光的衍射和偏振习题答案.doc

第7章 光的衍射
一、选择题
1(D)，2(B)，3(D)，4(B)，5(D)，6(B)，7(D)，8(B)，9(D)，10(B)
二、填空题
(1)． 1.2mm，3.6mm
(2)． 500nm (或mm)
(3)． 一 三
(4)． 0，，
(5)． 5
(6)． 更窄更亮
(7)． 0.025
(8)． 照射光波长，圆孔的直径
(9)． 2.24×10-4
(10)． 13.9
三、计算题
1.某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm．缝后放一个焦距f = 400 mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0 mm，求入射光的波长．

解：设第三级暗纹在j3方向上，则有 a sinj3 = 3l
此暗纹到中心的距离为 x3 = f tgj3
因为j3很小，可认为tgj3≈sinj3，所以 x3≈3f l / a ．
两侧第三级暗纹的距离是 2 x3 = 6f l / a = 8.0mm
∴ l = (2x3) a / 6f = 500 nm

2.在夫琅禾费单缝衍射实验中，如果缝宽a与入射光波长l的比值分别为(1) 1，(2) 10，(3) 100，试分别计算中央明条纹边缘的衍射角．再讨论计算结果说明什么问题．

解：(1) a=l，sinj =l/ l=1 , j =90°
(2) a=10l，sinj =l/10 l=0.1 j =5°4
(3) a=100l，sinj =l/100 l=0.01 j =3
这说明，比值l /a变小的时候，所求的衍射角变小，中央明纹变窄(其它明纹也相应地变为更靠近中心点)，衍射效应越来越不明显．
(l /a)→0的极限情形即几何光学的情形: 光线沿直传播,无衍射效应．

3.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长l1和l2，垂直入射于单缝上．假如l1的第一级衍射极小与l2的第二级衍射极小相重合，试问
(1) 这两种波长之间有何关系？
(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？

解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得

由题意可知 ,
代入上式可得
(2) (k1 = 1, 2, ……)

(k2 = 1, 2, ……)

若k2 = 2k1，则q1 = q2，即l1的任一k1级极小都有l2的2k1级极小与之重合．

4.氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长l1=0.668mm的谱线的衍射角为j=20°．如果在同样j角处出现波长l2=0.447mm的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少？

解：由光栅公式得
sinj= k1 l 1 / (a+b) = k2 l 2 / (a+b)，k1 l 1 = k2 l 2
k2 / k1 = l 1/ l 2=0.668 / 0.447
将k2 / k1约化为整数比k2 / k1=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ......
取最小的k1和k2 ， k1=2，k2 =3，
则对应的光栅常数(a + b) = k1 l 1 / sinj =3.92 mm.

5.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，l1=440 nm，l2=660 nm (1 nm = 10-9 m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角j=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d．

解：由光栅衍射主极大公式得

当两谱线重合时有 j1= j2
即
两谱线第二次重合即是
， k1=6， k2=4
由光栅公式可知 d sin60°=6l1
=3.05×10-3 mm

6.以波长400 nm─760 nm (1 nm＝10-9 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围．

解：令第三级光谱中l=400 nm的光与第二级光谱中波长为l¢ 的光对应的衍射角都为q，
则 d sinq =3l， d sinq =2
= (d sinq / )2=600nm
∴第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm

7.用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长lR在 0.63─0.76 mm范围内，蓝谱线波长lB在0.43─0.49 mm范围内．当光垂直入射到光栅时，发现在衍射角为24.46°处，红蓝两谱线同时出现．
(1) 在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？
(2) 在什么角度下只有红谱线出现？

解：∵ a+b= (1 / 300) mm = 3.33 mm
(1) (a + b) siny =kl， ∴ kl= (a + b) sin24.46°= 1.38 mm
∵ lR=0.63─0.76 mm； lB＝0.43─0.49 mm
对于红光，取k=2 , 则 lR=0.69 mm； 对于蓝光，取k=3, 则 lB=0.46 mm.
红光最大级次 kmax= (a + b) / lR=4.8,
取kmax=4则红光的第4级与蓝光的第6级还会重合．设重合处的衍射角为y¢ ,
则 ，∴ y¢=55.9°
(2) 红光的第二、四级与蓝光重合，且最多只能看到四级，所以纯红光谱的第一、三级将出现．
y1 = 11.9°
y3 = 38.4°

8.一衍射光栅，每厘米200条透光缝，每条透光缝宽为a=2×10-3 cm，在光栅后放一焦距f=1 m的凸透镜，现以l=600 nm (1 nm=10-9 m)的单色平行光垂直照射光栅，求：
(1) 透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
(2) 在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？

解：(1) a sinj = kl tgj = x / f
当 x<< f时，, a x / f = kl ,
取k= 1有
x= f l / a= 0.03 m
∴中央明纹宽度为 Dx= 2x= 0.06 m
(2) ( a + b) sin j
( a＋b) x / (f l)= 2.5
取k ¢= 2，共有k ¢= 0，±1，±2 等5个主极大.

