天津市第十九中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（ ）
A．正方形 B．正五边形
C．正六边形 D．正八边形
2．在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．方程的根是（ ）
A．5和 B．2和 C．8和 D．3和
4．的值等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
6．入冬以来气温变化异常，在校学生患流感人数明显增多，若某校某日九年级8个班因病缺课人数分别为2、6、4、6、10、4、6、2，则这组数据的众数是（ ）
A．5人 B．6人 C．4人 D．8人
7．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，掷得面朝上的点数之和是5的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．下列事件是必然事件的是( )
A．打开电视播放建国70周年国庆阅兵式
B．任意翻开初中数学书一页，内容是实数练习
C．去领奖的三位同学中，其中有两位性别相同
D．食用保健品后长生不老
9．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ）
A． B．且 C． D．且
10．方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．圆锥侧面积为32π cm2，底面半径为4cm，则圆锥的母线长为____cm．
12．一元二次方程x2﹣5x=0的两根为_________．
13．已知，则___________.
14．二次函数的图象经过点（4，﹣3），且当x＝3时，有最大值﹣1，则该二次函数解析式为_____．
15．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为______．

16．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．

17．如图，正三角形AFG与正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为3，则的长为______________．

18．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）__________．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

20．（6分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

21．（6分）为吸引市民组团去风景区旅游，观光旅行社推出了如下收费标准：

某单位员工去风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用10500元，请问该单位这次共有多少员工去风景区旅游？
22．（8分）如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)和反比例函数y2＝(m≠0)的图象交于点A(－1，6)，B(a，－2)．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式;
（2）根据图象直接写出y1>y2 时，x的取值范围．

23．（8分）如图，是⊙的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点．
（1）连接，求；
（2）点在上，，DF交于点．若，求的长．

24．（8分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，∠EDF＝90°，点E在边AB上且不与点A重合，点F在边BC的延长线上，DE交AC于Q，连接EF交AC于P
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：PE＝PF；
（3）当AE＝1时，求PQ的长．

25．（10分）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝1．

（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
26．（10分）作图题：⊙O上有三个点A，B，C，∠BAC＝70°，请画出要求的角，并标注．
（1）画一个140°的圆心角；（2）画一个110°的圆周角；（3）画一个20°的圆周角．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】选项A，正方形的最小旋转角度为90°，绕其中心旋转90°后，能和自身重合；
选项B，正五边形的最小旋转角度为 72°，绕其中心旋转72°后，能和自身重合；
选项C，正六边形的最小旋转角度为60°，绕其中心旋转60°后，能和自身重合；
选项D，正八边形的最小旋转角度为45°，绕其中心旋转45°后，能和自身重合.
故选B．
2、C
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，
其中小于的3个，
∴从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为：
故选：C．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3、C
【分析】利用直接开平方法解方程即可得答案．
【详解】
(x-3)2=25，
∴x-3=±5，
∴x=8或x=-2，
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
4、A
【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．
【详解】解：cos60°=.
故选A.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值.
5、D
【分析】由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.
【详解】∵DE//BC，∴ ，故A正确；
∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF, ∴，故B正确；
∵DF//BE，∴ ，∵ ，∴，故C正确；
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC,∴，∵DF//BE，∴，∴，故D错误.
故选D.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.
6、B
【解析】找出这组数据出现次数最多的那个数据即为众数.
【详解】解：∵数据2、6、4、6、10、4、6、2，中数据6出现次数最多为3次，
∴这组数据的众数是6.
故选：B.
【点睛】
本题考查众数的概念，出现次数最多的数据为这组数的众数.
7、B
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与掷得面朝上的点数之和是5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：列表得：

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
∵共有36种等可能的结果，掷得面朝上的点数之和是5的有4种情况，
∴掷得面朝上的点数之和是5的概率是：．
故选：B．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8、C
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．
【详解】A. 打开电视播放建国70周年国庆阅兵式是随机事件，故不符合题意；
B. 任意翻开初中数学书一页，内容是实数练习是随机事件，故不符合题意；
C. 去领奖的三位同学中，其中有两位性别相同是必然事件，符合题意；
D. 食用保健品后长生不老是不可能事件，故不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．
9、B
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可．
【详解】由题意得：
解得：且
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．
10、A
【分析】此题考查一元二次方程解的情况的判断．利用判别式来判断，当时，有两个不等的实根；当时，有两个相等的实根；当时，无实根；
【详解】题中，
所以次方程有两个不相等的实数根，
故选A；

