（3，7）．

三、解答题(共66分)
19、（1）新坡面的坡角为，米；（2）新的设计方案不能通过，理由详见解析．
【分析】（1）过点C作CH⊥BG，根据坡度的概念、正确的定义求出新坡面AC的坡角；（2）根据坡度的定义分别求出AH、BH，求出EA，根据题意进行比较，得到答案．
【详解】解：如图，过点作垂足为

（1）新坡面的坡度为 ，

即新坡面的坡角为
米；
（2）新的设计方案不能通过.
理由如下：
坡面的坡度为，

，

新的设计方案不能通过．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20、（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m＝﹣2；（3）存在，点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0），理由见解析
【分析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法即可得出结论；
（2）先表示出DE，再利用勾股定理表示出AD，建立方程即可得出结论；
（3）分两种情况：①以BD为一边，判断出△EDB≌△GNM，即可得出结论．
②以BD为对角线，利用中点坐标公式即可得出结论．
【详解】（1）当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
当y＝0时，x+3＝0，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
（2）∵CD⊥OA，C（m，0），
∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∵AC＝m+3，CD＝m+3，
由勾股定理得：AD＝（m+3），
∵DE＝AD，
∴﹣m2﹣3m＝2（m+3），
∴m1＝﹣3（舍），m2＝﹣2；
（3）存在，分两种情况：
①以BD为一边，如图1，设对称轴与x轴交于点G，
∵C（﹣2，0），
∴D（﹣2，1），E（﹣2，3），
∴E与B关于对称轴对称，
∴BE∥x轴，
∵四边形DNMB是平行四边形，
∴BD＝MN，BD∥MN，
∵∠DEB＝∠NGM＝90°，∠EDB＝∠GNM，
∴△EDB≌△GNM，
∴NG＝ED＝2，
∴N（﹣1，﹣2）；
②当BD为对角线时，如图2，
此时四边形BMDN是平行四边形，
设M（n，﹣n2﹣2n+3），N（﹣1，h），
∵B(0，3),D(-2，1),
∴
∴n＝-1，h＝0
∴N（﹣1，0）；
综上所述，点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．

【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，根据线段之间的数量关系求点坐标，根据点的位置构建平行四边形，（3）中以BD为对角线时，利用中点坐标公式计算更简单.
21、 (1) k=1；(2) n＞1或﹣1＜n＜2．
【分析】（1）把点A的横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出点A的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）根据题意画出直线，根据图象确定出点M在N右边时n的取值范围即可．
【详解】解：（1）令x=1，代入y=x﹣2，则y=1，
∴A(1，1)，
∵点A(1，1)在双曲线y=(k≠2)上，
∴k=1；
（2）联立得：，
解得或，即B(﹣1，﹣1)，
如图所示：

当点M在N右边时，n的取值范围是n＞1或﹣1＜n＜2．
【点睛】
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22、（1）y＝﹣x+40；（2）要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.
【分析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可
(2)利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可.
【详解】(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y＝kx+b得
，解得，
故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y＝﹣x+40；
(2)依题意，设利润为w元，得
w＝(x﹣10)(﹣x+40)＝﹣x2+50x+400，
整理得w＝﹣(x﹣25)2+225，
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
23、（1）；（2）
【分析】运用画树状图或列表的方法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比解答即可.
【详解】解：（1）画树状图如图所示.

共有6种等可能的情况，其中摸到的球是“一黄一蓝”的情况有2种，因此球颜色是“一黄一蓝”的概率为.
（2）画树状图如图所示.

共有9种等可能的情况，其中摸到的球是“一黄一蓝”的情况有2种，因此球颜色是“一黄一蓝”的概率为.
【点睛】
本题主要考查的是用画树状图法或列表法求概率.着重考查了用画树状图法或列表法列举随机事件出现的所有情况，并求出某事件的概率，应注意认真审题，注意不放回再摸和放回再摸的区别.
24、（1）44不是一个“喜数”， 72是一个“8喜数”，理由见解析；（2）“7喜数”有4个：21、42、63、1
【分析】（1）根据“n喜数”的定义解答即可；
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，(a，b为1到9的自然数)，则10b+a=7(a+b)，化简得：b=2a，由此即可得出结论．
【详解】（1）44不是一个“喜数”，因为，
72是一个“8喜数”，因为；
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为，
十位数字为，(，为1到9的自然数)，
由定义可知：
化简得：因为，为1到9的自然数，
∴，；，；，；，；
∴“7喜数”有4个：21、42、63、1．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用．掌握“n喜数”的定义是解答本题的关键．
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）的周长与m值无关，理由详见解析．
【分析】（1）由直角梯形ABCD中∠A为直角，得到三角形ADE为直角三角形，可得出两锐角互余，再由DE与EC垂直，利用垂直的定义得到∠DEC为直角，利用平角的定义推出一对角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得证；
（2）延长DE、CB交于F，证明△ADE≌△BFE，根据全等三角形的性质得到DE=FE，AD=BF由CE⊥DE，得到直线CE是线段DF的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得DC=FC．即可得到结论；
（3）△BEC的周长与m的值无关，理由为：设AD=x，由AD+DE=a，表示出DE．在直角三角形ADE中，利用勾股定理列出关系式，整理后记作①，由AB﹣AE=EB，表示出BE，根据（1）得到：△ADE∽△BEC，由相似得比例，将各自表示出的式子代入，表示出BC与EC，由EB+EC+BC表示出三角形EBC的周长，提取a﹣m后，通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用平方差公式化简后，记作②，将①代入②，约分后得到一个不含m的式子，即周长与m无关．
【详解】（1）∵直角梯形ABCD中，∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEC；
（2）延长DE、CB交于F，如图2所示．
∵AD∥BC，
∴∠A=∠EBF，∠ADE=∠F．
∵E是AB的中点，
∴AE=BE．
在△ADE和△BFE中，∵∠A=∠EBF，∠ADE=∠F，AE=BE，
∴△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，AD=BF．
∵CE⊥DE，
∴直线CE是线段DF的垂直平分线，
∴DC=FC．
∵FC=BC+BF=BC+AD，
∴AD+BC=CD．

（3）△BEC的周长与m的值无关，理由为：
设AD=x，由AD+DE=AB=a，得：DE=a﹣x．
在Rt△AED中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2，即x2+m2=(a﹣x)2，
整理得：a2﹣m2=2ax，…①
在△EBC中，由AE=m，AB=a，得：BE=AB﹣AE=a﹣m．
∵由（1）知△ADE∽△BEC，
∴，即，
解得：BC，EC，
∴△BEC的周长=BE+BC+EC=(a﹣m)
=(a﹣m)(1)=(a﹣m)•
，…②
把①代入②得：△BEC的周长=BE+BC+EC2a，
则△BEC的周长与m无关．
【点睛】
本题是相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，分式的化简求值，利用了转化及整体代入的数学思想，做第三问时注意利用已证的结论．
26、（1）如图①点C即为所求作的点；见解析；（2）如图②，点D即为所求作的点，见解析．
【分析】（1）在图①中找到两个格点C，使∠BAC是锐角，且tan∠BAC=；
（2）在图②中找到两个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1.
【详解】解：（1）如图①点C即为所求作的点；
（2）如图②，点D即为所求作的点．

【点睛】
本题考查了作图——应用与设计作图，解直角三角形. 解决本题的关键是准确画图.