四 研讨题
1. 假设可见光波段不是在，而是在毫米波段，而人眼睛瞳孔仍保持在左右，设想人们看到的外部世界是什么景象？

参考解答：
将人的瞳孔看作圆孔。圆孔衍射中央极大的半角宽度与入射波长和衍射孔径线度的关系是。
当衍射孔径与波长的量级差不多时衍射最显著，入射光经衍射后完全偏离原来直线传播的方向，广能几乎分布在衍射后的整个空间。由于衍射，使一个物点发出的光经圆孔后，在观察屏上不再是一个清晰的像点，而是一个相当大的衍射斑。
如果，则，每个物点经圆孔后就是一个清晰的像点。
在我们的生活的世界，可见光波长的大小和人眼瞳孔的孔径配合得是非常巧妙的，“天然地”满足的条件，物体在视网膜上成像时就可以不考虑瞳孔的衍射，而认为光线是直线传播，那么物体上的任一物点通过眼睛的水晶体成像到视网膜上的像也是一个点，我们就可以清楚地分辨眼前的景物了。
而如果可见光的波长也变成毫米量级，则波长与瞳孔孔径大小可比，每个物点在视网膜上的像将不是一个点，而是一个很大的衍射斑，以至于无法把它们分辨出来，人们看不到目前所看到的物体形状了，而是一片模糊的景象。

2. 某光学显微镜的数值孔径N.A.=1.5，试估算它的有效放大率Vmin.

参考解答：
分析：显微镜是助视光学仪器,应该针对人眼进行设计.人眼的最小分辨角,一般人眼能分辨远处相隔的两条刻线，或者说，在明视距离(相隔人眼)处相隔的两条刻线.人眼敏感的波长是.
合理的设计方案是把显微镜的最小分辨距离放大到明视距离的,这样才能充分利用镜头的分辨本领.
解题：本题条件下的光学显微镜的最小分辨距离为

按合理设计将其放大到明视距离可分辨的dye=0.075mm.
所以 倍,
实际放大率还可设计得比这数值更高些，譬如500倍，以使人眼看得更舒服些.

3. 在地面进行的天文观测中，光学望远镜所成星体的像会受到大气密度涨落的影响（所以要发射太空望远镜以排除这种影响），而无线电天文望远镜则不会受到这种影响。为什么？

参考解答：
星体辐射的光在进入望远镜的路径中必然通过大气层，所以必须考虑大气分子的衍射对图像质量的影响。
教材中的理论已经指出，衍射物的线度与入射波波长愈相近，衍射现象愈明显；衍射物线度远远大于入射波波长时可不考虑衍射。
大气粒子的平均线度在纳米量级上下，光波的波长是百纳米量级，大气微粒的线度与光波的波长可比，所以对光波的衍射作用显著，直接影响观测图像。随着大气密度的涨落，图样也将随着变化，所以用光学望远镜就无法准确地获得星体的图像。
无线电波长在微米到米的量级，大气粒子的平均线度远远小于无线电波的波长，观测中可忽略衍射的影响。所以在天文观测中无线电天文望远镜就可不受大气密度涨落的影响，从而可精确获得星体的图像。

4. 近年来出现了一种新的光测应变方法——衍射光栅法，请查阅金属材料应变测量衍射光栅法的相关资料，说明其基本原理。

参考解答：
对大多数实用金属而言, 在弹性加载下其变形非常小. 这样, 细观变形测量的诸多光测方法在一定程度上受到限制. 近年来出现了一种新的光测应变方法——衍射光栅法. 其基本思想是在试件表面欲测处贴上低频正交光栅, 通过测取试件变形前后正交光栅变形来获取试件测点处的应变量. 具体测量方式是通过光学中的衍射效应, 用细激光束垂直照射光栅, 产生衍射点阵, 通过对衍射点阵的测量, 就可以获得应变的信息.
衍射光栅法测量应变的基本原理：
如图所示, 在试件表面欲测处贴上正交光栅应变片, 当一束细激光束垂直照射测点时, 光栅将使反射光发生衍射, 衍射光线在接收屏上形成点阵. 衍射点的位置与光栅栅距的关系可由光栅方程导出

式中: m为衍射级次,qm为m级衍射光线与光栅法线方向的夹角, d为栅距,l为激光波长.
当试件受力变形后, 光栅栅距发生变化, d变为d′, 则变形前后沿垂直于该组栅线方向的线应变为

由衍射光栅法基本光路图可知
将其代入上式可知
，此即衍射光栅法测量应变的基本公式。
第8章 光的偏振
一、选择题
1(B)，2(C)，3(A)，4(B)，5(B)，6(D)，7(D)，8(B)
二、填空题
(1)． 2， 1/4
(2)． 1/ 2
(3)． I0 / 2， 0
(4)． 1.48
(5)． 遵守通常的折射，不遵守通常的折射.
(6). 传播速度，单轴
(7)． 自然光或(和)圆偏振光，线偏振光(完全偏振光)，部分偏振光或椭圆偏振光.
(8)． 线、圆.
三、计算题
1.将三个偏振片叠放在一起，第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成45°和90°角．(1) 强度为I0的自然光垂直入射到这一堆偏振片上，试求经每一偏振片后的光强和偏振状态．(2) 如果将第二个偏振片抽走，情况又如何？