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、8
【分析】根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】设圆锥的母线长为，
则：，
解得：，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键.
12、0或5
【解析】分析：本题考查的是一元二次方程的解法——因式分解法.
解析：
故答案为0或5.
13、
【分析】根据比例式设a=2k,b=5k,代入求值即可解题.
【详解】解：∵,设a=2k,b=5k,
∴
【点睛】
本题考查了比例的性质,属于简单题,设k法是解题关键.
14、y＝﹣2（x﹣3）2﹣1
【分析】根据题意设出函数的顶点式，代入点(4，﹣3)，根据待定系数法即可求得．
【详解】∵当x=3时，有最大值﹣1，
∴设二次函数的解析式为y=a(x﹣3)2﹣1，
把点(4，﹣3)代入得：﹣3=a(4﹣3)2﹣1，
解得a=﹣2，
∴y=﹣2(x﹣3)2﹣1．
故答案为：y=﹣2(x﹣3)2﹣1．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
15、 (6,0)
【详解】解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（4，0）
∴MB=MA=4-2=2，
∴点B的坐标为(6,0)

16、－1＜x＜3
【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
17、
【分析】连接OB，OF，根据正五边形和正三角形的性质求出∠BAF=24°，再由圆周角定理得∠BOF=48°，最后由弧长公式求出的长．
【详解】解：连接OB，OF，如图，

根据正五边形、正三角形和圆是轴对称图形可知∠BAF=∠EAG，
∵△AFG是等边三角形，
∴∠FAG=60°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=，
∴∠BAF=∠EAG=(∠BAE-∠FAG)= ×(108°-60°)=24°，
∴∠BOF=2∠BAF=2×24°=48°，
∵⊙O的半径为3，
∴的弧长为：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键．
18、
【分析】根据正五边形的概念可证得，利用对应边成比例列方程即可求得答案.
【详解】如图，
由边框总长为40cm的五角星，知：，
ABCDE为圆内接正五边形，
∴，
，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
，
即：，
化简得：，
配方得：，
解得：2(负值已舍) ，
故答案为：2

【点睛】
本题考查了圆内接正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，判定是正确解答本题的关键.

三、解答题(共66分)
19、（3）证明见解析；（3）2πcm3．
【分析】连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．（3）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可；
（3）证明△CDM≌△OBM，从而得到S阴影=S扇形BOC．
【详解】如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．
（3）根据圆周角定理得：∠COB=3∠CDB=3×30°=20°，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠OCA=380°﹣30°﹣20°=90°，即OC⊥AC，
∵OC为半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）由（3）知，AC为⊙O的切线，
∴OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD．
由垂径定理可知，MD=MB=BD=3．
在Rt△OBM中，
∠COB=20°，OB==2．
在△CDM与△OBM中
，
∴△CDM≌△OBM（ASA），
∴S△CDM=S△OBM
∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==2π（cm3）．

考点：3．切线的判定；3.扇形面积的计算．
20、（1）y=-，y=-2x-4（2）1
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；
（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．
【详解】（1）将A（﹣3，m+1）代入反比例函数y=得，
=m+1，
解得m=﹣6，
m+1=﹣6+1=2，
所以，点A的坐标为（﹣3，2），
反比例函数解析式为y=﹣，
将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，
解得n=1，
所以，点B的坐标为（1，﹣6），
将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，
，
解得，
所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）设AB与x轴相交于点C，
令﹣2x﹣4=0解得x=﹣2，
所以，点C的坐标为（﹣2，0），
所以，OC=2，
S△AOB=S△AOC+S△BOC，
=×2×2+×2×6，
=2+6，
=1．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
21、该单位这次共有30名员工去风景区旅游
【分析】设该单位这次共有x名员工去风景区旅游,因为500×15=7500＜10500，所以员工人数一定超过15人．由题意，得[500-10（x-15）]x=10500;
【详解】解：设该单位这次共有x名员工去风景区旅游
因为500×15=7500＜10500，所以员工人数一定超过15人．
由题意，得[500-10（x-15）]x=10500，
整理，得x2-65x+1050=0，
解得x1=35，x2=30当x1=35时，500-10（x-15）=300＜320，故舍去x1；
当x2=30时，500-10（x-15）=350＞320，符合题意
答：该单位这次共有30名员工去风景区旅游
【点睛】
考核知识点：二元一次方程应用.理解题是关键.
22、（1）y1＝－2x＋4，y2＝－；（2）x<－1或0<x<1．
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数求出k的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）找出直线在一次函数图形的上方的自变量x的取值即可．
【详解】解：（1）把点A（﹣1，6）代入反比例函数（m≠0）得：m=﹣1×6=﹣6，
∴．
将B（a，﹣2）代入得：，a=1，∴B（1，﹣2），将A（﹣1，6），B（1，﹣2）代入一次函数y1=kx+b得：，
∴，
∴；
（2）由函数图象可得：x＜﹣1或0＜x＜1．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解题是本题的关键．
23、（1）；（2）．
【解析】（1）根据垂径定理可得AB垂直平分CD，再根据M是OA的中点及圆的性质，得出△OAD是等边三角形即可；
（2）根据题意得出∠CNF=90°，再由Rt△CDE计算出CD，CN的长度，根据圆的内接四边形对角互补得出∠F=60°，从而根据三角函数关系计算出FN的值即可．
【详解】解：（1）如图，连接OD，
∵是⊙的直径，于点
∴AB垂直平分CD，
∵M是OA的中点，
∴
∴
∴∠DOM=60°，
又∵OA=OD
∴△OAD是等边三角形
∴∠OAD=60°．

