特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式.doc
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特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式 平行四边形 1.平行四边形的定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的性质: (1)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点,不是轴对称图形。(关于对称性的) (2)平行四边形的对角相等; (3)平行四边形的邻角互补; (4)平行四边形的对边相等;(推论:夹在两条平行线间的平行线段。) (5)平行四边形的对边平行; (6)平行四边形的对角线互相平分。 (7)连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。 3.平行四边形的判定方法: (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(定义判定法) (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (4)两组对角相等的四边形是平行四边形; (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4. 相关计算公式: 平行四边形的面积公式: 底×高;如用“h”表示高,“a”表示底,“s”表示平行四边形面积,则S=ah 平行四边形周长: 2×(底1+底2);如用“a"表示底1,“b”表示底2,“c“表示平行四边形周长,则C=2(a+b) 5.平行四边形中常用辅助线的添法: (1)连结对角线或平移对角线; (2)过顶点作对边的垂线构成直角三角形; (3)连结对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线; (4)连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形; (5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。 矩形 1.矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.矩形的性质: (1)矩形是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,对称轴共有两条;(关于对称性的) (2)矩形的对角相等; (3)矩形的邻角互补; (4)矩形的对边相等; (5)矩形的对边平行; (6)矩形的对角线互相平分; (7)矩形的四个角都是直角; (8)矩形的对角线相等。 (9)矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 3.矩形的判定方法: (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(定义判定法) (2)对角线相等的平行四边形是矩形; (3)关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形 (4)对于平行四边形,若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等,则此平行四边形为矩形 (5)有三个角是直角的四边形是矩形; (6)四个内角都相等的四边形为矩形; (7)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; (8)对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。 4.相关计算公式 矩形面积:S=ah(注:a为边长,h为该边上的高)S=ab(注:a为长,b为宽) 矩形周长:C=2(a+b)(注:a为长,b为宽) 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。 菱形 1.菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的性质: (1)菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,也是中心对称图形; (2)在60°的菱形中,短对角线等于边长,长对角线是短对角线的√3倍。 (3)菱形的对角相等; (4)菱形的邻角互补; (5)菱形的对边相等; (6)菱形的对边平行; (7)菱形的对角线互相平分; (8)菱形的四边都相等; (9)菱形的对角线互相垂直,且平分各内角; (10)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形。 3.菱形的判定方法: (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;(定义判定法) (2)对角线相互垂直的平行四边形是菱形; (3)关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形; (4)四条边都相等的四边形是菱形。 4. 相关计算公式: 菱形的面积:菱形的面积等于两对角线乘积的一半。(只要是对角线互相垂直的四边形都可用) 正方形 1.正方形的定义: (1)四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。 (2)有一组邻边相等的矩形是正方形。 (3)有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。 (4)有一个角为直角的菱形是正方形。 (5)对角线平分,垂直且相等,并且交角为直角的四边形为正方形。 2.正方形的性质: (1)既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴); (2)正方形的对角相等; (3)正方形的邻角互补; (4)正方形的对边相等; (5)正方形的相邻边互相垂直; (6)正方形的对边平行; (7)正方形的对角线互相平分; (8)正方形的四个角都是直角; (9)正方形的对角线相等。 (10)正方形的四边都相等; 正方形的对角线互相垂直,且平分各内角。 3.正方形的判定方法: (1)有一组邻边相等的矩形是正方形; (2)对角线互相垂直的矩形是正方形; (3)有一个角为直角的菱形是正方形; (4)对角线相等的菱形是正方形; (5)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形; (6)四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形; (7)四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形; (8)对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形。 4.相关计算公式: 面积计算公式:S=边长×边长 或:S=对角线×对角线÷2 周长计算公式: C=4×边长 顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。 等腰梯形 1.等腰梯形的定义: 一组对边平行(不相等),另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形。 2.等腰梯形的性质: (1)等腰梯形只有一条对称轴,上底和下底的中垂线就是它的对称轴; (2)等腰梯形在同一底上的两个角相等; (3)等腰梯形的两腰相等; (4)等腰梯形的两底平行; (5)等腰梯形的两个底角相等; (6)等腰梯形的对角线相等; (7)等腰梯形内接于圆。 3. 等腰梯形的判定方法: (1)一组对边不平行但相等的梯形是等腰梯形;(定义判定法) (2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形; (3)对角线相等的梯形是等腰梯形; (4)一组对边平行(不相等),另一组对边相等(不平行)的四边形是等腰梯形; 4.相关计算公式 等腰梯形的中位线长是上下底边长度和的一半 ; 等腰梯形的面积公式等于上底加下底和一半乘高,也等于中位线乘高。 直角三角形 1.直角三角形的定义: 有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形。 2.直角三角形的性质 直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质: (1)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 (2)在直角三角形中,两个锐角互余。 (3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。 (4)直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。 (5)在直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半。 3.直角三角形的判定方法: (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形; (2)一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形; (3)若a的平方+b的平方=c的平方,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形;(勾股定理的逆定理)。 (4)若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形; (5)两个锐角互余的三角形是直角三角形。 等腰三角形 1.等腰三角形的定义: 有两边相等的三角形是等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质: (1)等腰三角形的两个底角相等; (简写成“等边对等角”) (2)等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合;(简写成“三线合一”) (3)等腰三角形的两底角的平分线相等;(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等) (4)等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等; (5)等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半; (6)等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高;(需用等面积法证明) (7)等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 3. 等腰三角形的判定方法: (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边) 等边三角形 1.等边三角形的定义: 三边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 (注意:若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形) 2.等边三角形的性质: (1)等边三角形的内角都相等,且为60度; (2)等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合;(三线合一) (3)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 3.等边三角形的判定方法: (首先考虑判断三角形是等腰三角形) (1)三边相等的三角形是等边三角形;(定义) (2)三个内角都相等的三角形是等边三角形; (3)有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形; 5- 配套讲稿:
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- 特殊 四边形 三角形 定义 性质 判定 相关 计算 公式
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