解：(1) 自然光通过第一偏振片后，其强度 I1 = I0 / 2
通过第2偏振片后，I2＝I1cos245°＝I1/ 4
通过第3偏振片后，I3＝I2cos245°＝I0/ 8
通过每一偏振片后的光皆为线偏振光，其光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平行．
(2) 若抽去第2片，因为第3片与第1片的偏振化方向相互垂直，
所以此时 I3 =0. I1仍不变．

2.两个偏振片叠在一起，在它们的偏振化方向成a1＝30°时，观测一束单色自然光．又在a2＝45°时，观测另一束单色自然光．若两次所测得的透射光强度相等，求两次入射自然光的强度之比．

解：令I1和I2分别为两入射光束的光强．透过起偏器后，光的强度分别为I1 / 2和I2 / 2马吕斯定律，透过检偏器的光强分别为
,
按题意，，于是
得

3.三个偏振片P1、P2、P3顺序叠在一起，P1、P3的偏振化方向保持相互垂直，P1与P2的偏振化方向的夹角为a，P2可以入射光线为轴转动．今以强度为I0的单色自然光垂直入射在偏振片上．不考虑偏振片对可透射分量的反射和吸收．
(1) 求穿过三个偏振片后的透射光强度I与a角的函数关系式；
(2) 试定性画出在P2转动一周的过程中透射光强I随a角变化的函数曲线．

解：(1) 连续穿过三个偏振片之后的光强为
I＝0.5I0cos2a cos2(0.5p－a )＝I0sin2(2a) / 8
(2) 画出曲线

4.有一平面玻璃板放在水中，板面与水面夹角为q (见图)．设水和玻璃的折射率分别为1.333和1.517．已知图中水面的反射光是完全偏振光，欲使玻璃板面的反射光也是完全偏振光，q 角应是多大？

解：由题可知i1和i2应为相应的布儒斯特角，由布儒斯特定律知
tg i1= n1＝1.33；
tg i2＝n2 / n1＝1.57 / 1.333，
由此得 i1＝53.12°，
i2＝48.69°．
由△ABC可得 q＋(p / 2＋r)＋(p / 2－i2)＝p
整理得 q＝i2－r
由布儒斯特定律可知， r＝p / 2－i1
将r代入上式得
q＝i1＋i2－p / 2＝53.12°＋48.69°－90°＝11.8°.

四 研讨题
1. 为了得到线偏振光，就在激光管两端安装一个玻璃制的“布儒斯特窗”（见图），使其法线与管轴的夹角为布儒斯特角。为什么这样射出的光就是线偏振的？光振动沿哪个方向？

参考解答：
激光管内的激光在两面反射镜 M1和M2之间来回反射，所以光是沿轴线传播的。光的偏振方向垂直于管轴，一个是垂直于纸面，称为 E⊥分量，另一是平行于纸面，称为 Eôô量。由于布儒斯特窗的法线与管轴的夹角为布儒斯特角，光入射到布儒斯特窗，其反射的光中只有 E⊥分量，反射光离开管轴方向。透射光中Eôô分量大于 E⊥分量。见图(b)。这样每次光入射到布儒斯特窗，都会损失一部分 E⊥分量。经过 M1，M2 之间的多次反射，沿管轴方向前进的光中 E⊥分量就越来越少，最后将 E⊥分量全都过滤掉了，出射的激光中只剩下 Eôô分量。因此这样射出的光就是线偏振的，光振动平行于纸面。

2. 怎样用偏振光状态演示仪（见演示实验教材）区分出入射光是圆偏振光还是椭圆偏振光？
(偏振光状态演示仪包括光学减震平台一个、半导体激光器（650 nm）及固定架一套、起偏器和检偏器各一个、1/4波片（650 nm） 一个、步进电机控制的调整架三个、光电接收系统及调整架一个、电控箱一个（三路控制输出、两路输入和USB接口）、计算机及专用软件。)

参考解答：
1. 圆偏振光的产生与鉴别
① 手动调整起偏器和检偏器，使它们的偏振化方向互相垂直，即接收屏上出现消光；
② 在起偏器和检偏器之间插入l/4波片，转动l/4波片，重新使屏幕上出现消光状态；

③ l/4波片旋转45°, 将检偏器旋转，屏幕上便出现一条近乎水平的直线，说明通过检偏器的光为圆偏振光，即光强不变。
旋转检偏器P2

,即光强不变。

2. 椭圆偏振光的产生与鉴别
如果l/4波片的旋角大于或小于45°，则检偏器旋转360°，屏幕上出现的是一条余弦曲线，但曲线最低点的光强不等于零，说明通过检偏器的光为椭圆偏振光。