（2）如图，连接CF，CN，
∵OA⊥CD于点M，
∴点M是CD的中点，
∴AB垂直平分CD
∴NC=ND
∵∠CDF=45°，
∴∠NCD=∠NDC=45°，
∴∠CND=90°，
∴∠CNF=90°，
由（1）可知，∠AOD=60°，
∴∠ACD=30°，
又∵交的延长线于点，
∴∠E=90°，
在Rt△CDE中，∠ACD=30°，，
∴
在Rt△CND中，∠CND=90°，∠NCD=∠NDC=45°，，
∴
由（1）可知，∠CAD=2∠OAD=120°，
∴∠F=180°-120°=60°，
∴在Rt△CFN中，∠CNF=90°，∠F=60°，，
∴
【点睛】
本题考查了圆的性质、垂径定理、圆的内接四边形对角互补的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的应用，综合性较大，解题时需要灵活运用边与角的换算．
24、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据ASA证明即可．
（2）作FH∥AB交AC的延长线于H，由“AAS”可证△APE≌△HPF，可得PE＝PF；
（3）如图2，先根据平行线分线段成比例定理表示，可得AQ的长，再计算AH的长，根据（2）中的全等可得AP＝PH，由线段的差可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°
∵∠EDF＝90°
∴∠EDC+∠CDF＝90°
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
∵
∴△ADE≌△CDF（ASA）．
（2）证明：由（1）知：△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF，
作FH∥AB交AC的延长线于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠FCH＝45°，
∵AB∥FH，
∴∠HFC＝∠ABC＝90°，
∴∠FCH＝∠H＝45°，
∴CF＝FH＝AE，
在△AEP和△HFP中，
∵，
∴△APE≌△HPF（AAS），
∴PE＝PF；
（3）∵AE∥CD，
∴，
∵AE＝1，CD＝4，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∴AQ＝AC＝，
∵AE＝FH＝CF＝1，
∴CH＝，
∴AH＝AC+CH＝4+＝5，
由（2）可知：△APE≌△HPF，
∴AP＝PH，
∴AP＝AH＝，
∴PQ＝AP﹣AQ＝﹣＝．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25、（1）；（2）见解析
【分析】（1）由线段的和差关系可求出CE的长，由AB//CD可证明△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求出CD的长；
（2）根据AB、AE、AC的长可得，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明△ABE∽△ACB．
【详解】（1）∵AE＝4，AC＝1
∴CE=AC-AE＝1-4＝5
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴．
（2）∵，
∴
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
26、 (1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【分析】（1）根据∠BAC＝70°，画一个140°的圆心角，与∠BAC同弧即可；
（2）在劣弧BC上任意取一点P画一个∠BPC即可得110°的圆周角；
（3）过点C画一条直径CD，连接AD即可画一个20°的圆周角．
【详解】（1）如图1所示：∠BOC=2∠BAC＝140°
∴∠BOC即为140°的圆心角；
（2）如图2所示：∠BPC=180°-∠BAC=110°，
∴∠BPC即为110°的圆周角；
（3）连接CO并延长交圆于点D，连接AD，
∵∠DAC=90°，∴∠BAD=90°-∠BAC=20°
∴则∠BAD即为20°的圆周角．

【点睛】
此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆周角定理的性质.